9. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上. 若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
　　

D　解析:如图，根据题意作图可发现符合题意的平行四边形有 □ABC₂D₃、□ABC₁D₂、□AC₁BD₁、□AC₂BD₄、□ABD₁C₂、□ABD₄C₁ 共 6 个，故选 D.

10.（2024·宝鸡期中）如图，F是□ABCD的边CD上的点，Q是BF的中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若$S_{△APD}=4 cm²，$$S_{□ABCD}=64 cm²，$则阴影部分的面积为________cm².
　　

28　解析:连接 EF，如图. ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴ AB = CD，AB // CD，∴ ∠BEC = ∠FCE. ∵ Q 是 BF 的中点，∴ BQ = FQ. 在 △BEQ 和 △FCQ 中，∵ ∠BEQ = ∠FCQ，∠BQE = ∠FQC，BQ = FQ，
∴ △BEQ ≌ △FCQ(AAS)，∴ BE = CF. ∵ BE // CF，∴ 四边形 BCFE 是平行四边形，∴ S△BEF = $\frac{1}{2}$S□BCFE. ∵ AB - BE = CD - CF，即 AE = FD. ∵ AE // FD，∴ 四边形 ADFE 是平行四边形，∴ S△PEF = S△APD = 4 cm²，∴ S□ADFE = 4S△APD = 16 cm²，∴ S□BCFE = S□ABCD - S□ADFE = 64 - 16 = 48(cm²)，∴ S△BEF = $\frac{1}{2}$S□BCFE = $\frac{1}{2} \times 48 = 24(cm²)$，∴ 阴影部分的面积为 S△BEF + S△PEF = 24 + 4 = 28(cm²).

11.（2024·聊城期末）如图，在等边三角形ABC中，BC = 6 cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动. 如果点E、F同时出发，设运动时间为t(s)，那么当t = ________s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
　　

2 或 6　解析:①当点 F 在点 C 的左侧时，根据题意得 AE = t cm，BF = 2t cm，则 CF = BC - BF = (6 - 2t)cm. ∵ AG // BC，∴ 当 AE = CF 时，四边形 AECF 是平行四边形，即 t = 6 - 2t，解得 t = 2；
②当点 F 在点 C 的右侧时，根据题意得 AE = t cm，BF = 2t cm，则 CF = BF - BC = (2t - 6)cm. ∵ AG // BC，∴ 当 AE = CF 时，四边形 AEFC 是平行四边形，即 t = 2t - 6，解得 t = 6.
综上可得，当 t = 2 s 或 6 s 时，以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形.

12. 如图所示，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE = CF，M、N分别是DE、BF的中点.
（1）求证：四边形ENFM是平行四边形；
（2）若∠ABC = 2∠A，求∠A的度数.
　　　　　　　　　　　　

(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD = BC，∠A = ∠C. 又∵ AE = CF，∴ △ADE ≌ △CBF(SAS)，∴ ∠AED = ∠CFB，DE = BF. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ DC // AB，∴ ∠CFB = ∠ABF，∴ ∠AED = ∠ABF，∴ ME // FN. 又∵ M、N 分别是 DE、BF 的中点，且 DE = BF，
∴ ME = FN，∴ 四边形 ENFM 是平行四边形.
(2)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ∠A + ∠ABC = 180°. 又
∵ ∠ABC = 2∠A，∴ 3∠A = 180°，∴ ∠A = 60°.

13.（1）（2024·临沂期末）如图①，在□ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE并延长到点F，AE = EF，BD = 5，DE = 1，则CF的长为________.
　　

3　解析:如图①，过点 F 作 GF // AD，交 BD 于点 G，∴ ∠DAE = ∠GFE，∠ADE = ∠EGF. ∵ AE = EF，∴ △ADE ≌ △FGE，∴ AD = FG，EG = DE = 1. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD // BC，AD = BC，
∴ FG // BC，FG = BC，∴ 四边形 BCFG 是平行四边形，∴ CF = BG.
∵ BD = 5，∴ BG = BD - EG - DE = 3. ∴ CF = 3.

（2）（2024·合肥期末）如图②，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC = 2BD = 2，则AB + CD的最小值为________.

$\sqrt{5}$　解析:如图②，过点 B 作 BE // AC，过点 C 作 CE // AB，BE 与 CE 相交于点 E，连接 DE. ∵ BE // AC，CE // AB，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形，∴ BE = AC = 2，CE = AB. ∵ AC ⊥ BD，BE // AC，∴ BE ⊥ BD，∴ ∠DBE = 90°. ∵ AC = 2BD = 2，∴ BD = 1，由勾股定理得 DE = $\sqrt{BE^{2}+BD^{2}} = \sqrt{2^{2}+1^{2}} = \sqrt{5}$. ∵ CD + EC ≥ DE，当 D、C、E 三点共线时，CE + CD 取得最小值，∴ AB + CD 取得最小值，最小值等于 DE，∴ AB + CD 的最小值为 $\sqrt{5}$.

14. 在△ABC中，AB = AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE//AC交AB于点E，PF//AB交BC于点D，交AC于点F.
（1）观察猜想：
如图①，当点P在BC边上时，此时点P、D重合，试猜想PD、PE、PF与AB的数量关系：______________.
（2）类比探究：
如图②，当点P在△ABC内时，过点P作MN//BC交AB于点M，交AC于点N，试写出PD、PE、PF与AB的数量关系，并加以证明.
（3）解决问题：
如图③，当点P在△ABC外时，若AB = 6，PD = 1，试求出平行四边形PEAF的周长.
　　

(1)PD + PE + PF = AB
(2)PD + PE + PF = AB. 证明如下：∵ PE // AC，PF // AB，∴ 四边形 AEPF 是平行四边形，∠ANM = ∠EPM，∴ AE = PF. ∵ MN // BC，
PF // AB，∴ 四边形 BDPM 是平行四边形，∠ANM = ∠C，∴ ∠EPM = ∠ANM = ∠C. ∵ MN // BC，∴ ∠EMP = ∠B. 又∵ AB = AC，∴ ∠B = ∠C，∴ ∠EMP = ∠EPM，∴ PE = EM，∴ PE + PF = EM + AE = AM. ∵ 四边形 BDPM 是平行四边形，∴ MB = PD，∴ PD + PE + PF = MB + AM = AB，即 PD + PE + PF = AB.
(3)如图，过点 P 作 MN // BC 分别交 AB、AC 的延长线于 M、N 两点. ∵ PE // AC，PF // AB，∴ 四边形 PEAF 是平行四边形，∴ PF = AE.
∵ AB = AC，∴ ∠ABC = ∠ACB. ∵ MN // BC，
∴ ∠ANM = ∠ACB = ∠ABC = ∠AMN. ∵ PE // AC，
∴ ∠EPM = ∠FNP. ∴ ∠EPM = ∠EMP，
∴ PE = ME. ∵ ME + AE = AM，∴ PE + PF = AM. ∵ MN // CB，DF // AB，∴ 四边形 BDPM 是平行四边形，∴ MB = PD. ∴ PE + PF - PD = AM - MB = AB，
∴ PE + PF = AB + PD = 6 + 1 = 7，∴ 平行四边形 PEAF 的周长为 14.