8. 已知关于$x$的分式方程$\frac{mx}{(x - 3)(x - 6)}+\frac{2}{x - 3}=\frac{3}{x - 6}$无解，且一次函数$y=(m-\frac{1}{2})x+m-\frac{3}{2}$的图像不经过第二象限，则符合条件的所有$m$的值之和为（ ）
A. $\frac{9}{2}$
B. $\frac{7}{2}$
C. $\frac{5}{2}$
D. $\frac{3}{2}$

C 解析：分式方程两边同时乘$(x - 3)(x - 6)$，得$mx + 2(x - 6)=3(x - 3)$，整理，得$(m - 1)x = 3$。∵此分式方程无解，∴$m = 1$或$x = 3$或$x = 6$，∴$m = 1$或$m = 2$或$m=\frac{3}{2}$。∵一次函数$y=(m-\frac{1}{2})x + m-\frac{3}{2}$的图像不经过第二象限，∴$m-\frac{1}{2}\gt0$，且$m-\frac{3}{2}\leq0$，∴$\frac{1}{2}\lt m\leq\frac{3}{2}$，∴$m = 1$或$m=\frac{3}{2}$，∴满足条件的$m$的值之和是$\frac{5}{2}$。故选C。

9.（2024·牡丹江中考）若分式方程$\frac{x}{x - 1}=3-\frac{mx}{1 - x}$的解为正整数，则整数$m$的值为_______.

-1 解析：$\frac{x}{x - 1}=3-\frac{mx}{1 - x}$，化简得$\frac{x}{x - 1}=3+\frac{mx}{x - 1}$，去分母，得$x = 3(x - 1)+mx$，移项、合并同类项，得$(2 + m)x = 3$，解得$x=\frac{3}{2 + m}$。由方程的解是正整数，得到$x$为正整数，即$2 + m = 1$或$2 + m = 3$，解得$m=-1$或$m = 1$（舍去，会使得分式无意义）。

10. 新题型 新定义（2024·十堰期末）对于实数$x、y$定义一种新运算“※”：$x※y=\frac{y}{x^{2}-y}$，例如：$1※2=\frac{2}{1^{2}-2}=-2$，则分式方程$-1※x=\frac{mx}{x - 1}-1$无解时，$m$的值是________.

0或-1 解析：根据题意，$-1※x=\frac{mx}{x - 1}-1$可化为$\frac{x}{1 - x}=\frac{mx}{x - 1}-1$，化为整式方程为$mx=-1$，当$m = 0$时，整式方程$mx=-1$无解，即原分式方程无解；当$m\neq0$时，整式方程$mx=-1$的解为$x=-\frac{1}{m}$。∵当$x = 1$时，分式方程无解，∴$-\frac{1}{m}=1$，则$m=-1$。综上，当$m = 0$或$m=-1$时，原分式方程无解，故答案为0或-1。

11.（2024·扬州期中）已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x - 1}+\frac{mx}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}$.
（1）若方程的增根为$x = 1$，求$m$的值；
（2）若方程有增根，求$m$的值；
（3）若方程无解，求$m$的值.

方程两边同乘$(x + 2)(x - 1)$，得$2(x + 2)+mx=x - 1$，整理，得$(m + 1)x=-5$。
(1) ∵$x = 1$是分式方程的增根，∴$1 + m=-5$，解得$m=-6$。
(2) ∵原分式方程有增根，∴$(x + 2)(x - 1)=0$，解得$x=-2$或$x = 1$。当$x=-2$时，$m = 1.5$；当$x = 1$时，$m=-6$。
(3) 当$m + 1 = 0$时，该方程无解，此时$m=-1$；当$m + 1\neq0$时，要使原方程无解，由(2)得$m=-6$或$m = 1.5$。综上，$m$的值为-1或-6或1.5。

12. 整体思想就是通过研究问题的整体形式从而对问题进行整体处理的解题方法.
如$\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3,\\\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=7,\end{cases}$此题设$\begin{cases}\frac{1}{x}=a,\\\frac{1}{y}=b,\end{cases}$得方程组$\begin{cases}a + b = 3,\\2a + 3b = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 1,\end{cases}$ $\therefore\begin{cases}x = 0.5,\\y = 1.\end{cases}$
利用整体思想解决问题：采采家准备装修厨房，若甲、乙两个装修公司一起做，需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，则甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？

设甲公司单独完成装修任务需$x$周，乙公司单独完成装修任务需$y$周，依题意得$\begin{cases}6(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) = 1\\\frac{4}{x}+\frac{9}{y}=1\end{cases}$，设$\begin{cases}\frac{1}{x}=a\\\frac{1}{y}=b\end{cases}$，原方程组化为$\begin{cases}6(a + b)=1\\4a + 9b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{10}\\b=\frac{1}{15}\end{cases}$，∴$\begin{cases}x = 10\\y = 15\end{cases}$。经检验，$x = 10$，$y = 15$符合题意，∴甲公司单独完成装修任务需10周，乙公司单独完成装修任务需15周。

13. 若关于$x$的方程$\frac{1}{(x - 3)(x + 1)}-\frac{k}{(x + 1)(x + 7)}=\frac{x + 1}{x^{3}+5x^{2}-17x - 21}$无解，求$k$的值.

∵$(x - 3)(x + 1)(x + 7)=x^{3}+5x^{2}-17x - 21$，∴去分母得$x + 7 - k(x - 3)=x + 1$，解得$x=\frac{6 + 3k}{k}$。∵方程$\frac{1}{(x - 3)(x + 1)}-\frac{k}{(x + 1)(x + 7)}=\frac{x + 1}{x^{3}+5x^{2}-17x - 21}$无解，∴$k = 0$或$x=-1$或3或-7。当$x=-1$时，$\frac{6 + 3k}{k}=-1$，解得$k=-\frac{3}{2}$，经检验符合要求；当$x = 3$时，$\frac{6 + 3k}{k}=3$，方程无解；当$x=-7$时，$\frac{6 + 3k}{k}=-7$，解得$k=-\frac{3}{5}$，经检验符合要求；当$k = 0$时，方程$x + 7 - k(x - 3)=x + 1$无解，则原方程无解。∴$k$的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{5}$或0。