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典例1(2024·苏州)如图,在矩形ABCD中,AB = $\sqrt{3}$，BC = 1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG长的最大值为（ ）
A. $\sqrt{3}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. 2 D. 1
[思路点拨]连接AC，设AC与EF交于点O，易证$\triangle COF\cong\triangle AOE$，从而求得OA为定长，而$\angle AGE = 90^{\circ}$，进而可得动点G的轨迹，也就容易求出AG长的最大值.
A. $\sqrt{3}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. 2 D. 1
[思路点拨]连接AC，设AC与EF交于点O，易证$\triangle COF\cong\triangle AOE$，从而求得OA为定长，而$\angle AGE = 90^{\circ}$，进而可得动点G的轨迹，也就容易求出AG长的最大值.
答案
如图，连接AC，交EF于点O. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB//CD，∠B = 90°. ∵ AB = $\sqrt{3}$，BC = 1，∴ AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=2. ∵ 动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，∴ CF = AE. ∵ AB//CD，∴ ∠ACD = ∠CAB. 又∵ ∠COF = ∠AOE，∴ △COF≌△AOE. ∴ OA = OC = $\frac{1}{2}$AC = 1. ∵ AG⊥EF，∴ 点G在以OA为直径的圆上运动. ∴ 当AG为直径时，AG长取得最大值，为1. 故选D.
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1.(2024·南京模拟)如图,在矩形ABCD中,AB = 6，BC = 8，E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与边CD交于点F，连接AF，则AF长的最小值为______.
1.(2024·南京模拟)如图,在矩形ABCD中,AB = 6，BC = 8，E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接AE，过点E作EF⊥AE，与边CD交于点F，连接AF，则AF长的最小值为______.
答案
设BE = x，CF = y，则CE = BC - BE = 8 - x. ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ ∠B = ∠C = 90°，CD = AB = 6，AD = BC = 8. ∵ EF⊥AE，∴ ∠AEF = 90°. ∴ ∠BAE + ∠AEB = ∠AEB + ∠CEF = 90°. ∴ ∠BAE = ∠CEF. ∴ △ABE∽△ECF. ∴ $\frac{AB}{EC}$=$\frac{BE}{CF}$，即$\frac{6}{8 - x}$=$\frac{x}{y}$. ∴ y = -$\frac{1}{6}$x² + $\frac{4}{3}$x = -$\frac{1}{6}$(x - 4)² + $\frac{8}{3}$(0 ＜ x ＜ 8). ∴ 当x = 4时，y取得最大值$\frac{8}{3}$，即CF最长为$\frac{8}{3}$. ∴ DF最短为6 - $\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，则AF长的最小值为$\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}$=$\sqrt{8^{2}+(\frac{10}{3})^{2}}$=$\frac{26}{3}$.
典例2(2024·常州新北一模)在Rt$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，AC = 3，AB = 5，D是边AB上的一个动点（不与点A，B重合），F是边BC上的一点，且满足$\angle CDF = \angle A$，过点C作CE⊥CD，交DF的延长线于点E.
(1)如图①,若CD⊥AB,则CD = ______.
(2)如图②,连接BE,若AD = $\frac{3}{2}$，求BE的长.
(3)过点C作射线BE的垂线,垂足为H,射线CH与射线DE交于点Q. 若$\triangle CQE$是以EQ为腰的等腰三角形,求AD的长.
[思路点拨](1)利用等面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$即可求解.(2)证$\triangle ACD\sim\triangle BCE$即可得解.(3)根据第二问相似，可证出$\angle DBE = 90^{\circ}$，即EB⊥AB，那么点H就比较好画了，要分两种情况，点Q在线段DE上或点Q在线段DE的延长线上，分别画出对应图形，利用相似或平行线分线段成比例求解即可.
(1)如图①,若CD⊥AB,则CD = ______.
(2)如图②,连接BE,若AD = $\frac{3}{2}$，求BE的长.
(3)过点C作射线BE的垂线,垂足为H,射线CH与射线DE交于点Q. 若$\triangle CQE$是以EQ为腰的等腰三角形,求AD的长.
[思路点拨](1)利用等面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$即可求解.(2)证$\triangle ACD\sim\triangle BCE$即可得解.(3)根据第二问相似，可证出$\angle DBE = 90^{\circ}$，即EB⊥AB，那么点H就比较好画了，要分两种情况，点Q在线段DE上或点Q在线段DE的延长线上，分别画出对应图形，利用相似或平行线分线段成比例求解即可.
答案
(1) $\frac{12}{5}$. (2) ∵ ∠ACB = 90°，AC = 3，AB = 5，∴ BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$= 4. ∵ CE⊥CD，∴ ∠DCE = 90° = ∠ACB. ∴ ∠ACB - ∠BCD = ∠DCE - ∠BCD，即∠ACD = ∠BCE. ∵ ∠CDF = ∠A，∴ tanA = tan∠CDF. ∴ $\frac{BC}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{3}{4}$. ∴ △ACD∽△BCE. ∴ $\frac{AD}{BE}$=$\frac{3}{4}$. ∴ BE = $\frac{4}{3}$AD. ∵ AD = $\frac{3}{2}$，∴ BE = 2. (3) 由△ACD∽△BCE，得∠CAD = ∠CBE，BE = $\frac{4}{3}$AD，∴ ∠A + ∠ABC = ∠EBF + ∠ABC = 90°，即∠DBE = 90°. ∵ CH⊥BE，∴ ∠CHB = 90°. 在Rt△CHB中，BC = 4，∴ BH = BCcos∠CBE = BCcosA = 4×$\frac{3}{5}$=$\frac{12}{5}$，则CH = $\sqrt{BC^{2}-BH^{2}}$=$\frac{16}{5}$. 若△CQE是等腰三角形，如图①，点Q在线段DE的延长线上，在Rt△CDE中，∠CED ＜ 90°，∴ ∠CEQ ＞ 90°. ∴ 只有EC = EQ一种情况. ∵ CH⊥BE，∴ QH = CH = $\frac{16}{5}$. ∵ ∠CHB = ∠QHE = ∠DBE = 90°，∠HEQ = ∠BED，∴ △HEQ∽△BED. ∴ $\frac{HQ}{BD}$=$\frac{HE}{BE}$. ∴ $\frac{\frac{16}{5}}{5 - AD}$=$\frac{\frac{12}{5}-BE}{BE}$，即$\frac{\frac{16}{5}}{5 - AD}$=$\frac{\frac{12}{5}-\frac{4}{3}AD}{\frac{4}{3}AD}$. 解得AD = 1或AD = 9(不合题意，舍去). 如图②，点Q在线段DE上，∵ ∠CQE ＞ 90°，∴ 只有QC = QE一种情况. ∴ ∠QCE = ∠QEC. ∵ ∠DCE = 90°，∴ ∠QDC + ∠QEC = ∠QCE + ∠QCD = 90°. ∴ ∠QCD = ∠QDC. ∴ QC = QD. ∴ QE = QD. ∵ ∠CHB + ∠DBE = 90° + 90° = 180°，∴ CH//AB. ∴ 易得EH = BH = $\frac{12}{5}$. ∴ BE = $\frac{24}{5}$，即$\frac{4}{3}$AD = $\frac{24}{5}$. ∴ AD = $\frac{18}{5}$. 综上所述，当△CQE是以EQ为腰的等腰三角形时，AD的长为1或$\frac{18}{5}$.
