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10. 一个三角形的三边长分别为 $a$,$b$,$c$,已知 $a:b = 3:2$,$b:c = 4:5$。且该三角形的周长为 $30$。则该三角形的三边长分别为______。
答案
12,8,10 【点拨】由a:b=3:2=6:4,b:c=4:5,得a:b:c=6:4:5,故设a=6n,b=4n,c=5n.因为该三角形的周长为30,所以6n+4n+5n=30,解得n=2,故a=12,b=8,c=10.
解析
由$a:b = 3:2 = 6:4$，$b:c = 4:5$，得$a:b:c = 6:4:5$。设$a = 6n$，$b = 4n$，$c = 5n$。因为三角形周长为$30$，所以$6n + 4n + 5n = 30$，解得$n = 2$。则$a = 6×2 = 12$，$b = 4×2 = 8$，$c = 5×2 = 10$。
12,8,10
12,8,10
11. 有一数列,按一定规律排列：$-1$,$2$,$-4$,$8$,$-16$,$32$,…$$,其中某三个数之和为 $1536$,这三个数中最小的数为______。
答案
-1024 【点拨】设中间的数为x,则前面的数是$-\dfrac{1}{2}x,$后面的数是-2x,依题意得$-\dfrac{1}{2}x+x+(-2x)=1536,$解得x=-1024,则前面的数是512,后面的数是2048,故这三个数中最小的数是-1024.
解析
设中间的数为$x$，则前面的数是$-\dfrac{1}{2}x$，后面的数是$-2x$。依题意得：
$-\dfrac{1}{2}x + x + (-2x) = 1536$
$-\dfrac{1}{2}x + x - 2x = 1536$
$\left(-\dfrac{1}{2} + 1 - 2\right)x = 1536$
$\left(-\dfrac{3}{2}\right)x = 1536$
解得$x = -1024$。
前面的数是$-\dfrac{1}{2}x = -\dfrac{1}{2} × (-1024) = 512$，后面的数是$-2x = -2 × (-1024) = 2048$。
这三个数为$512$，$-1024$，$2048$，其中最小的数是$-1024$。
$-1024$
$-\dfrac{1}{2}x + x + (-2x) = 1536$
$-\dfrac{1}{2}x + x - 2x = 1536$
$\left(-\dfrac{1}{2} + 1 - 2\right)x = 1536$
$\left(-\dfrac{3}{2}\right)x = 1536$
解得$x = -1024$。
前面的数是$-\dfrac{1}{2}x = -\dfrac{1}{2} × (-1024) = 512$，后面的数是$-2x = -2 × (-1024) = 2048$。
这三个数为$512$，$-1024$，$2048$，其中最小的数是$-1024$。
$-1024$
12. 如果一个长方形内部能用一些正方形铺满(既不重叠,又无缝隙),就称该长方形为“优美长方形”。如图所示,“优美长方形”$ABCD$ 的周长为 $26$,则正方形 $d$ 的边长为______。
答案
5 【点拨】设正方形b的边长为x,则正方形a的边长为2x,正方形c的边长为3x,正方形d的边长为5x.依题意得(3x+5x+5x)×2=26,解得x=1,所以5x=5×1=5,即正方形d的边长为5.
解析
设正方形$b$的边长为$x$，则正方形$a$的边长为$2x$，正方形$c$的边长为$3x$，正方形$d$的边长为$5x$。依题意得$(3x + 5x + 5x) × 2 = 26$，解得$x = 1$，所以$5x = 5×1 = 5$。
5
5
13. 新考向 数学文化 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关。”其大意如下：有人要去某关口,路程 $378$ 里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地。求此人第三天走的路程。
答案
【解】设此人第三天走的路程为x里,则其他五天走的路程分别为4x里,2x里$,\dfrac{1}{2}x$里$,\dfrac{1}{4}x$里$,\dfrac{1}{8}x$里,依题意,得$4x+2x+x+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{8}x=378,$解得x=48.答:此人第三天走的路程是48里.
