1.(4分)要将$\frac{6xy}{18y^2}$化成最简分式，应将分式的分子、分母同时约去因式 （）

A.$x$
B.$y$
C.$6x$
D.$6y$

1. D

【分析】
要解决这个问题，首先要明确分式约分的核心是找到分子和分母的公因式，公因式的确定分为两步：第一步取分子、分母系数的最大公约数，第二步取分子、分母中相同字母的最低次幂，两者相乘就是需要约去的公因式，我们按照这个规则逐步分析即可。
【解析】
先分别拆解分子和分母的组成：
分子为$6xy$，系数是6，含有的字母为$x$、$y$（$y$的次数为1）；
分母为$18y^2$，系数是18，含有的字母为$y$（$y$的次数为2）。
首先确定系数的最大公约数：6和18的最大公约数是6；
再确定相同字母的最低次幂：分子和分母共有的字母是$y$，$y$的最低次幂是1次，即$y$；
因此分子和分母的公因式为$6 × y = 6y$，约去$6y$后分式可化为最简分式$\frac{x}{3y}$，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定；分式的约分；分式的基本性质
【点评】
本题是分式约分的基础题，核心考查公因式的找法，熟练掌握系数取最大公约数、相同字母取最低次幂的规则就能快速解答。
【难度系数】
0.9

2.(4分)下列各式是最简分式的是 ()

A.$\frac{12}{6x}$
B.$\frac{x-y}{x^2 - y^2}$
C.$\frac{2x}{x+2}$
D.$\frac{xy}{x^2}$

2. C

【分析】
要判断哪个是最简分式，首先要明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时逐个分析每个选项，先对分子、分母因式分解，再判断是否存在公因式，若存在公因式则不是最简分式，不存在公因式的就是正确答案。
【解析】
根据最简分式的定义逐一判断：
A. $\frac{12}{6x}$的分子和分母有公因式$6$，约分后为$\frac{2}{x}$，不是最简分式；
B. $\frac{x-y}{x^2-y^2}$中，分母利用平方差公式分解为$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，分子和分母有公因式$x-y$，约分后为$\frac{1}{x+y}$，不是最简分式；
C. $\frac{2x}{x+2}$的分子为$2x$，分母为$x+2$，二者没有公因式，是最简分式；
D. $\frac{xy}{x^2}$的分子和分母有公因式$x$，约分后为$\frac{y}{x}$，不是最简分式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的定义；分式约分；因式分解
【点评】
本题是基础题，核心考查最简分式的判断方法，解题的关键是熟练掌握最简分式的定义，能正确对分式的分子、分母进行因式分解，准确找出公因式。
【难度系数】
0.8

3.(4分)分式$\frac{1}{3x^2y^2}$，$\frac{1}{4xy^2}$的最简公分母是（）

A.$12x^2y^2$
B.$12x^3y^4$
C.$xy$
D.$xy^2$

3. A

【分析】
要确定两个分式的最简公分母，需按照最简公分母的确定规则逐步推导：首先取各分母系数的最小公倍数，其次对于分母中含有的相同字母（或因式），取次数最高的，最后将得到的部分相乘即为最简公分母。我们先分别拆分两个分式的分母，再按规则逐一计算对应部分即可。
【解析】
先分别写出两个分式的分母构成：
1. 分式$\frac{1}{3x^2y^2}$的分母为$3x^2y^2$：系数是3，$x$的次数为2，$y$的次数为2；
2. 分式$\frac{1}{4xy^2}$的分母为$4xy^2$：系数是4，$x$的次数为1，$y$的次数为2。
第一步：计算系数的最小公倍数，3和4互质，最小公倍数为$3×4=12$；
第二步：确定$x$的最高次幂，两个分母中$x$的次数分别为2和1，取最高次2，对应因式为$x^2$；
第三步：确定$y$的最高次幂，两个分母中$y$的次数均为2，取最高次2，对应因式为$y^2$；
将上述部分相乘得到最简公分母：$12× x^2× y^2=12x^2y^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
最简公分母的确定；最小公倍数计算；幂的次数判断
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，主要考查最简公分母的确定方法，该知识点是后续分式通分、分式加减运算的核心基础，解题时需注意不要漏看字母的最高次幂，避免出现系数或字母次数选错的错误。
【难度系数】
0.9

