9.（2023·枣庄中考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE = 7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为__________

$\frac{17}{2}$ 解析：$\because CE = 7$，$\triangle CEF$的周长为$32$，$\therefore CF + EF = 32 - 7 = 25$.$\because F$为$DE$的中点，$\therefore DF = EF$.$\because \angle BCD = 90^{\circ}$，$\therefore CF=\frac{1}{2}DE$，$\therefore EF = CF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}(CF + EF)=\frac{1}{2}\times25 = 12.5$，$\therefore DE = 2EF = 25$，$\therefore CD = \sqrt{DE^{2}-CE^{2}} = 24$.$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore BC = CD = 24$.$\because O$为$BD$的中点，$\therefore OF$是$\triangle BDE$的中位线，$\therefore OF=\frac{1}{2}(BC - CE)=\frac{1}{2}\times(24 - 7)=\frac{17}{2}$.

10.（2024·淮安期中）如图，在矩形ABCD中，AB = 3，AD = 10，点E在AD上且DE = 2.G为AE的中点，P为BC边上的一个动点，F为EP的中点，则GF+EF的最小值为__________

5 解析：如图，连接$PA$.$\because AG = EG$，$EF = FP$，$\therefore GF=\frac{1}{2}PA$，$\therefore GF + EF = \frac{1}{2}(PA + PE)$. 要求$GF + EF$的最小值，只需求出$PA + PE$的最小值即可. 作点$A$关于$BC$的对称点$T$，连接$ET$交$BC$于$P'$，此时$P'E + P'A$的值最小.$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore \angle EAT = 90^{\circ}$.$\because AB = BT = 3$，$\therefore AT = 6$.$\because AD = 10$，$DE = 2$，$\therefore AE = AD - DE = 10 - 2 = 8$，$\therefore P'E + P'A = P'E + P'T = ET=\sqrt{AE^{2}+AT^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$，$\therefore GF + EF$的最小值为$\frac{1}{2}\times10 = 5$.

11.（2024·云南中考）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB//CD，AD//BC，四边形EFGH是矩形.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长.

(1) 如图，连接$BD$、$AC$交于点$O$.$\because AB// CD$，$AD// BC$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.$\because$四边形$ABCD$中，点$E$、$F$、$G$、$H$分别是各边的中点，$\therefore GF// BD$，$HG// AC$.$\because$四边形$EFGH$是矩形，$\therefore HG\perp GF$，$\therefore BD\perp AC$，$\therefore$四边形$ABCD$是菱形.
(2)$\because$四边形$ABCD$中，点$E$、$F$、$G$、$H$分别是各边的中点，$\therefore GF = EH=\frac{1}{2}BD$，$HG = EF=\frac{1}{2}AC$.$\because$矩形$EFGH$的周长为$22$，$\therefore BD + AC = 22$.$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\therefore \frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC = OB + OA = 11$.$\because$四边形$ABCD$的面积为$10$，$\therefore \frac{1}{2}BD\cdot AC = 10$，即$2OA\cdot OB = 10$.$\because (OA + OB)^{2}=OA^{2}+2OA\cdot OB + OB^{2}=121$，$\therefore OA^{2}+OB^{2}=121 - 10 = 111$，$\therefore AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{111}$.

12. 如图①，在四边形ABCD中，AB = CD，E、F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N. 求证：∠BME = ∠CNE.（提示：取BD的中点H，连接FH、HE作辅助线）
问题一：如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB = CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论.
问题二：如图③，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB = CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC = 60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明.
问题三：如图④，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AB = 5，CD = 12，EF = $\frac{13}{2}$，试求∠BMF+∠CNF的度数.

如图①，连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$HE$、$FH$.$\because E$、$H$分别是$AD$、$BD$的中点，$\therefore EH// AB$，$EH=\frac{1}{2}AB$，$\therefore \angle BME=\angle HEF$.$\because F$、$H$分别是$BC$、$BD$的中点，$\therefore FH// CD$，$FH=\frac{1}{2}CD$，$\therefore \angle CNE=\angle HFE$.$\because AB = CD$，$\therefore HE = FH$，$\therefore \angle HEF=\angle HFE$，$\therefore \angle BME=\angle CNE$.

问题一：$\triangle OMN$为等腰三角形. 解析：如图②，取$AC$的中点$P$，连接$PF$、$PE$，则$PE=\frac{1}{2}AB$，$PE// AB$，$\therefore \angle PEF=\angle ANF$. 同理，$PF = \frac{1}{2}CD$，$PF// CD$，$\therefore \angle PFE=\angle CME$. 又$\because AB = CD$，$\therefore PE = PF$，$\therefore \angle PFE=\angle PEF$，$\therefore \angle OMN=\angle ONM$，$\therefore \triangle OMN$为等腰三角形.
问题二：$\triangle AGD$是直角三角形.
证明：如图③，连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$HF$、$HE$.$\because F$是$AD$的中点，$\therefore HF// AB$，$HF=\frac{1}{2}AB$. 同理，$HE// CD$，$HE=\frac{1}{2}CD$.$\because AB = CD$，$\therefore HF = HE$.$\because \angle EFC = 60^{\circ}$，$\therefore \angle HEF = 60^{\circ}$，$\therefore \angle HEF=\angle HFE = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle EHF$是等边三角形，$\therefore \angle AGF=\angle HFE=\angle EFC=\angle AFG = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle AGF$是等边三角形.$\because AF = FD$，$\therefore GF = FD$，$\therefore \angle FGD = \angle FDG = 30^{\circ}$，$\therefore \angle AGD = 90^{\circ}$，即$\triangle AGD$是直角三角形.
　　
问题三：如图④，连接$BD$，取$BD$的中点$H$，连接$EH$、$HF$.$\because E$、$F$分别是$AD$、$BC$的中点，$\therefore EH// AB$，$EH=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，$HF// CD$，$HF = \frac{1}{2}CD = 6$，$\therefore \angle HEF=\angle BMF$，$\angle HFE=\angle CNF$. 又$\because EF=\frac{13}{2}$，$\therefore EF^{2}=\frac{169}{4}$.$\because EH^{2}=\frac{25}{4}$，$HF^{2}=36$，$EH^{2}+HF^{2}=\frac{169}{4}$，$\therefore EF^{2}=EH^{2}+HF^{2}$，$\therefore \triangle EHF$是直角三角形，$\therefore \angle EHF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle HEF + \angle HFE = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BMF+\angle CNF = 90^{\circ}$.