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1 [2025 扬州月考] (1) 如图 1, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB = AD$, $∠B = ∠D = 90^{\circ}$, $E$, $F$ 分别是边 $BC$, $CD$ 上的点, 且 $∠EAF = \frac{1}{2}∠BAD$。请直接写出线段 $EF$, $BE$, $FD$ 之间的数量关系:
(2) 如图 2, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB = AD$, $∠B + ∠D = 180^{\circ}$, $E$, $F$ 分别是边 $BC$, $CD$ 上的点, 且 $∠EAF = \frac{1}{2}∠BAD$, (1) 中的结论是否仍然成立? 请说明理由。
$EF=BE+FD$
。(2) 如图 2, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB = AD$, $∠B + ∠D = 180^{\circ}$, $E$, $F$ 分别是边 $BC$, $CD$ 上的点, 且 $∠EAF = \frac{1}{2}∠BAD$, (1) 中的结论是否仍然成立? 请说明理由。
答案
1 解：(1)$EF=BE+FD$
如图1，延长$EB$到$G$，使$BG=DF$，连接$AG$。在$△ ABG$和$△ ADF$中，$\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠ABG=∠ADF,\\ BG=DF,\end{array} $所以$△ ABG≌ △ ADF(SAS)$，所以$AG=AF,∠1=∠2$，所以$∠1+∠3=∠2+∠3=\frac {1}{2}∠BAD=∠EAF$，所以$∠EAG=∠EAF$，又因为$AE=AE,AG=AF$，所以$△ AEG≌ △ AEF$，所以$EG=EF$。因为$EG=BE+BG=BE+FD$，所以$EF=BE+FD$。
(2)(1)中的结论仍然成立。理由如下：
如图2，延长$EB$到$G$，使$BG=DF$，连接$AG$。
因为$∠ABC+∠D=180^{\circ },∠ABG+∠ABC=180^{\circ }$，所以$∠ABG=∠D$。
在$△ ABG$和$△ ADF$中，$\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠ABG=∠D,\\ BG=DF,\end{array} $
所以$△ ABG≌ △ ADF(SAS)$，所以$AG=AF,∠1=∠2$，
所以$∠1+∠3=∠2+∠3=\frac {1}{2}∠BAD=∠EAF$，
所以$∠EAG=∠EAF$，
又因为$AE=AE,AG=AF$，所以$△ AEG≌ △ AEF$，所以$EG=EF$。
因为$EG=BE+BG=BE+FD$，所以$EF=BE+FD$。
2 [2025 黔东南州月考]【阅读与理解】连接三角形的顶点和它所对的边的中点所得的线段称为三角形的中线。
由三角形的中线得出结论: 三角形的中线等分三角形的面积。
即如图 1, $AD$ 是 $△ABC$ 中 $BC$ 边上的中线, 则 $S_{△ABD} = S_{△ACD} = \frac{1}{2}S_{△ABC}$。
理由: 因为 $BD = CD$, 所以 $S_{△ABD} = \frac{1}{2}BD·AH = \frac{1}{2}CD·AH = S_{△ACD} = \frac{1}{2}S_{△ABC}$, 即等底同高的三角形面积相等。
【操作与探索】在图 2 至图 4 中, $△ABC$ 的面积为 $a$。
(1) 如图 2, 延长 $△ABC$ 的边 $BC$ 到点 $D$, 使 $CD = BC$, 连接 $DA$, 若 $△ACD$ 的面积为 $S_1$, 则 $S_1 =$
(2) 如图 3, 延长 $△ABC$ 的边 $BC$ 到点 $D$, 延长边 $CA$ 到点 $E$, 使 $CD = BC$, $AE = CA$, 连接 $DE$, 若 $△DEC$ 的面积为 $S_2$, 则 $S_2 =$
(3) 在图 3 基础上延长 $AB$ 到点 $F$, 使 $BF = AB$, 连接 $FD$, $FE$, 得到 $△DEF$ (如图 4), 若阴影部分的面积为 $S_3$, 则 $S_3 =$
【拓展与应用】(4) 如图 5, 已知四边形 $ABCD$ 的面积是 $m$, $E$, $F$, $G$, $H$ 分别是 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 的中点, 求图中阴影部分的面积。
由三角形的中线得出结论: 三角形的中线等分三角形的面积。
即如图 1, $AD$ 是 $△ABC$ 中 $BC$ 边上的中线, 则 $S_{△ABD} = S_{△ACD} = \frac{1}{2}S_{△ABC}$。
理由: 因为 $BD = CD$, 所以 $S_{△ABD} = \frac{1}{2}BD·AH = \frac{1}{2}CD·AH = S_{△ACD} = \frac{1}{2}S_{△ABC}$, 即等底同高的三角形面积相等。
【操作与探索】在图 2 至图 4 中, $△ABC$ 的面积为 $a$。
(1) 如图 2, 延长 $△ABC$ 的边 $BC$ 到点 $D$, 使 $CD = BC$, 连接 $DA$, 若 $△ACD$ 的面积为 $S_1$, 则 $S_1 =$
$a$
。(用含 $a$ 的代数式表示)(2) 如图 3, 延长 $△ABC$ 的边 $BC$ 到点 $D$, 延长边 $CA$ 到点 $E$, 使 $CD = BC$, $AE = CA$, 连接 $DE$, 若 $△DEC$ 的面积为 $S_2$, 则 $S_2 =$
$2a$
。(用含 $a$ 的代数式表示)(3) 在图 3 基础上延长 $AB$ 到点 $F$, 使 $BF = AB$, 连接 $FD$, $FE$, 得到 $△DEF$ (如图 4), 若阴影部分的面积为 $S_3$, 则 $S_3 =$
$6a$
。(用含 $a$ 的代数式表示)【拓展与应用】(4) 如图 5, 已知四边形 $ABCD$ 的面积是 $m$, $E$, $F$, $G$, $H$ 分别是 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ 的中点, 求图中阴影部分的面积。
答案
2 解：(1)$a$
因为$CD=BC$，所以$S_{△ ACD}=S_{△ ABC}$，所以$S_{1}=a$。
(2)$2a$
如图1，连接$AD$，因为$CD=BC,AE=CA$，所以$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}=S_{△ AED}$，所以$S_{△ DEC}=2S_{△ ABC}=S_{2}$，所以$S_{2}=2a$。
(3)$6a$
由(2)得，$S_{△ CDE}=S_{△ AEF}=S_{△ BFD}=2a$，所以阴影部分的面积为$S_{3}=3×2a=6a$。
(4)如图2，连接$AO,BO,CO,DO$，
则$S_{△ AOE}=S_{△ BOE}=\frac {1}{2}S_{△ AOB},S_{△ BOF}=S_{△ COF}=\frac {1}{2}S_{△ COB}$，
$S_{△ COG}=S_{△ DOG}=\frac {1}{2}S_{△ COD},S_{△ DOH}=S_{△ AOH}=\frac {1}{2}S_{△ AOD}$，
所以阴影部分面积$=\frac {1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac {1}{2}m$。
