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一次函数与方程（组）、不等式的关系
与一元一次方程的关系：方程$kx + b = 0(k\neq0)$的解是直线$y = kx + b(k\neq0)$与$x$轴交点的横坐标
与二元一次方程组的关系：方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1\\y = k_2x + b_2\end{cases}$的解是直线$y = k_1x + b_1$与$y = k_2x + b_2$的交点坐标
与一元一次不等式的关系
从“数”上看
1. 关于$x$的不等式$kx + b＞0$的解集$\Leftrightarrow y = kx + b$中，当$y＞0$时$x$的取值范围
2. 关于$x$的不等式$kx + b＜0$的解集$\Leftrightarrow y = kx + b$中，当$y＜0$时$x$的取值范围
从“形”上看
1. 关于$x$的不等式$kx + b＞0$的解集$\Leftrightarrow$函数$y = kx + b$的图像位于$x$轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围
2. 关于$x$的不等式$kx + b＜0$的解集$\Leftrightarrow$函数$y = kx + b$的图像位于$x$轴下方部分对应的点的横坐标的取值范围
与一元一次方程的关系：方程$kx + b = 0(k\neq0)$的解是直线$y = kx + b(k\neq0)$与$x$轴交点的横坐标
与二元一次方程组的关系：方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1\\y = k_2x + b_2\end{cases}$的解是直线$y = k_1x + b_1$与$y = k_2x + b_2$的交点坐标
与一元一次不等式的关系
从“数”上看
1. 关于$x$的不等式$kx + b＞0$的解集$\Leftrightarrow y = kx + b$中，当$y＞0$时$x$的取值范围
2. 关于$x$的不等式$kx + b＜0$的解集$\Leftrightarrow y = kx + b$中，当$y＜0$时$x$的取值范围
从“形”上看
1. 关于$x$的不等式$kx + b＞0$的解集$\Leftrightarrow$函数$y = kx + b$的图像位于$x$轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围
2. 关于$x$的不等式$kx + b＜0$的解集$\Leftrightarrow$函数$y = kx + b$的图像位于$x$轴下方部分对应的点的横坐标的取值范围
答案
典例1（2024·无锡一模）下列四个选项中，不符合直线y=x - 3的性质与特征的是（ ）
A. 经过第一、三、四象限
B. y随x的增大而增大
C. 与x轴交于点(-3,0)
D. 与y轴交于点(0,-3)
A. 经过第一、三、四象限
B. y随x的增大而增大
C. 与x轴交于点(-3,0)
D. 与y轴交于点(0,-3)
答案
典例1 C.
典例2（2024·扬州三模）已知点A(1,m)，B($\frac{3}{2}$,n)在一次函数y = 2x + 1的图像上，则m与n的大小关系是（ ）
A. m＞n
B. m = n
C. m＜n
D. 无法确定
A. m＞n
B. m = n
C. m＜n
D. 无法确定
答案
典例2 C.
典例3（2023·苏州）已知一次函数y = kx + b的图像经过点(1,3)和(-1,2)，则k² - b² = ________.
答案
典例3 -6.
典例4（2024·宿迁泗阳模拟）如图所示为一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数. 下表为通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入x的值为1时，输出y的值为________；
（2）求k，b的值；
（3）当输出y的值为0时，求输入x的值.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入x的值为1时，输出y的值为________；
（2）求k，b的值；
（3）当输出y的值为0时，求输入x的值.
答案
典例4 (1) 8. (2) 将(-2,2)，(0,6)代入y = kx + b(k ≠ 0)，得$\begin{cases}2 = -2k + b,\\6 = b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 2,\\b = 6.\end{cases}$ (3) 对于y = 8x，令y = 0，解得x = 0(不合题意，舍去). 对于y = 2x + 6，令y = 0，解得x = -3. ∴ 当输出y的值为0时，输入x的值为-3.
