典例1 已知△ABC是等腰三角形，若∠A = 50°，则△ABC的顶角的度数是（ ）
A. 50°
B. 50°或80°
C. 80°
D. 50°或65°

微专题(四)　　特殊三角形中的分类讨论
典例1①当∠A是顶角时，△ABC的顶角的度数是50°；②当∠A是底角时，△ABC的顶角的度数为180°−2×50°=80°。综上所述，△ABC的顶角的度数是50°或80°。故选B

典例2 在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则∠B的度数为_______。

典例2如图①，当∠BAC为锐角时，∵AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，∴易得∠BAC=90°−50°=40°。∵AB=AC，∴∠B=$\frac{180° - ∠BAC}{2}$=$\frac{180° - 40°}{2}$=70°。如图②，当∠BAC为钝角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，∴易得∠BAC=90°+50°=140°。
∵AB=AC，∴∠B=$\frac{180° - ∠BAC}{2}$=$\frac{180° - 140°}{2}$=20°。综上所述，∠B的度数为70°或20°。
　

典例3 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，∠BAC = 24°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到△DEC，CD交AB于点F。当α的度数为________时，△ADF为等腰三角形。
　　　　　　　　　　　　　　　　

典例3∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转α得到△DEC，∴AC=CD，∠ACD=α。∴∠ADF=∠DAC=$\frac{1}{2}$(180°−α)。∵∠BAC=24°，∴∠DAF=∠DAC−∠BAC=$\frac{1}{2}$(180°−α)−24°，∠AFD=∠BAC+∠ACD=24°+α。∵△ADF是等腰三角形，∴可分为三种情况：①当DF=AF时，∠ADF=∠DAF，即$\frac{1}{2}$(180°−α)=$\frac{1}{2}$(180°−α)−24°，无解；②当AD=AF时，∠ADF=∠AFD，即$\frac{1}{2}$(180°−α)=24°+α，解得α=44°；③当AD=DF时，∠DAF=∠AFD，即$\frac{1}{2}$(180°−α)−24°=24°+α，解得α=28°。综上所述，α的度数为44°或28°。

典例4 如图，抛物线$y=-x^{2}+2x + 3$与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD//x轴，交抛物线于另一点D，连接AD。
（1）求点A，B，C的坐标。
（2）过点A作AE与抛物线交于点E，且AB平分∠DAE，在x轴上是否存在点M，使得△AEM为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

典例4(1)对于y=−x²+2x+3，令y=0，得−x²+2x+3=0，解得x₁=−1，x₂=3。令x=0，得y=3。∴A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)。(2)存在。如图，分别过点D，E作DH⊥x轴，EF⊥x轴，垂足分别为H、F。∵CD//x轴，∴易得点C，D关于抛物线的对称轴直线x= - $\frac{2}{2×(−1)}$=1对称。∴易得点D的坐标为(2,3)。∴H(2,0)，DH=3。∵A(−1,0)，∴AH=DH=3。∴∠DAH=45°。∵AB平分∠DAE，∴∠EAF=∠DAH=45°。∴易得AF=EF。设E(m,−m²+2m+3)(m＞0)，则易得AF=m+1，EF= - m²+2m+3。∴m+1= - m²+2m+3，解得m₁=4，m₂=−1(不合题意，舍去)。∴E(4,−5)，F(4,0)。∴易得AE=5$\sqrt{2}$。①当AE=AM时，AM=AE=5$\sqrt{2}$。∵A(−1,0)，∴点M的坐标为(−5$\sqrt{2}$−1,0)或(5$\sqrt{2}$−1,0)。②当EA=EM时，EM=5$\sqrt{2}$。∴易得F为AM的中点。∴点M的坐标为(9,0)。③当AM=EM时，易知点M与点F重合，∴点M的坐标为(4,0)。综上所述，点M的坐标为(−5$\sqrt{2}$−1,0)或(5$\sqrt{2}$−1,0)或(9,0)或(4,0)。