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1. 解方程。
$\frac{1}{6}+x=\frac{1}{2}$ $\frac{5}{7}-x=\frac{1}{2}$ $x+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$ $x-\frac{1}{6}=\frac{5}{9}$
$\frac{1}{6}+x=\frac{1}{2}$ $\frac{5}{7}-x=\frac{1}{2}$ $x+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$ $x-\frac{1}{6}=\frac{5}{9}$
答案
解：$\frac{1}{6}+x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$
$x=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}$
$x=\frac{1}{3}$
解：$\frac{5}{7}-x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{5}{7}-\frac{1}{2}$
$x=\frac{10}{14}-\frac{7}{14}$
$x=\frac{3}{14}$
解：$x+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$
$x=\frac{7}{12}-\frac{1}{3}$
$x=\frac{7}{12}-\frac{4}{12}$
$x=\frac{1}{4}$
解：$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{9}$
$x=\frac{5}{9}+\frac{1}{6}$
$x=\frac{10}{18}+\frac{3}{18}$
$x=\frac{13}{18}$
$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$
$x=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}$
$x=\frac{1}{3}$
解：$\frac{5}{7}-x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{5}{7}-\frac{1}{2}$
$x=\frac{10}{14}-\frac{7}{14}$
$x=\frac{3}{14}$
解：$x+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$
$x=\frac{7}{12}-\frac{1}{3}$
$x=\frac{7}{12}-\frac{4}{12}$
$x=\frac{1}{4}$
解：$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{9}$
$x=\frac{5}{9}+\frac{1}{6}$
$x=\frac{10}{18}+\frac{3}{18}$
$x=\frac{13}{18}$
解析
【分析】
这是四道分数一元一次方程的求解问题，解题思路是利用等式的基本性质，通过移项将未知数单独放在等式一侧，再对异分母分数进行通分，转化为同分母分数后进行加减运算得到方程的解：
1. 对于形如“加数+x=和”的方程（如$\frac{1}{6}+x=\frac{1}{2}$和$x+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$），根据“一个加数=和-另一个加数”，将方程变形为$x=和-已知加数$，再通分计算；
2. 对于形如“被减数-x=差”的方程（如$\frac{5}{7}-x=\frac{1}{2}$），根据“减数=被减数-差”，变形为$x=被减数-差$，再通分计算；
3. 对于形如“x-减数=差”的方程（如$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{9}$），根据“被减数=差+减数”，变形为$x=差+减数$，再通分计算。
【解析】
解：$\frac{1}{6}+x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$
$x=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}$
$x=\frac{1}{3}$
解：$\frac{5}{7}-x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{5}{7}-\frac{1}{2}$
$x=\frac{10}{14}-\frac{7}{14}$
$x=\frac{3}{14}$
解：$x+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$
$x=\frac{7}{12}-\frac{1}{3}$
$x=\frac{7}{12}-\frac{4}{12}$
$x=\frac{1}{4}$
解：$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{9}$
