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1. [2025 南京玄武区月考]已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{2x - a}{3} - \frac{2x - a}{6} = x - 1$ 与 $ 3(x + 2) = 4x + 5 $ 的解相同,求这个相同的解和 $ a $ 的值.
答案
【解】3(x+2)=4x+5，
3x+6=4x+5，
3x-4x=5-6，
-x=-1，
所以x=1.
把x=1代入$\frac{2x-a}{3}-\frac{2x-a}{6}=x-1$，得$\frac{2-a}{3}-\frac{2-a}{6}=0$，
$\frac{2-a}{3}=\frac{2-a}{6}$，
2(2-a)=2-a，
4-2a=2-a，
-2a+a=2-4，
-a=-2，
所以a=2.
所以这个相同的解为x=1，a的值为2.
3x+6=4x+5，
3x-4x=5-6，
-x=-1，
所以x=1.
把x=1代入$\frac{2x-a}{3}-\frac{2x-a}{6}=x-1$，得$\frac{2-a}{3}-\frac{2-a}{6}=0$，
$\frac{2-a}{3}=\frac{2-a}{6}$，
2(2-a)=2-a，
4-2a=2-a，
-2a+a=2-4，
-a=-2，
所以a=2.
所以这个相同的解为x=1，a的值为2.
2. [2025 宿迁月考]如果关于 $ x $ 的方程 $ x + 4 = 9 - 2(x + 2) $ 的解与关于 $ x $ 的方程 $ 4x - (3a + 1) = 6x + 2a - 1 $ 的解互为倒数,求 $ a $ 的值.
答案
【解】解方程x+4=9-2(x+2)，得$x=\frac{1}{3}$，
解方程4x-(3a+1)=6x+2a-1，得$x=-\frac{5}{2}a$，
因为两个方程的解互为倒数，所以$\frac{1}{3}×(-\frac{5}{2}a)=1$，
解得$a=-\frac{6}{5}$.
解方程4x-(3a+1)=6x+2a-1，得$x=-\frac{5}{2}a$，
因为两个方程的解互为倒数，所以$\frac{1}{3}×(-\frac{5}{2}a)=1$，
解得$a=-\frac{6}{5}$.
3. [2025 金华月考]已知方程 $ 2 - 3(x - 1) = 2x + 10 $ 的解和关于 $ x $ 的方程 $\frac{x + 3}{2} - \frac{2m - 1}{3} = 1$ 的解互为相反数,则 $ m $ 的值为______.
答案
2
解析
解方程$2 - 3(x - 1) = 2x + 10$：
$\begin{aligned}2 - 3x + 3 &= 2x + 10 \\5 - 3x &= 2x + 10 \\-3x - 2x &= 10 - 5 \\-5x &= 5 \\x &= -1\end{aligned}$
因为两方程的解互为相反数，所以第二个方程的解为$x = 1$。
将$x = 1$代入方程$\frac{x + 3}{2} - \frac{2m - 1}{3} = 1$：
$\begin{aligned}\frac{1 + 3}{2} - \frac{2m - 1}{3} &= 1 \\2 - \frac{2m - 1}{3} &= 1 \\-\frac{2m - 1}{3} &= -1 \\2m - 1 &= 3 \\2m &= 4 \\m &= 2\end{aligned}$
$2$
$\begin{aligned}2 - 3x + 3 &= 2x + 10 \\5 - 3x &= 2x + 10 \\-3x - 2x &= 10 - 5 \\-5x &= 5 \\x &= -1\end{aligned}$
因为两方程的解互为相反数，所以第二个方程的解为$x = 1$。
将$x = 1$代入方程$\frac{x + 3}{2} - \frac{2m - 1}{3} = 1$：
$\begin{aligned}\frac{1 + 3}{2} - \frac{2m - 1}{3} &= 1 \\2 - \frac{2m - 1}{3} &= 1 \\-\frac{2m - 1}{3} &= -1 \\2m - 1 &= 3 \\2m &= 4 \\m &= 2\end{aligned}$
$2$
4. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数,我们就称这两个方程为“兄弟方程”. 如方程 $ 3x = 6 $ 和 $ 2x + 4 = 0 $ 为“兄弟方程”.
