典例3(2024·泰州海陵模拟)
制作简易杆秤
【杆秤示意图】 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导，得$(m_0 + m)\cdot l = M\cdot (a + y)$. 其中秤盘质量为$m_0$克，重物质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.
【设计杆秤】
设定$m_0 = 10$，M = 50，最大可称重物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
任务一：确定l和a的值.
(1) 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2) 当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3) 根据(1)和(2)所列方程，求出l和a的值.
任务二：确定刻线的位置.
(4) 根据任务一，求y关于m的函数表达式；
(5) 从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.
[思路点拨](1)将$m_0 = 10$，M = 50，m = 0，y = 0代入方程，即可求解.(2)将$m_0 = 10$，M = 50，m = 1 000，y = 50代入方程，即可求解.(3)由(1)(2)，可建立二元一次方程组进行求解.(4)根据(3)可进行求解.(5)分别把m = 0，m = 100，m = 200，m = 300，m = 400，m = 500，m = 600，m = 700，m = 800，m = 900，m = 1 000代入(4)中求得的函数表达式，即可求解.

典例3(1)由题意，得$m = 0$，$y = 0$。
$\because m_{0}=10$，$M = 50$，$\therefore 10l = 50a$。$\therefore l = 5a$。
(2)由题意，得$m = 1000$，$y = 50$，$\therefore (10 + 1000)\cdot l = 50(a + 50)$。
$\therefore 101l - 5a = 250$。
(3)由(1)(2)，可得$\begin{cases}l = 5a, \\ 101l - 5a = 250, \end{cases}$解得$\begin{cases}l = 2.5, \\ a = 0.5. \end{cases}$
(4)由(3)可知，$l = 2.5$，$a = 0.5$，$\therefore 2.5(10 + m)=50(0.5 + y)$。
整理，得$y=\frac{1}{20}m$。
(5)由(4)可知，$y=\frac{1}{20}m$，$\therefore$当$m = 0$时，$y = 0$；当$m = 100$时，$y = 5$；当$m = 200$时，$y = 10$；当$m = 300$时，$y = 15$；当$m = 400$时，$y = 20$；当$m = 500$时，$y = 25$；当$m = 600$时，$y = 30$；当$m = 700$时，$y = 35$；当$m = 800$时，$y = 40$；当$m = 900$时，$y = 45$；当$m = 1000$时，$y = 50$。
$\therefore$相邻刻线间的距离为5厘米。