$x=\frac{5}{9}+\frac{1}{6}$
$x=\frac{10}{18}+\frac{3}{18}$
$x=\frac{13}{18}$
【答案】
$x=\frac{1}{3}$；$x=\frac{3}{14}$；$x=\frac{1}{4}$；$x=\frac{13}{18}$
【知识点】
等式的基本性质，异分母分数加减法，分数一元一次方程求解
【点评】
本题考查基础的分数一元一次方程求解，解题关键在于掌握移项时的符号变化规则，以及异分母分数加减运算中通分的方法（找分母的最小公倍数作为公分母），计算过程中要注意将结果约分为最简分数。
【难度系数】
0.8
这是四道分数一元一次方程的求解问题，解题思路是利用等式的基本性质，通过移项将未知数单独放在等式一侧，再对异分母分数进行通分，转化为同分母分数后进行加减运算得到方程的解：
1. 对于形如“加数+x=和”的方程（如$\frac{1}{6}+x=\frac{1}{2}$和$x+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$），根据“一个加数=和-另一个加数”，将方程变形为$x=和-已知加数$，再通分计算；
2. 对于形如“被减数-x=差”的方程（如$\frac{5}{7}-x=\frac{1}{2}$），根据“减数=被减数-差”，变形为$x=被减数-差$，再通分计算；
3. 对于形如“x-减数=差”的方程（如$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{9}$），根据“被减数=差+减数”，变形为$x=差+减数$，再通分计算。
【解析】
解：$\frac{1}{6}+x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$
$x=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}$
$x=\frac{1}{3}$
解：$\frac{5}{7}-x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{5}{7}-\frac{1}{2}$
$x=\frac{10}{14}-\frac{7}{14}$
$x=\frac{3}{14}$
解：$x+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$
$x=\frac{7}{12}-\frac{1}{3}$
$x=\frac{7}{12}-\frac{4}{12}$
$x=\frac{1}{4}$
解：$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{9}$
$x=\frac{5}{9}+\frac{1}{6}$
$x=\frac{10}{18}+\frac{3}{18}$
$x=\frac{13}{18}$
【答案】
$x=\frac{1}{3}$；$x=\frac{3}{14}$；$x=\frac{1}{4}$；$x=\frac{13}{18}$
【知识点】
等式的基本性质，异分母分数加减法，分数一元一次方程求解
【点评】
本题考查基础的分数一元一次方程求解，解题关键在于掌握移项时的符号变化规则，以及异分母分数加减运算中通分的方法（找分母的最小公倍数作为公分母），计算过程中要注意将结果约分为最简分数。
【难度系数】
0.8
2. 在$◯$里填上“$＞$”“$＜$”或“$=$”。
$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}◯\frac{3}{5}-\frac{1}{5}$ $\frac{3}{14}+\frac{1}{7}◯\frac{3}{15}+\frac{1}{3}$ $\frac{2}{9}+\frac{2}{3}◯\frac{11}{18}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}◯\frac{3}{5}-\frac{1}{5}$ $\frac{3}{14}+\frac{1}{7}◯\frac{3}{15}+\frac{1}{3}$ $\frac{2}{9}+\frac{2}{3}◯\frac{11}{18}-\frac{1}{3}$
答案
$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$
$\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$，$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$，因为$\frac{5}{10}＞\frac{4}{10}$，所以$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}＞\frac{3}{5}-\frac{1}{5}$
$\frac{3}{14}+\frac{1}{7}=\frac{3}{14}+\frac{2}{14}=\frac{5}{14}$
$\frac{3}{15}+\frac{1}{3}=\frac{3}{15}+\frac{5}{15}=\frac{8}{15}$
