知识点 正多边形与圆
1. 只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的.
2. 正多边形的外接圆的叫作正多边形的中心，外接圆的叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的叫作正多边形的中心角，到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距.
3. 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形.
例 如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，若半径r为4，则这个正六边形的边心距OM的长和面积分别为 （）
A. 2，8 B. $2\sqrt{3}$，48
C. $\sqrt{3}$，48 D. $2\sqrt{3}$，$24\sqrt{3}$

解析 如图，连接OB，OC.在正六边形中，△OBC为等边三角形，边长为4.因为OM为边心距，所以OM ⊥ BC.在△OBM中，∠OBC＝60°，$OM=\sqrt{4^2 - (4÷2)^2}=2\sqrt{3}$，所以该正六边形的面积为$\frac{1}{2}×4×6×2\sqrt{3}=24\sqrt{3}$.

答案 D
——特别提醒
在正多边形中，通常以正多边形的外接圆半径、边心距、边长的一半为边构造直角三角形，以及这个直角三角形所在的等腰三角形，利用三角形的性质解决问题.记住一些特殊值，可以使解题更简捷.在半径为R的圆中有如下结论：
（1）内接正三角形的边长为$\sqrt{3}R$，边心距为$\frac{1}{2}R$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$；
（2）内接正方形的边长为$\sqrt{2}R$，边心距为$\frac{\sqrt{2}}{2}R$，面积为$2R^2$；
（3）内接正六边形边长为R，边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$.

1. 外接圆、内切圆
2. 圆心、半径、圆心角、中心
例. D

【分析】
本题分为基础概念填空和正六边形计算例题两部分。①概念填空部分直接考查正多边形与圆的相关基础定义，准确记忆对应定义即可直接作答；②例题部分考查正六边形的相关计算，解题思路为：先利用正六边形的性质得出其边长等于外接圆半径，再通过连接中心与顶点、作边心距构造直角三角形，利用勾股定理求出边心距，最后将正六边形拆分为6个全等的等边三角形，计算总面积后匹配选项即可。
【解析】
1. 根据正多边形与圆的对应关系：圆的内接正多边形的对应圆是正多边形的外接圆；圆的外切正多边形的对应圆是正多边形的内切圆，因此两空依次填外接圆、内切圆。
2. 根据正多边形的相关定义：正多边形外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距，因此四空依次填圆心、半径、圆心角、中心。
例题：
连接OB、OC，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴中心角$∠ BOC=360°÷6=60°$，又
∵$OB=OC=r=4$，
∴$△ OBC$为等边三角形，即$BC=OB=4$。
∵OM为边心距，
∴$OM⊥ BC$，
∴M为BC中点，$BM=BC÷2=2$。
在$Rt△ OBM$中，由勾股定理得：$OM=\sqrt{OB^2 - BM^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
正六边形可拆分为6个全等的等边$△ OBC$，单个$△ OBC$的面积为$\frac{1}{2}× BC× OM=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，则正六边形总面积为$6×4\sqrt{3}=24\sqrt{3}$，故选D。
【答案】
1. 外接圆、内切圆
2. 圆心、半径、圆心角、中心
例. D
【知识点】
正多边形与圆的概念，正六边形的性质，正多边形相关计算
【点评】
本题基础概念部分侧重对基础定义的识记掌握，例题部分考查正多边形计算的核心方法，即通过构造“外接圆半径、边心距、边长一半”组成的直角三角形求解相关量，熟记常见特殊正多边形与外接圆半径的数量关系可提升解题效率。
【难度系数】
0.8