4. (4分)若将分式$\frac{3m}{m+n}$与$\frac{4n}{2(m-n)}$通分，则分式$\frac{3m}{m+n}$的分子应变为（）

A.$6m^2 - 6mn$
B.$6m - 6n$
C.$2(m - n)$
D.$2(m - n)(m + n)$

4. A

【分析】
要解决分式通分后分子变形的问题，需按通分的步骤思考：第一步先找到两个分式的最简公分母，第二步根据分式的基本性质，给原分式的分子分母同乘分母变为最简公分母所需的整式，最后计算新分子即可。首先观察两个分式的分母分别是$m+n$和$2(m-n)$，系数的最小公倍数是2，两个分母的因式无公因式，因此最简公分母为$2(m+n)(m-n)$；再看$\frac{3m}{m+n}$的分母是$m+n$，要变为最简公分母，需要乘以$2(m-n)$，因此分子也要乘以$2(m-n)$，计算乘积即可得到结果。
【解析】
1. 确定两个分式的分母：$\frac{3m}{m+n}$的分母是$m+n$，$\frac{4n}{2(m-n)}$的分母是$2(m-n)$。
2. 找最简公分母：系数取1和2的最小公倍数2，因式取两个分母的所有不同因式$(m+n)$、$(m-n)$，因此最简公分母为$2(m+n)(m-n)$。
3. 变形$\frac{3m}{m+n}$：根据分式的基本性质，要让分母变为$2(m+n)(m-n)$，需要给分母乘以$2(m-n)$，分子也要同时乘以$2(m-n)$。
4. 计算新分子：$3m × 2(m-n) = 6m(m-n) = 6m^2 - 6mn$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质，分式通分，最简公分母
【点评】
本题考查分式通分的核心方法，解题的关键是准确找出最简公分母，再依据分式的基本性质对分子进行同步变形，属于基础题型，熟练掌握通分步骤能快速解题。
【难度系数】
0.8

5.(4分)若实数$x$满足$x^2 + 3x - 1 = 0$，则$\frac{x}{x^2 - 1}$的值为。

5. $-\frac{1}{3}$

【分析】
解题时先观察已知等式和所求分式的结构特点，发现所求分式的分母为$x^2 -1$，可以通过对已知等式移项变形得到$x^2-1$的含$x$的表达式，再结合分式有意义的条件判断$x≠0$，最后将变形后的式子整体代入所求分式约分即可得到结果，不需要解出$x$的具体值，简化计算。
【解析】
已知$x^2 + 3x - 1 = 0$，对等式移项可得：
$x^2 - 1 = -3x$
首先判断$x$的取值：将$x=0$代入原方程，左边$=0+0-1=-1≠0$，因此$x≠0$，满足分式约分的前提条件。
将$x^2 - 1 = -3x$代入$\frac{x}{x^2 - 1}$得：
$\frac{x}{x^2 - 1}=\frac{x}{-3x}=-\frac{1}{3}$
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
分式的基本性质、等式的变形、代数式求值
【点评】
本题考查整体代入思想在代数式求值中的应用，解题的关键是找到已知等式和所求代数式之间的关联，通过整体替换避免求解方程的复杂运算，同时要注意验证分式约分的前提是分母所含的字母不为0。
【难度系数】
0.7

6.(12分)约分：
(1)$\frac{-3xy^2}{6x^2y^3}$；
(2)$\frac{12xy^2 + 9xyz}{3x^2y}$；
(3)$\frac{(m-n)^2}{m^2 -n^2}$；
(4)$\frac{8a^2 +16a +8}{4a +4}$。

6. 解:(1)原式$=-\frac{1}{2xy}$. (2)原式$=\frac{3xy(4y+3z)}{3xy· x}=\frac{4y+3z}{x}$. (3)原式$=\frac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}=\frac{m-n}{m+n}$. (4)原式$=\frac{8(a+1)^2}{4(a+1)}=2a+2$.

【分析】
约分的核心依据是分式的基本性质，即分式的分子、分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变，解题思路如下：1. 若分子、分母是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，组合得到公因式，约去公因式即可，注意负号要提前处理；2. 若分子、分母是多项式，先分别对分子、分母因式分解（提公因式或用乘法公式），再确定公因式并约去，最终结果要化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 分子分母均为单项式，公因式为$3xy^2$，约去公因式：
原式$=\frac{-3xy^2÷3xy^2}{6x^2y^3÷3xy^2}=-\frac{1}{2xy}$
(2) 先对分子提公因式分解，再找公因式约分：
分子$12xy^2+9xyz=3xy(4y+3z)$，分母$3x^2y=3xy· x$，公因式为$3xy$，约去得：
原式$=\frac{3xy(4y+3z)}{3xy· x}=\frac{4y+3z}{x}$
(3) 先利用平方差公式分解分母，再找公因式约分：
分母$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，公因式为$(m-n)$，约去得：
原式$=\frac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}=\frac{m-n}{m+n}$
(4) 先分别对分子、分母因式分解，分子先提公因式再用完全平方公式，分母提公因式，再约分：
分子$8a^2+16a+8=8(a^2+2a+1)=8(a+1)^2$，分母$4a+4=4(a+1)$，公因式为$4(a+1)$，约去得：
原式$=\frac{8(a+1)^2}{4(a+1)}=2(a+1)=2a+2$
【答案】
(1)$-\frac{1}{2xy}$；(2)$\frac{4y+3z}{x}$；(3)$\frac{m-n}{m+n}$；(4)$2a+2$
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础训练题，解题的关键是准确判断分子分母的形式，正确找到公因式，多项式要先完成因式分解再约分，计算过程中要注意符号的处理，最终结果需为最简分式或整式，避免出现未约尽的错误。
【难度系数】
0.8