$\frac{5}{14}=\frac{75}{210}$，$\frac{8}{15}=\frac{112}{210}$，因为$\frac{75}{210}＜\frac{112}{210}$，所以$\frac{3}{14}+\frac{1}{7}＜\frac{3}{15}+\frac{1}{3}$
$\frac{2}{9}+\frac{2}{3}=\frac{2}{9}+\frac{6}{9}=\frac{8}{9}=\frac{16}{18}$
$\frac{11}{18}-\frac{1}{3}=\frac{11}{18}-\frac{6}{18}=\frac{5}{18}$
因为$\frac{16}{18}＞\frac{5}{18}$，所以$\frac{2}{9}+\frac{2}{3}＞\frac{11}{18}-\frac{1}{3}$
$\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$
$\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$，$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$，因为$\frac{5}{10}＞\frac{4}{10}$，所以$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}＞\frac{3}{5}-\frac{1}{5}$
$\frac{3}{14}+\frac{1}{7}=\frac{3}{14}+\frac{2}{14}=\frac{5}{14}$
$\frac{3}{15}+\frac{1}{3}=\frac{3}{15}+\frac{5}{15}=\frac{8}{15}$
$\frac{5}{14}=\frac{75}{210}$，$\frac{8}{15}=\frac{112}{210}$，因为$\frac{75}{210}＜\frac{112}{210}$，所以$\frac{3}{14}+\frac{1}{7}＜\frac{3}{15}+\frac{1}{3}$
$\frac{2}{9}+\frac{2}{3}=\frac{2}{9}+\frac{6}{9}=\frac{8}{9}=\frac{16}{18}$
$\frac{11}{18}-\frac{1}{3}=\frac{11}{18}-\frac{6}{18}=\frac{5}{18}$
因为$\frac{16}{18}＞\frac{5}{18}$，所以$\frac{2}{9}+\frac{2}{3}＞\frac{11}{18}-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这道分数比较大小的题目，我们可以遵循以下思路：首先分别计算每组式子左右两边的分数运算结果，对于异分母分数的运算，先通分化为同分母分数再进行加减；得到两边的结果后，若分母不同则再次通分，将它们转化为同分母分数，最后根据“同分母分数，分子大的分数更大”的规则来判断大小关系。
【解析】
1. 第一组：
左边：$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
右边：$\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$
将$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{5}$通分，$\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$，$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$，因为$\frac{5}{10}＞\frac{4}{10}$，所以$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}＞\frac{3}{5}-\frac{1}{5}$。
2. 第二组：
左边：$\frac{3}{14}+\frac{1}{7}=\frac{3}{14}+\frac{2}{14}=\frac{5}{14}$
右边：$\frac{3}{15}+\frac{1}{3}=\frac{3}{15}+\frac{5}{15}=\frac{8}{15}$
将$\frac{5}{14}$和$\frac{8}{15}$通分，$\frac{5}{14}=\frac{75}{210}$，$\frac{8}{15}=\frac{112}{210}$，因为$\frac{75}{210}＜\frac{112}{210}$，所以$\frac{3}{14}+\frac{1}{7}＜\frac{3}{15}+\frac{1}{3}$。
3. 第三组：
左边：$\frac{2}{9}+\frac{2}{3}=\frac{2}{9}+\frac{6}{9}=\frac{8}{9}=\frac{16}{18}$
右边：$\frac{11}{18}-\frac{1}{3}=\frac{11}{18}-\frac{6}{18}=\frac{5}{18}$
因为$\frac{16}{18}＞\frac{5}{18}$，所以$\frac{2}{9}+\frac{2}{3}＞\frac{11}{18}-\frac{1}{3}$。
【答案】
＞，＜，＞
【知识点】
分数加减法，分数大小比较，通分
【点评】
