1.（2024·张家口期末）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF = 6，BC = 13，CD = 5，则点D到BC的距离为（ ）

A. 4
B. 5
C. $\frac{60}{13}$
D. $\frac{65}{12}$

C

2.（2024·新乡期末）如图，在正方形ABCD中，E为线段CD上一点且CE = $\frac{1}{4}$CD，连接AC，BE交于点F，分别作AC、BE的中点M、N，连接MN，若AB = 6，则MN为________.

$\frac{9}{4}$

3.（2024·荆门期中）如图，四边形ABCD中，BD为对角线，AB = 2，CD = 2.8，E、F分别是边AD、BC的中点，则EF的取值范围是（ ）

A. 0.4＜EF≤2.4
B. 0.4≤EF＜2.4
C. 0.8＜EF≤4.8
D. 0.8≤EF＜4.8

A 解析：如图，取BD的中点H，连接EH、FH.∵ E、H分别为AD、BD的中点，∴ EH是△ABD的中位线，∴ $EH = \frac{1}{2}AB = 1$，同理可得$FH = \frac{1}{2}CD = 1.4$.在△EHF中，$FH - EH ＜ EF ＜ FH + EH$，即$0.4 ＜ EF ＜ 2.4$.当点H在EF上时，$EF = 2.4$，∴ $0.4 ＜ EF \leq 2.4$，故选A.

4. 如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD = $\frac{1}{2}$BC，过AC中点E作EF//CD（点F位于点E右侧），且EF = 2CD，连接DF. 若AB = 10，则DF的长为________.

5 解析：取AB中点G，连接GE，如图.∵ G为AB的中点，E为AC的中点，$AB = 10$，∴ $GE // BC$，$GE = \frac{1}{2}BC$，$AG = GB = \frac{1}{2}AB = 5$.∵ $EF // CD$，B、C、D三点共线，∴ G、E、F三点共线.∵ $CD = \frac{1}{2}BC$，$EF = 2CD$，∴ $CD = GE$，$EF = BC$，∴ $GF = BD$.∵ $GF // BD$，∴ 四边形GBDF为平行四边形，∴ $DF = GB = 5$.

5.（2024·达州期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D是AC延长线上的一点，AD = 4，E是BC上一点，BE = 2，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN的长度为________.

$\sqrt{5}$ 解析：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示.∵ M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，∴ NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，∴ $NF // BE$且$NF = \frac{1}{2}BE = 1$，$MF // AD$且$MF = \frac{1}{2}AD = 2$.∵ $\angle ACB = 90^{\circ}$，∴ $AD \perp BC$.∵ $MF // AD$，∴ $MF \perp BC$.∵ $NF // BE$，∴ $NF \perp MF$.在Rt△NMF中，由勾股定理得$MN = \sqrt{NF^{2}+MF^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.

6. 如图，AB//CD，AC、BD相交于P，E、F分别为AC、BD的中点，若AB = 10，CD = 6，则EF的长是（ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

B 解析：连接CF并延长，交AB于点G，如图.∵ $AB // DC$，∴ $\angle D = \angle B$.∵ F为BD的中点，∴ $DF = BF$.在△DFC和△BFG中，$\begin{cases} \angle D = \angle B, \\ DF = BF, \\ \angle DFC = \angle BFG, \end{cases}$ ∴ $\triangle DFC \cong \triangle BFG(ASA)$，∴ $BG = CD = 6$，$CF = FG$，∴ $AG = AB - BG = 4$.∵ $CF = FG$，E为AC中点，∴ $EF = \frac{1}{2}AG = \frac{1}{2} \times 4 = 2$，故选B.

7. 如图，△ABC中，CD平分∠ACB，过点A作AD⊥CD于点D，E是AB的中点，连接DE，若AC = 20，BC = 14，求DE的长.

如图，延长AD、CB交于点F.∵ CD平分$\angle ACB$，∴ $\angle ACD = \angle FCD$.∵ $AD \perp CD$，∴ $\angle ADC = \angle FDC = 90^{\circ}$.在△ACD和△FCD中，$\begin{cases} \angle ACD = \angle FCD, \\ CD = CD, \\ \angle ADC = \angle FDC, \end{cases}$ ∴ $\triangle ACD \cong \triangle FCD$(ASA)，∴ $AD = FD$，$AC = FC = 20$，∴ $BF = CF - BC = 20 - 14 = 6$.∵ $AD = FD$，E为AB中点，∴ DE为△ABF的中位线，∴ $DE = \frac{1}{2}BF = 3$，故DE的长为3.