解析
【解】设此人第三天走的路程为$x$里，则第一天走的路程为$4x$里，第二天走的路程为$2x$里，第四天走的路程为$\dfrac{1}{2}x$里，第五天走的路程为$\dfrac{1}{4}x$里，第六天走的路程为$\dfrac{1}{8}x$里。依题意，得$4x + 2x + x + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{8}x = 378$，解得$x = 48$。答：此人第三天走的路程是$48$里。
14. 母题 教材 P131 习题 T14 如图所示的数阵是由 $88$ 个偶数组成：
$\begin{array}{cccccccc}2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 \\18 & 20 & 22 & 24 & 26 & 28 & 30 & 32 \\34 & 36 & 38 & 40 & 42 & 44 & 46 & 48 ……………………\\ & & & & & & & \\162 & 164 & 166 & 168 & 170 & 172 & 174 & 176\end{array} $
(1) 甲同学圈出如图中所示类似的四个数的和为 $432$,你能求出这四个数吗？
(2) 乙同学想用这样的框圈出和为 $172$ 的四个数,你认为可能吗？
(3) 你能用这样的框圈出和为 $352$ 的四个数吗？若能,请写出这四个数；若不能,请说明理由。
$\begin{array}{cccccccc}2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 \\18 & 20 & 22 & 24 & 26 & 28 & 30 & 32 \\34 & 36 & 38 & 40 & 42 & 44 & 46 & 48 ……………………\\ & & & & & & & \\162 & 164 & 166 & 168 & 170 & 172 & 174 & 176\end{array} $
(1) 甲同学圈出如图中所示类似的四个数的和为 $432$,你能求出这四个数吗？
(2) 乙同学想用这样的框圈出和为 $172$ 的四个数,你认为可能吗？
(3) 你能用这样的框圈出和为 $352$ 的四个数吗？若能,请写出这四个数；若不能,请说明理由。
答案
【解】
(1)设甲同学圈出的四个数中最小的数为x,则其他三个数分别是x+2,x+16,x+14.因为这四个数的和为432,所以x+x+2+x+14+x+16=432,解得x=100,所以x+2=102,x+14=114,x+16=116,所以这四个数分别是100,102,114,116.
(2)不可能.设圈出的四个数中最小的数为m,根据题意,得m+m+2+m+14+m+16=172,解得m=35,因为35不是偶数,所以不可能用这样的框圈出和为172的四个数.
(3)不能圈出和为352的四个数.理由如下:设圈出的四个数中最小的数为n,根据题意,得n+n+2+n+14+n+16=352,解得n=80,所以n+2=82,n+14=94,n+16=96,由数阵可知,80在最右边一列,82在80的下一行的最左边,96在80的正下方,94在96的左边,所以不能用这样的框圈出和为352的四个数.
(1)设甲同学圈出的四个数中最小的数为x,则其他三个数分别是x+2,x+16,x+14.因为这四个数的和为432,所以x+x+2+x+14+x+16=432,解得x=100,所以x+2=102,x+14=114,x+16=116,所以这四个数分别是100,102,114,116.
(2)不可能.设圈出的四个数中最小的数为m,根据题意,得m+m+2+m+14+m+16=172,解得m=35,因为35不是偶数,所以不可能用这样的框圈出和为172的四个数.
(3)不能圈出和为352的四个数.理由如下:设圈出的四个数中最小的数为n,根据题意,得n+n+2+n+14+n+16=352,解得n=80,所以n+2=82,n+14=94,n+16=96,由数阵可知,80在最右边一列,82在80的下一行的最左边,96在80的正下方,94在96的左边,所以不能用这样的框圈出和为352的四个数.
15. 新趋势 学科内综合 已知 A,B,C 三点在数轴上的位置如图所示,它们表示的数分别是 a,b,c,且 |a| = 2,点 B 到点 A,C 的距离相等。
(1) 求 b,c 之间的关系；
(2) 若 b = 4,数轴上点 P 对应的数为 x,且满足 PA + PB = 10,求 x 的值。
$\begin{array}{ccccccc}$
A & O & B & & C \\
a & 0 & b & & c
$\end{array} $
(1) 求 b,c 之间的关系；
(2) 若 b = 4,数轴上点 P 对应的数为 x,且满足 PA + PB = 10,求 x 的值。
$\begin{array}{ccccccc}$
A & O & B & & C \\
a & 0 & b & & c
$\end{array} $
答案
【解】
(1)根据数轴可知a＜0＜b＜c,所以OB=b,OC=c,OA=-a.因为|a|=2,所以OA=2.因为点B到点A,C的距离相等,所以AB=BC,所以OA+OB=OC-OB,即2+b=c-b,所以2+2b=c.
(2)因为b=4,数轴上点P对应的数为x,所以PA=|x+2|,PB=|x-4|.因为PA+PB=10,所以|x+2|+|x-4|=10.当x≥4时,x+2+x-4=10,解得x=6;当-2≤x＜4时,x+2+4-x=10,此时无解,舍去;当x＜-2时,-x-2+4-x=10,解得x=-4.综上,x的值为6或-4.
(1)根据数轴可知a＜0＜b＜c,所以OB=b,OC=c,OA=-a.因为|a|=2,所以OA=2.因为点B到点A,C的距离相等,所以AB=BC,所以OA+OB=OC-OB,即2+b=c-b,所以2+2b=c.
(2)因为b=4,数轴上点P对应的数为x,所以PA=|x+2|,PB=|x-4|.因为PA+PB=10,所以|x+2|+|x-4|=10.当x≥4时,x+2+x-4=10,解得x=6;当-2≤x＜4时,x+2+4-x=10,此时无解,舍去;当x＜-2时,-x-2+4-x=10,解得x=-4.综上,x的值为6或-4.