本题主要考查学生对分数加减法运算及分数大小比较方法的掌握，重点在于异分母分数通分的运用，计算过程中需注意细心运算，避免通分或计算失误。
【难度系数】
0.6
要解决这道分数比较大小的题目，我们可以遵循以下思路：首先分别计算每组式子左右两边的分数运算结果，对于异分母分数的运算，先通分化为同分母分数再进行加减；得到两边的结果后，若分母不同则再次通分，将它们转化为同分母分数，最后根据“同分母分数，分子大的分数更大”的规则来判断大小关系。
【解析】
1. 第一组：
左边：$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
右边：$\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$
将$\frac{1}{2}$和$\frac{2}{5}$通分，$\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$，$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$，因为$\frac{5}{10}＞\frac{4}{10}$，所以$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}＞\frac{3}{5}-\frac{1}{5}$。
2. 第二组：
左边：$\frac{3}{14}+\frac{1}{7}=\frac{3}{14}+\frac{2}{14}=\frac{5}{14}$
右边：$\frac{3}{15}+\frac{1}{3}=\frac{3}{15}+\frac{5}{15}=\frac{8}{15}$
将$\frac{5}{14}$和$\frac{8}{15}$通分，$\frac{5}{14}=\frac{75}{210}$，$\frac{8}{15}=\frac{112}{210}$，因为$\frac{75}{210}＜\frac{112}{210}$，所以$\frac{3}{14}+\frac{1}{7}＜\frac{3}{15}+\frac{1}{3}$。
3. 第三组：
左边：$\frac{2}{9}+\frac{2}{3}=\frac{2}{9}+\frac{6}{9}=\frac{8}{9}=\frac{16}{18}$
右边：$\frac{11}{18}-\frac{1}{3}=\frac{11}{18}-\frac{6}{18}=\frac{5}{18}$
因为$\frac{16}{18}＞\frac{5}{18}$，所以$\frac{2}{9}+\frac{2}{3}＞\frac{11}{18}-\frac{1}{3}$。
【答案】
＞，＜，＞
【知识点】
分数加减法，分数大小比较，通分
【点评】
本题主要考查学生对分数加减法运算及分数大小比较方法的掌握，重点在于异分母分数通分的运用，计算过程中需注意细心运算，避免通分或计算失误。
【难度系数】
0.6
3. 计算下列各题，你能发现什么规律？
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=$ $\frac{1}{6}+\frac{1}{13}=$ $\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{8}-\frac{1}{11}=$ $\frac{1}{9}-\frac{1}{20}=$
我发现：分母是互质数，分子是$1$的两个分数相加，用分母的()作分母，分母的()作分子；它们相减，用分母的()作分母，分母的()作分子。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=$ $\frac{1}{6}+\frac{1}{13}=$ $\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=$ $\frac{1}{8}-\frac{1}{11}=$ $\frac{1}{9}-\frac{1}{20}=$
我发现：分母是互质数，分子是$1$的两个分数相加，用分母的()作分母，分母的()作分子；它们相减，用分母的()作分母，分母的()作分子。
答案
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5}{20}+\frac{4}{20}=\frac{9}{20}$
$\frac{1}{6}+\frac{1}{13}=\frac{13}{78}+\frac{6}{78}=\frac{19}{78}$
$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7}{35}-\frac{5}{35}=\frac{2}{35}$
$\frac{1}{8}-\frac{1}{11}=\frac{11}{88}-\frac{8}{88}=\frac{3}{88}$
$\frac{1}{9}-\frac{1}{20}=\frac{20}{180}-\frac{9}{180}=\frac{11}{180}$
我发现：分母是互质数，分子是$1$的两个分数相加，用分母的(乘积)作分母，分母的(和)作分子；它们相减，用分母的(乘积)作分母，分母的(差)作分子。
$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5}{20}+\frac{4}{20}=\frac{9}{20}$
