7. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与点A、B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F. 下列条件中能判定CE是$\odot O$切线的是 （ ）
A. $∠E=∠CFE$
B. $∠E=∠ECF$
C. $∠ECF=∠EFC$
D. $∠ECF=60°$

（第7题）

（第8题）

（第9题）

C

8. 如图，$∠ ABC=70°$，$O$为射线$BC$上一点，以点$O$为圆心、$\dfrac{1}{2}OB$的长为半径作$\odot O$，要使射线$BA$与$\odot O$相切，应将射线$BA$绕点$B$按顺时针方向旋转______（填度数）。

$40^{\circ}$或$100^{\circ}$

9. 如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是边BC上的动点,连接PM,以点P为圆心、PM的长为半径作$\odot P$,当$\odot P$与正方形ABCD的边相切时,BP的长为________.

$3$或$4\sqrt{3}$

10. (2023·连云港)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$交边$AC$于点$D$,连接$BD$,过点$C$作$CE // AB$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作图:过点$B$作$\odot O$的切线交$CE$于点$F$. (不写作法,保留作图痕迹,标明字母)
(2)在(1)的条件下,求证:$BD=BF$.

(1)如图，直线$BF$即为所求。 (2)证明：因为$AB = AC，$所以$\angle ABC=\angle ACB。$ 因为$AB// CE，$所以$\angle ABC=\angle BCF，$所以$\angle BCF=\angle ACB。$ 因为点$D$在以$AB$为直径的圆上，所以$\angle ADB = 90^{\circ}，$所以$\angle BDC = 90^{\circ}。$ 因为$BF$为$\odot O$的切线，所以$\angle ABF = 90^{\circ}。$ 因为$AB// CE，$所以$\angle BFC+\angle ABF = 180^{\circ}，$所以$\angle BFC = 90^{\circ}，$所以$\angle BDC=\angle BFC。$ 在$\triangle BCD$和$\triangle BCF$中，$\begin{cases}\angle BDC=\angle BFC\\\angle DCB=\angle FCB\\BC = BC\end{cases}，$所以$\triangle BCD\cong\triangle BCF(AAS)，$所以$BD = BF。$ ;

11.【数学文化】辘轳（图1）是从杠杆演变来的汲水工具，据《物原》记载：“史佚始作辘轳”，说明早在公元前一千一百多年中国就已经发明了辘轳.图2是从辘轳抽象出来的几何模型，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$O$是边$AC$上一点，以$OA$为半径的$\odot O$与$AB$相交于点$P$，已知$CP=CB$.
(1)求证:直线$CP$是$\odot O$的切线.
(2)若$∠ B=60°$，$BC=3\sqrt{3}$，求$\odot O$的半径.

证明: (1)如图，连接$OP。$$ 因为OA = OP，所以\angle A=\angle APO。$$ 因为CP = CB，所以\angle B=\angle BPC。$$ 在Rt\triangle ABC中，\angle ACB = 90^{\circ}，所以\angle A+\angle B = 90^{\circ}，所以\angle APO+\angle BPC = 90^{\circ}，所以\angle OPC = 180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}，所以OP\perp CP，所以直线CP是\odot O的切线。$$ (2)在Rt\triangle ABC中，\angle ACB = 90^{\circ}，\angle B = 60^{\circ}，BC = 3\sqrt{3}，所以AC = 9，PC = 3\sqrt{3}。$$ 设\odot O的半径为r，在Rt\triangle OPC中，OP^{2}+PC^{2}=OC^{2}，即r^{2}+(3\sqrt{3})^{2}=(9 - r)^{2}，$$ \begin{aligned} r^{2}+27&=81-18r+r^{2} \\ 18r&=81 - 27 \\ 18r&=54 \\ r&=3 \\ \end{aligned}$$ 所以\odot O的半径为3。$ ;