11. 新考法 程序计算法 按如图所示的程序图计算：

若输入 $x = 100$,则输出结果是 304,若输入 $x = 32$,则输出结果也是 304。如果开始输入的 $x$ 为正整数,最后输出的结果为 322,那么开始输入的 $x$ 值有( )

A.$1$ 种
B.$2$ 种
C.$3$ 种
D.$4$ 种

D

解：
情况1：输入$x$后直接输出结果
$3x + 4 = 322$
解得$x = \frac{322 - 4}{3} = 106$
情况2：输入$x$后经1次循环输出结果
$3(3x + 4) + 4 = 322$
$9x + 16 = 322$
解得$x = \frac{322 - 16}{9} = 34$
情况3：输入$x$后经2次循环输出结果
$3[3(3x + 4) + 4] + 4 = 322$
$27x + 52 = 322$
解得$x = \frac{322 - 52}{27} = 10$
情况4：输入$x$后经3次循环输出结果
$3\{3[3(3x + 4) + 4] + 4\} + 4 = 322$
$81x + 160 = 322$
解得$x = \frac{322 - 160}{81} = \frac{162}{81} = 2$
情况5：输入$x$后经4次循环输出结果
$3^5x + 4(3^4 - 1) = 322$
$243x + 4(81 - 1) = 322$
$243x + 320 = 322$
解得$x = \frac{2}{243}$（非正整数，舍去）
综上，正整数$x$的值为106, 34, 10, 2，共4种。
D

12. [2025 成都武侯区月考] 关于 $x$ 的方程 $ax - 1 = x + 4$ 的解是正整数,则所有满足条件的整数 $a$ 的和是______。

8 【点拨】ax-1=x+4，ax-x=1+4，x=5/(a-1)，因为x为正整数，a为整数，所以a-1=1或5，解得a=2或6，所以所有满足条件的整数a的和是6+2=8.

$ax - 1 = x + 4$
$ax - x = 1 + 4$
$(a - 1)x = 5$
$x = \dfrac{5}{a - 1}$
因为$x$为正整数，$a$为整数，所以$a - 1$是$5$的正因数，即$a - 1 = 1$或$a - 1 = 5$。
当$a - 1 = 1$时，$a = 2$；
当$a - 1 = 5$时，$a = 6$。
所有满足条件的整数$a$的和是$2 + 6 = 8$。
8

13. 新视角 新定义题 若有 $a$,$b$ 两个数满足关系式：$a + b = ab - 1$,则称 $a$,$b$ 为“共生数对”,记作 $(a,b)$。例如：$2$,$3$ 满足 $2 + 3 = 2×3 - 1$,所以 $(2,3)$ 是“共生数对”。若 $(x,-3)$ 是“共生数对”,则 $x = $______。

1/2 【点拨】由题意可得x-3=-3x-1，解得x=1/2.

由题意可得 $x + (-3) = x × (-3) - 1$，即 $x - 3 = -3x - 1$，移项得 $x + 3x = -1 + 3$，$4x = 2$，解得 $x = \frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$

14. 情境题 生活应用 为配合某市“我读书,我快乐”读书节活动,某书店推出一种优惠卡,每张卡售价 20 元,凭该卡购书可享受 8 折优惠。小丽同学到该书店购书,她先买优惠卡再凭卡付款,结果节省了 10 元。若此次小丽同学不买卡直接购书,则她需付款______元。

150 【点拨】设此次小丽同学不买卡直接购书，她需付款x元，根据题意，得x-(0.8x+20)=10，解得x=150.故此次小丽同学不买卡直接购书，她需付款150元.

设此次小丽同学不买卡直接购书，她需付款$x$元。
根据题意，得$x-(0.8x + 20)=10$，
解得$x = 150$。
150

15. 如图,将一个长方形分成大小不全相等的 6 个小正方形,已知中间最小的正方形的边长为 $1$ cm,求这个长方形的面积。

【解】设正方形A的边长为x cm，则正方形B的边长为x cm，正方形C的边长为(x+1)cm，正方形D的边长为(x+2)cm，正方形E的边长为(2x-1)cm，也可表示为(x+3)cm，所以2x-1=x+3，解得x=4，所以正方形A和B的边长均为4 cm，正方形C，D，E的边长分别为5 cm，6 cm，7 cm，所以长方形的面积为4×4×2+5×5+6×6+7×7+1×1=143(cm²).

16. 新考向 知识情境化 如图,现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙,上面分别写有一个整式,现从这三张卡片中抽取任意数量的卡片,抽到白色卡片,就减去上面的整式,抽到灰色卡片,就加上上面的整式。

(1) 请计算抽到甲、乙两张卡片的结果；
(2) 现同时抽到甲、乙、丙这三张卡片,若计算结果的值为 3,求 $x$ 的值。

【解】
(1)由题意，得(4x+10)-(2x²+x-3)=4x+10-2x²-x+3=-2x²+3x+13.则抽到甲、乙两张卡片的结果是-2x²+3x+13.
(2)由题意，得(4x+10)+(2x²+5x-8)-(2x²+x-3)=4x+10+2x²+5x-8-2x²-x+3=8x+5.因为8x+5=3，所以x=-1/4.

17. 已知 $b$ 是最小的正整数,且 $a$,$b$,$c$ 满足 $(c - 5)^2 + |a + b| = 0$,请回答下列问题：
(1) $a = $______,$b = $______,$c = $______。
(2) $a$,$c$ 在数轴上的对应点分别为 $A$,$C$,若点 $A$,$C$ 分别以每秒 $1$ 个单位长度和每秒 $2$ 个单位长度的速度向左运动。
① 运动 $2$ s 时,$A$,$C$ 之间的距离为______个单位长度；
② 运动______s 时,$A$,$C$ 之间的距离为 $1$ 个单位长度。

(1)-1；1；5
(2)①4 ②5或7
【点拨】
(1)由题意，得b=1，c-5=0，b+a=0，解得c=5，a=-1.
(2)①运动2s时，点A表示的数为-1-1×2=-3，点C表示的数为5-2×2=1，此时A，C之间的距离为1-(-3)=4.
②设运动时间为t s，当点A在点C左边时，5-2t-1=-1-t，解得t=5；当点A在点C右边时，-1-t-1=5-2t，解得t=7.综上所述，运动5s或7s时，A，C之间的距离为1个单位长度.