$\frac{1}{6}+\frac{1}{13}=\frac{13}{78}+\frac{6}{78}=\frac{19}{78}$
$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7}{35}-\frac{5}{35}=\frac{2}{35}$
$\frac{1}{8}-\frac{1}{11}=\frac{11}{88}-\frac{8}{88}=\frac{3}{88}$
$\frac{1}{9}-\frac{1}{20}=\frac{20}{180}-\frac{9}{180}=\frac{11}{180}$
我发现：分母是互质数，分子是$1$的两个分数相加，用分母的(乘积)作分母，分母的(和)作分子；它们相减，用分母的(乘积)作分母，分母的(差)作分子。
解析
【分析】
首先我们需要运用异分母分数加减法的计算法则来解题：先对异分母分数进行通分，将其转化为同分母分数，再按照同分母分数加减法的规则（分母不变，分子相加减）计算结果。计算完所有式子后，结合题目提示“分母是互质数，分子是1”的条件，观察每个式子的分母、分子与计算结果之间的联系，从而总结出对应的运算规律。
【解析】
1. 计算加法式子：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5}{20}+\frac{4}{20}=\frac{9}{20}$
$\frac{1}{6}+\frac{1}{13}=\frac{13}{78}+\frac{6}{78}=\frac{19}{78}$
2. 计算减法式子：
$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7}{35}-\frac{5}{35}=\frac{2}{35}$
$\frac{1}{8}-\frac{1}{11}=\frac{11}{88}-\frac{8}{88}=\frac{3}{88}$
$\frac{1}{9}-\frac{1}{20}=\frac{20}{180}-\frac{9}{180}=\frac{11}{180}$
3. 总结规律：
观察上述计算结果可知，分母是互质数，分子是$1$的两个分数相加，用分母的(乘积)作分母，分母的(和)作分子；它们相减，用分母的(乘积)作分母，分母的(差)作分子。
【答案】
$\frac{5}{6}$；$\frac{9}{20}$；$\frac{19}{78}$；$\frac{2}{35}$；$\frac{3}{88}$；$\frac{11}{180}$；乘积、和、乘积、差
【知识点】
异分母分数加减法，运算规律归纳
【点评】
本题通过具体的分数运算练习，巩固了异分母分数加减法的计算方法，同时引导学生从特殊运算中归纳通用规律，锻炼了观察能力与归纳总结能力，有助于学生后续掌握分数简便运算技巧。
【难度系数】
0.8
首先我们需要运用异分母分数加减法的计算法则来解题：先对异分母分数进行通分，将其转化为同分母分数，再按照同分母分数加减法的规则（分母不变，分子相加减）计算结果。计算完所有式子后，结合题目提示“分母是互质数，分子是1”的条件，观察每个式子的分母、分子与计算结果之间的联系，从而总结出对应的运算规律。
【解析】
1. 计算加法式子：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5}{20}+\frac{4}{20}=\frac{9}{20}$
$\frac{1}{6}+\frac{1}{13}=\frac{13}{78}+\frac{6}{78}=\frac{19}{78}$
2. 计算减法式子：
$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7}{35}-\frac{5}{35}=\frac{2}{35}$
$\frac{1}{8}-\frac{1}{11}=\frac{11}{88}-\frac{8}{88}=\frac{3}{88}$
$\frac{1}{9}-\frac{1}{20}=\frac{20}{180}-\frac{9}{180}=\frac{11}{180}$
3. 总结规律：
观察上述计算结果可知，分母是互质数，分子是$1$的两个分数相加，用分母的(乘积)作分母，分母的(和)作分子；它们相减，用分母的(乘积)作分母，分母的(差)作分子。
【答案】
$\frac{5}{6}$；$\frac{9}{20}$；$\frac{19}{78}$；$\frac{2}{35}$；$\frac{3}{88}$；$\frac{11}{180}$；乘积、和、乘积、差
【知识点】
异分母分数加减法，运算规律归纳
【点评】
本题通过具体的分数运算练习，巩固了异分母分数加减法的计算方法，同时引导学生从特殊运算中归纳通用规律，锻炼了观察能力与归纳总结能力，有助于学生后续掌握分数简便运算技巧。
【难度系数】
0.8
4. 某自行车运动员经常去训练场进行训练。如下图，训练路线由三部分组成，从起点到全程的$\frac{1}{4}$处是上坡路，从全程的$\frac{1}{4}$处到全程的$\frac{4}{7}$处是下坡路，其余是平地。
（1）下坡路占全程的几分之几？
（2）该运动员从起点出发，向终点方向骑行了全程的$\frac{2}{5}$后停在原地休息，然后继续向终点方向骑行了全程的$\frac{1}{7}$，这时他处于哪段训练路线？（通过列式计算加以说明）
