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12[2025 沈阳月考]若长方形的面积是 $4a^{2} + 8ab + 2a$，它的一边长为 $2a$，则它的周长为(
A.$2a + 4b + 1$
B.$2a + 4b$
C.$4a + 4b + 1$
D.$8a + 8b + 2$
D
)A.$2a + 4b + 1$
B.$2a + 4b$
C.$4a + 4b + 1$
D.$8a + 8b + 2$
答案
12 D 由题意知，长方形的另一边长为$(4a^{2}+8ab + 2a)÷2a=2a + 4b+1$，则长方形的周长为$2[(2a + 4b+1)+2a]=8a + 8b+2$。
13[2024 连云港海州区期中]若 $(9a^{3})^{m}÷3a = 3a^{n}$，则 $m + n$ 的值为(
A.3
B.4
C.5
D.6
A
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
13 A 因为$(9a^{3})^{m}÷3a=(3^{2})^{m}· a^{3m}÷3a=3^{2m}· a^{3m}÷3a=3^{2m - 1}· a^{3m - 1}=3a^{n}$，所以$2m - 1=1$，$3m - 1=n$，所以$m=1$，$n=2$，所以$m + n=3$。
14[2024 菏泽期中]信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输。发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文。已知某种加密规则如图所示，当发送方发出 $a = 2$，$b = 4$ 时，解密后还原为明文，则 $mn =$
120
。答案
14 120 $n=(4a^{2}b - 2a^{3})÷(-2a)^{2}=(4a^{2}b - 2a^{3})÷4a^{2}=b-\frac {1}{2}a$。将$a = 2$，$b = 4$分别代入$m$，$n$，得$m=a^{2}+ab^{2}+\frac {1}{4}b^{2}=2^{2}+2×4^{2}+\frac {1}{4}×4^{2}=4 + 32+4=40$，$n=b-\frac {1}{2}a=4-\frac {1}{2}×2=3$，所以$mn=40×3=120$。
15[2025 山西大学附中月考]李老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
$×(-\frac{1}{2}xy) = 3x^{2}y - xy^{2} + \frac{1}{2}xy$。
(1)求所捂住的多项式；
(2)若 $x = \frac{2}{3}$，$y = \frac{1}{2}$，求所捂住的多项式的值。
$×(-\frac{1}{2}xy) = 3x^{2}y - xy^{2} + \frac{1}{2}xy$。(1)求所捂住的多项式；
(2)若 $x = \frac{2}{3}$，$y = \frac{1}{2}$，求所捂住的多项式的值。
答案
15 解：（1）设所捂住的多项式为$A$，则$A=(3x^{2}y - xy^{2}+\frac {1}{2}xy)÷(-\frac {1}{2}xy)=-6x + 2y - 1$，所以所捂住的多项式为$-6x + 2y - 1$。（2）因为$x=\frac {2}{3}$，$y=\frac {1}{2}$，所以所捂住的多项式的值为$-6×\frac {2}{3}+2×\frac {1}{2}-1=-4 + 1-1=-4$。
16[2024 西安雁塔区月考]黄老师给学生出了一道题：当 $x = 2025$，$y = 2026$ 时，求 $[2x(x^{2}y - xy^{2}) + xy(2xy - x^{2})]÷x^{2}y$ 的值。题目出完后，李明说：“老师给的条件 $y = 2026$ 是多余的。”小颖说：“不给这个条件，就不能求出结果，所以不是多余的。”你认为他们谁的说法有道理？为什么？
答案
16 解：李明的说法有道理。理由如下：$[2x(x^{2}y - xy^{2})+xy(2xy - x^{2})]÷x^{2}y=(2x^{3}y - 2x^{2}y^{2}+2x^{2}y^{2}-x^{3}y)÷x^{2}y=x^{3}y÷x^{2}y=x$。因为化简后的结果中不含$y$，所以原代数式的值与$y$的值无关，所以李明的说法有道理。
17小明在做练习册上的一道多项式(项数为 3)除以单项式的习题时，一不小心，两滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式最后一项是“$-3x^{2}y$”和中间的“÷”，污染后的习题形式如下：$(● - 3x^{2}y)÷●$。小明翻看了书后的答案是“$4x^{2}y^{2} - 3xy + 6x$”，你能够复原这个算式吗？
【回顾与思考】
本章是按照怎样的顺序研究整式乘除的？
【回顾与思考】
本章是按照怎样的顺序研究整式乘除的？
答案
17 解：能复原这个算式。分两种情况：
①原算式的除式是$-3x^{2}y÷6x=-\frac {1}{2}xy$，所以被除式是$(4x^{2}y^{2}-3xy + 6x)· (-\frac {1}{2}xy)=-2x^{3}y^{3}+\frac {3}{2}x^{2}y^{2}-3x^{2}y$，所以原算式为$(-2x^{3}y^{3}+\frac {3}{2}x^{2}y^{2}-3x^{2}y)÷(-\frac {1}{2}xy)$。
②原算式的除式是$-3x^{2}y÷(-3xy)=x$，所以被除式是$(4x^{2}y^{2}-3xy + 6x)· x=4x^{3}y^{2}-3x^{2}y+6x^{2}$，所以原算式为$(4x^{3}y^{2}-3x^{2}y+6x^{2})÷x$。
①原算式的除式是$-3x^{2}y÷6x=-\frac {1}{2}xy$，所以被除式是$(4x^{2}y^{2}-3xy + 6x)· (-\frac {1}{2}xy)=-2x^{3}y^{3}+\frac {3}{2}x^{2}y^{2}-3x^{2}y$，所以原算式为$(-2x^{3}y^{3}+\frac {3}{2}x^{2}y^{2}-3x^{2}y)÷(-\frac {1}{2}xy)$。
②原算式的除式是$-3x^{2}y÷(-3xy)=x$，所以被除式是$(4x^{2}y^{2}-3xy + 6x)· x=4x^{3}y^{2}-3x^{2}y+6x^{2}$，所以原算式为$(4x^{3}y^{2}-3x^{2}y+6x^{2})÷x$。
