1. 对方程 $8x + 6x - 10x = 8$ 合并同类项正确的是( )

A.$3x = 8$
B.$4x = 8$
C.$8x = 8$
D.$2x = 8$

B

$8x + 6x - 10x = (8 + 6 - 10)x = 4x$，方程合并同类项后为$4x = 8$，故选B。

2. 如果 $2x$ 与 $x - 3$ 的值互为相反数,那么 $x$ 等于( )

A.$-1$
B.$1$
C.$-3$
D.$3$

B

因为$2x$与$x - 3$互为相反数，所以$2x + (x - 3) = 0$，
$2x + x - 3 = 0$，
$3x - 3 = 0$，
$3x = 3$，
$x = 1$。
B

3. 对于任意四个有理数 $a$,$b$,$c$,$d$,定义一种新运算 $\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix} = ad - bc$。若 $\begin{vmatrix}4&2x\\1&x\end{vmatrix} = 12$,则 $x$ 的值为( )

A.$2$
B.$3$
C.$6$
D.$-6$

C

由新运算定义可得：$4x - 1×2x = 12$，化简得$4x - 2x = 12$，即$2x = 12$，解得$x = 6$。
C

4. 小冬同学在解方程 $\frac{x}{6}-\frac{x}{2}= \frac{5}{3}$ 时,他是这样做的：
解：$(\frac{1}{6}-\frac{1}{2})x= \frac{5}{3}$。①
$-\frac{1}{3}x= \frac{5}{3}$。②
$x = -5$。③
所以 $x = -5$ 是原方程的解。
你认为小冬做______(填“对”或“错”)了,步骤①变形的依据是______。

对;合并同类项

5. 若三个连续偶数的和是 $24$,则它们的积是______。

480 【点拨】设中间的一个偶数为x,则第一个偶数为x-2,第三个偶数为x+2,则有x-2+x+x+2=24,解得x=8,故这三个偶数为6,8,10,所以它们的积是6×8×10=480.

设中间的一个偶数为$x$，则第一个偶数为$x - 2$，第三个偶数为$x + 2$。
$x - 2 + x + x + 2 = 24$
$3x = 24$
$x = 8$
这三个偶数为$6$，$8$，$10$。
它们的积是$6×8×10 = 480$
480

6. 解下列方程：
(1) $2x - 7x + 8x = 9 - 12 + 1$；
(2) $x-\frac{2}{5}x-\frac{1}{2}x= 3 - 6$。

【解】
(1)合并同类项,得3x=-2,系数化为1,得$x=-\dfrac{2}{3}.(2)$合并同类项,得0.1x=-3,系数化为1,得x=-30.

7. 在《国家空间科学中长期发展规划(2024 - 2050 年)》中,明确了我国空间科学发展目标,提出了我国拟突破的“极端宇宙”“时空涟漪”“日地全景”“宜居行星”“太空格物”5 大科学主题。某班老师在进行相关科普时,让 $48$ 名学生从这 $5$ 大科学主题中各自选择一个喜欢的主题,最终选择“极端宇宙”“时空涟漪”“日地全景”“宜居行星”“太空格物”的人数比是 $2:3:2:4:1$,那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？

【解】设喜欢"太空格物"主题的人数为x,则喜欢"极端宇宙""时空涟漪""日地全景""宜居行星"主题的人数分别为2x,3x,2x,4x.由题意列方程为2x+3x+2x+4x+x=48,解得x=4,所以4x=16.答:喜欢"宜居行星"主题的人数是16.

设喜欢“太空格物”主题的人数为$x$，则喜欢“极端宇宙”“时空涟漪”“日地全景”“宜居行星”主题的人数分别为$2x$，$3x$，$2x$，$4x$。
由题意列方程为：$2x + 3x + 2x + 4x + x = 48$
合并同类项得：$12x = 48$
解得：$x = 4$
所以喜欢“宜居行星”主题的人数为：$4x = 4×4 = 16$
答：喜欢“宜居行星”主题的人数是$16$。

8. 若 $2×□ - 3×□ = -4$,那么“$□$”内应填的数是( )

A.$-4$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$4$

D

设“$□$”内应填的数是$x$，则$2x - 3x=-4$，$-x=-4$，$x=4$。
D

9. [2025 扬州期中] 方程 $\frac{x}{3}+\frac{x}{15}+\frac{x}{35}+…+\frac{x}{2023×2025}= 1$ 的解是 $x= $( )

A.$\frac{2024}{2025}$
B.$\frac{2025}{2024}$
C.$\frac{2025}{1012}$
D.$\frac{1012}{2025}$

C 【点拨$】\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{15}+\dfrac{x}{35}+\cdots+\dfrac{x}{2023×2025}=1,\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{35}+\cdots+\dfrac{1}{2023×2025}\right)x=1,\left( \dfrac{1}{1×3}+\dfrac{1}{3×5}+\dfrac{1}{5×7}+\cdots+\dfrac{1}{2023×2025}\right)x=1,\left \lbrack \dfrac{1}{2}×\left( 1-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{2}×\left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{2}×\left( \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right)+\cdots+\dfrac{1}{2}×\left( \dfrac{1}{2023}-\dfrac{1}{2025}\right)\right\rbrack x=1,\dfrac{1}{2}×\left( 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots+\dfrac{1}{2023}-\dfrac{1}{2025}\right)x=1,\dfrac{1}{2}×\dfrac{2024}{2025}x=1,$解得$x=\dfrac{2025}{1012}.$