（1）下坡路占全程的几分之几？
（2）该运动员从起点出发，向终点方向骑行了全程的$\frac{2}{5}$后停在原地休息，然后继续向终点方向骑行了全程的$\frac{1}{7}$，这时他处于哪段训练路线？（通过列式计算加以说明）
答案
（1）$\frac{4}{7} - \frac{1}{4} = \frac{16}{28} - \frac{7}{28} = \frac{9}{28}$
答：下坡路占全程的$\frac{9}{28}$。
（2）$\frac{2}{5} + \frac{1}{7} = \frac{14}{35} + \frac{5}{35} = \frac{19}{35}$
$\frac{1}{4} = \frac{35}{140}$，$\frac{19}{35} = \frac{76}{140}$，$\frac{4}{7} = \frac{80}{140}$
因为$\frac{35}{140} ＜ \frac{76}{140} ＜ \frac{80}{140}$，即$\frac{1}{4} ＜ \frac{19}{35} ＜ \frac{4}{7}$
答：这时他处于下坡段训练路线。
答：下坡路占全程的$\frac{9}{28}$。
（2）$\frac{2}{5} + \frac{1}{7} = \frac{14}{35} + \frac{5}{35} = \frac{19}{35}$
$\frac{1}{4} = \frac{35}{140}$，$\frac{19}{35} = \frac{76}{140}$，$\frac{4}{7} = \frac{80}{140}$
因为$\frac{35}{140} ＜ \frac{76}{140} ＜ \frac{80}{140}$，即$\frac{1}{4} ＜ \frac{19}{35} ＜ \frac{4}{7}$
答：这时他处于下坡段训练路线。
解析
【分析】
（1）要求下坡路占全程的几分之几，已知下坡路是从全程的$\frac{1}{4}$处到全程的$\frac{4}{7}$处，用下坡路终点对应的分率减去起点对应的分率即可求解。
（2）先计算运动员总共骑行的路程占全程的分率，再将该结果与上坡路终点分率$\frac{1}{4}$、下坡路终点分率$\frac{4}{7}$比较大小，根据比较结果判断所处路线。
【解析】
（1）计算下坡路占全程的分率：
$\frac{4}{7} - \frac{1}{4} = \frac{16}{28} - \frac{7}{28} = \frac{9}{28}$
答：下坡路占全程的$\frac{9}{28}$。
（2）计算运动员总共骑行的路程占全程的分率：
$\frac{2}{5} + \frac{1}{7} = \frac{14}{35} + \frac{5}{35} = \frac{19}{35}$
将$\frac{1}{4}$、$\frac{19}{35}$、$\frac{4}{7}$通分后比较大小：
$\frac{1}{4} = \frac{35}{140}$，$\frac{19}{35} = \frac{76}{140}$，$\frac{4}{7} = \frac{80}{140}$
因为$\frac{35}{140} ＜ \frac{76}{140} ＜ \frac{80}{140}$，即$\frac{1}{4} ＜ \frac{19}{35} ＜ \frac{4}{7}$
所以这时他处于下坡段训练路线。
答：这时他处于下坡段训练路线。
【答案】
（1）$\frac{9}{28}$；（2）下坡段训练路线
【知识点】
分数加减运算，分数大小比较
【点评】
本题考查分数的加减运算与大小比较，解题关键是掌握通分方法来完成分数计算与大小比较，明确各路段对应的全程分率范围是判断路段的核心。
【难度系数】
0.6
（1）要求下坡路占全程的几分之几，已知下坡路是从全程的$\frac{1}{4}$处到全程的$\frac{4}{7}$处，用下坡路终点对应的分率减去起点对应的分率即可求解。
（2）先计算运动员总共骑行的路程占全程的分率，再将该结果与上坡路终点分率$\frac{1}{4}$、下坡路终点分率$\frac{4}{7}$比较大小，根据比较结果判断所处路线。
【解析】
（1）计算下坡路占全程的分率：
$\frac{4}{7} - \frac{1}{4} = \frac{16}{28} - \frac{7}{28} = \frac{9}{28}$
答：下坡路占全程的$\frac{9}{28}$。
（2）计算运动员总共骑行的路程占全程的分率：
$\frac{2}{5} + \frac{1}{7} = \frac{14}{35} + \frac{5}{35} = \frac{19}{35}$
将$\frac{1}{4}$、$\frac{19}{35}$、$\frac{4}{7}$通分后比较大小：
$\frac{1}{4} = \frac{35}{140}$，$\frac{19}{35} = \frac{76}{140}$，$\frac{4}{7} = \frac{80}{140}$
因为$\frac{35}{140} ＜ \frac{76}{140} ＜ \frac{80}{140}$，即$\frac{1}{4} ＜ \frac{19}{35} ＜ \frac{4}{7}$
所以这时他处于下坡段训练路线。
答：这时他处于下坡段训练路线。
【答案】
（1）$\frac{9}{28}$；（2）下坡段训练路线
【知识点】
分数加减运算，分数大小比较