(1) 若关于 $ x $ 的方程 $ 5x + q = 0 $ 与方程 $ 2x - 3 = x + 2 $ 是“兄弟方程”,则 $ q = $______；
(2) 若两个“兄弟方程”的两个解的差的绝对值为 $ 6 $,其中一个解为 $ x = n $,求 $ n $ 的值；
(3) 若关于 $ x $ 的方程 $ 2x + 3m - 2 = 0 $ 和 $ 3x - 5m + 4 = 0 $ 是“兄弟方程”,求 $ m $ 的值.
(1) 若关于 $ x $ 的方程 $ 5x + q = 0 $ 与方程 $ 2x - 3 = x + 2 $ 是“兄弟方程”,则 $ q = $______；
(2) 若两个“兄弟方程”的两个解的差的绝对值为 $ 6 $,其中一个解为 $ x = n $,求 $ n $ 的值；
(3) 若关于 $ x $ 的方程 $ 2x + 3m - 2 = 0 $ 和 $ 3x - 5m + 4 = 0 $ 是“兄弟方程”,求 $ m $ 的值.
答案
(1)25
(2)因为两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为x=n，
所以另一个解为x=-n.
又因为这两个解的差的绝对值为6，
所以n-(-n)=6或-n-n=6，解得n=±3.
(3)解方程2x+3m-2=0，得$x=\frac{2-3m}{2}$.
解方程3x-5m+4=0，得$x=\frac{5m-4}{3}$.
因为关于x的方程2x+3m-2=0和3x-5m+4=0是“兄弟方程”，所以$-\frac{2-3m}{2}=\frac{5m-4}{3}$，解得m=2.
5. 嘉嘉同学在解关于 $ x $ 的方程 $\frac{x + a}{3} + \frac{x - 1}{6} = \frac{3}{2}$ 时,由于粗心大意,误将等号左边的“$ + \frac{x - 1}{6} $”看作了“$ - \frac{x - 1}{6} $”,其他解题过程均正确,从而解得方程的解为 $ x = 2 $,则原方程的解是( )
A.$ x = \frac{4}{3} $
B.$ x = \frac{3}{4} $
C.$ x = \frac{4}{5} $
D.$ x = \frac{5}{4} $
A.$ x = \frac{4}{3} $
B.$ x = \frac{3}{4} $
C.$ x = \frac{4}{5} $
D.$ x = \frac{5}{4} $
答案
A
解析
将$x=2$代入方程$\frac{x+a}{3}-\frac{x-1}{6}=\frac{3}{2}$，得：
$\frac{2+a}{3}-\frac{2-1}{6}=\frac{3}{2}$
$\frac{2+a}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$
$\frac{2+a}{3}=\frac{3}{2}+\frac{1}{6}=\frac{9}{6}+\frac{1}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$
$2+a=5$
$a=3$
原方程为$\frac{x+3}{3}+\frac{x-1}{6}=\frac{3}{2}$
两边同乘6：$2(x+3)+(x-1)=9$
$2x+6+x-1=9$
$3x+5=9$
$3x=4$
$x=\frac{4}{3}$
A
$\frac{2+a}{3}-\frac{2-1}{6}=\frac{3}{2}$
$\frac{2+a}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$
$\frac{2+a}{3}=\frac{3}{2}+\frac{1}{6}=\frac{9}{6}+\frac{1}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$
$2+a=5$
$a=3$
原方程为$\frac{x+3}{3}+\frac{x-1}{6}=\frac{3}{2}$
两边同乘6：$2(x+3)+(x-1)=9$
$2x+6+x-1=9$
$3x+5=9$
$3x=4$
$x=\frac{4}{3}$
A
