典例1（2023·徐州贾汪一模）如图，在△ABC中，BC = 3，将△ABC平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁，P，Q分别是AB，A₁C₁的中点，则PQ长的取值范围是______________.
　　　　　　

如图，取A₁B₁的中点N，连接NQ，PN. ∵将△ABC平移5个单位长度得到△A₁B₁C₁，∴B₁C₁ = BC = 3，PN = 5.
∵N，Q分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，∴NQ = $\frac{1}{2}$B₁C₁ = $\frac{3}{2}$.
∴5 - $\frac{3}{2}$ ≤ PQ ≤ 5 + $\frac{3}{2}$，即$\frac{7}{2}$ ≤ PQ ≤ $\frac{13}{2}$. ∴PQ长的取值范围是$\frac{7}{2}$ ≤ PQ ≤ $\frac{13}{2}$.

典例2（2024·南京模拟）如图，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转到△DBE的位置. 若∠ABD = 60°，则∠1的度数为________.
　　　　　　

如图，∵∠ABD = 60°，∴△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE. ∴∠5 = 60°，∠E = ∠C. ∵∠2 + ∠3 + ∠C = ∠E + ∠4 + ∠5，∠3 = ∠4，∴∠2 = ∠5 = 60°. ∴∠1 = ∠2 = 60°.

典例3（2024·盐城）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，$AC = BC = 2\sqrt{2}，$D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转得到△BEF，连接CF. 当CF//AB时，CF = __________.
　　　　　

∵∠ACB = 90°，D是AC的中点，AC = BC = 2$\sqrt{2}$，∴∠A = ∠ABC = 45°，DC = $\sqrt{2}$. ∴BD = $\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}$ = $\sqrt{10}$. 由旋转，得BF = BD = $\sqrt{10}$. 分两种情况讨论. ① 当点F在点C右边时，如图①，过点B作BM⊥CF于点M. ∵CF//AB，∴∠FCB = ∠ABC = 45°. ∴易得CM = BM = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BC = 2. ∴MF = $\sqrt{BF^{2}-BM^{2}}$ = $\sqrt{6}$. ∴CF = $\sqrt{6}$ + 2. ② 当点F在点C左边时，如图②，过点B作BN⊥FC，交FC的延长线于点N. ∵CF//AB，∴∠BCN = ∠ABC = 45°. ∴易得CN = BN = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BC = 2. ∴NF = $\sqrt{BF^{2}-BN^{2}}$ = $\sqrt{6}$. ∴CF = $\sqrt{6}$ - 2. 综上所述，CF = $\sqrt{6}$ + 2或$\sqrt{6}$ - 2.

典例4 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图.
（1）如图①，点O在格点上，画出线段AB关于点O中心对称的线段CD（点A对应点C）；
（2）如图②，点P在格点上，画出线段AB绕点P按逆时针方向旋转90°得到的线段EF（点A对应点E）；
（3）如图③，找格点G，H，使四边形ABGH既是轴对称图形，又是中心对称图形.
　　　

(1) 如图①，线段CD即为所求. (2) 如图②，线段EF即为所求. (3) 如图③，四边形ABGH即为所求.

典例5（2024·淮安淮阴一模）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形. 若OA∶AA' = 1∶2，则△ABC与△A'B'C'的面积之比为 （ ）
　　　　　　　　
A. 1∶2
B. 1∶4
C. 1∶9
D. 4∶9

C.

典例6（2024·盐城三模）如图，以点C(0，1)为位似中心，将△ABC按相似比2∶1放大，得到△DEC，则点A(2，－1)的对应点D的坐标为________________.
　　　　　　　　

(4，-3)或(-4，5).