【点评】
本题考查分数的加减运算与大小比较，解题关键是掌握通分方法来完成分数计算与大小比较，明确各路段对应的全程分率范围是判断路段的核心。
【难度系数】
0.6
5. 两千多年前，古埃及人喜欢把分数转化成分子是$1$的分数来计算，后来人们常把分子是$1$的分数称为“埃及分数”，也称之为“单位分数”。比如：$\frac{2}{7}=\frac{8}{28}=\frac{7}{28}+\frac{1}{28}=\frac{1}{4}+\frac{1}{28}$。你能用古埃及人的方法表示下面的分数吗？填一填。
$\frac{5}{12}=\frac{1}{(\_\_\_\_\_\_)}+\frac{1}{(\_\_\_\_\_\_)}$ $\frac{3}{8}=\frac{1}{(\_\_\_\_\_\_)}+\frac{1}{(\_\_\_\_\_\_)}$
$\frac{5}{12}=\frac{1}{(\_\_\_\_\_\_)}+\frac{1}{(\_\_\_\_\_\_)}$ $\frac{3}{8}=\frac{1}{(\_\_\_\_\_\_)}+\frac{1}{(\_\_\_\_\_\_)}$
答案
$\frac{5}{12}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$
$\frac{3}{8}=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$
（注：$\frac{5}{12}$也可表示为$\frac{1}{3}+\frac{1}{12}$，两种形式均正确）
$\frac{3}{8}=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$
（注：$\frac{5}{12}$也可表示为$\frac{1}{3}+\frac{1}{12}$，两种形式均正确）
解析
【分析】
要将给定分数拆成两个埃及分数（单位分数）之和，解题思路是：先把原分数的分子拆成两个数的和，这两个数需是分母的因数，再将拆分后的两个分数分别约分，使其分子变为1。
比如对于$\frac{5}{12}$，分子5可拆成3+2（3和2都是12的因数），也可拆成1+4（1和4都是12的因数）；对于$\frac{3}{8}$，分子3可拆成1+2（1和2都是8的因数），之后分别拆分分数并约分即可得到单位分数。
【解析】
1. 拆分$\frac{5}{12}$：
方法一：
$\frac{5}{12}=\frac{3+2}{12}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$
方法二：
$\frac{5}{12}=\frac{1+4}{12}=\frac{1}{12}+\frac{4}{12}=\frac{1}{12}+\frac{1}{3}$
2. 拆分$\frac{3}{8}$：
$\frac{3}{8}=\frac{1+2}{8}=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{5}{12}=\frac{1}{(4)}+\frac{1}{(6)}$（或$\frac{1}{(3)}+\frac{1}{(12)}$）；$\frac{3}{8}=\frac{1}{(8)}+\frac{1}{(4)}$
【知识点】
分数拆分、约分、单位分数应用
【点评】
本题考查对分数拆分及约分的灵活运用，核心是将原分数分子拆分为分母的两个因数之和，再通过约分得到单位分数，有助于提升学生对分数基本性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
要将给定分数拆成两个埃及分数（单位分数）之和，解题思路是：先把原分数的分子拆成两个数的和，这两个数需是分母的因数，再将拆分后的两个分数分别约分，使其分子变为1。
比如对于$\frac{5}{12}$，分子5可拆成3+2（3和2都是12的因数），也可拆成1+4（1和4都是12的因数）；对于$\frac{3}{8}$，分子3可拆成1+2（1和2都是8的因数），之后分别拆分分数并约分即可得到单位分数。
【解析】
1. 拆分$\frac{5}{12}$：
方法一：
$\frac{5}{12}=\frac{3+2}{12}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$
方法二：
$\frac{5}{12}=\frac{1+4}{12}=\frac{1}{12}+\frac{4}{12}=\frac{1}{12}+\frac{1}{3}$
2. 拆分$\frac{3}{8}$：
$\frac{3}{8}=\frac{1+2}{8}=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{5}{12}=\frac{1}{(4)}+\frac{1}{(6)}$（或$\frac{1}{(3)}+\frac{1}{(12)}$）；$\frac{3}{8}=\frac{1}{(8)}+\frac{1}{(4)}$
【知识点】
分数拆分、约分、单位分数应用
【点评】
本题考查对分数拆分及约分的灵活运用，核心是将原分数分子拆分为分母的两个因数之和，再通过约分得到单位分数，有助于提升学生对分数基本性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