7. (8分)通分：
(1) $\frac{3}{4x^2y^3}$与$\frac{5}{6xy^4}$；
(2) $\frac{2n}{n-2}$，$\frac{3n}{n+3}$。

7. 解:(1)最简公分母是$12x^2y^4$. $\frac{3}{4x^2y^3}=\frac{3· 3y}{4x^2y^3· 3y}=\frac{9y}{12x^2y^4}$，$\frac{5}{6xy^4}=\frac{5· 2x}{6xy^4· 2x}=\frac{10x}{12x^2y^4}$. (2)最简公分母是$(n-2)(n+3)$. $\frac{2n}{n-2}=\frac{2n(n+3)}{(n-2)(n+3)}=\frac{2n^2+6n}{(n-2)(n+3)}$，$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n(n-2)}{(n+3)(n-2)}=\frac{3n^2-6n}{(n-2)(n+3)}$.

【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘合适的整式，使分母都变为最简公分母。
对于(1)，分母是单项式，确定最简公分母的方法：①系数取各分母系数4和6的最小公倍数12；②相同字母取最高次幂，x的最高次是x²，y的最高次是y⁴，因此最简公分母为$12x^2y^4$，再分别给两个分式的分子分母补乘各自缺少的因式即可。
对于(2)，分母是两个没有公因式的多项式，因此最简公分母是两个分母的乘积$(n-2)(n+3)$，再分别给两个分式的分子分母补乘缺少的因式即可。
【解析】
(1) 首先确定最简公分母为$12x^2y^4$：
$\frac{3}{4x^2y^3}$的分母缺少因式$3y$，因此分子分母同乘$3y$，得：
$\frac{3}{4x^2y^3}=\frac{3· 3y}{4x^2y^3· 3y}=\frac{9y}{12x^2y^4}$
$\frac{5}{6xy^4}$的分母缺少因式$2x$，因此分子分母同乘$2x$，得：
$\frac{5}{6xy^4}=\frac{5· 2x}{6xy^4· 2x}=\frac{10x}{12x^2y^4}$
(2) 首先确定最简公分母为$(n-2)(n+3)$：
$\frac{2n}{n-2}$的分母缺少因式$(n+3)$，因此分子分母同乘$(n+3)$，得：
$\frac{2n}{n-2}=\frac{2n(n+3)}{(n-2)(n+3)}=\frac{2n^2+6n}{(n-2)(n+3)}$
$\frac{3n}{n+3}$的分母缺少因式$(n-2)$，因此分子分母同乘$(n-2)$，得：
$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n(n-2)}{(n+3)(n-2)}=\frac{3n^2-6n}{(n-2)(n+3)}$
【答案】
(1) $\frac{3}{4x^2y^3}=\frac{9y}{12x^2y^4}$，$\frac{5}{6xy^4}=\frac{10x}{12x^2y^4}$；
(2) $\frac{2n}{n-2}=\frac{2n^2+6n}{(n-2)(n+3)}$，$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n^2-6n}{(n-2)(n+3)}$。
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，分式的基本性质
【点评】
本题是通分的基础题型，重点考查最简公分母的确定方法和分式基本性质的应用，解题时要注意分子也要随分母同乘对应的因式，避免出现漏乘分子的错误。
【难度系数】
0.8

8.(10分) 渗透整体思想(北京中考)先化简，再求值：$\frac{3(a-2b)+3b}{a^2-2ab+b^2}$，其中$a-b-1=0$。

8. 解:原式$=\frac{3a-6b+3b}{(a-b)^2}=\frac{3(a-b)}{(a-b)^2}=\frac{3}{a-b}$. $\because a-b-1=0$，$\therefore a-b=1$. $\therefore$原式$=\frac{3}{1}=3$.

【分析】
解决这道分式化简求值题可按以下思路推导：第一步先分别处理分式的分子和分母：分子是整式加减，先去括号合并同类项，再提取公因式整理；分母是二次三项式，符合完全平方差公式的特征，先因式分解。第二步对整理后的分子分母约分，利用分式的基本性质约去公因式，得到最简分式。第三步观察已知条件，可直接变形得到$a-b$的值，不需要单独求解$a$、$b$的取值，将$a-b$作为整体代入最简分式计算即可得到结果。
【解析】
解：先对原式化简：
分子去括号合并同类项：$3(a-2b)+3b=3a-6b+3b=3a-3b=3(a-b)$
分母利用完全平方公式因式分解：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
因此原式可化为：$\frac{3(a-b)}{(a-b)^2}$
由已知$a-b-1=0$，可得$a-b=1≠0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的$a-b$，约分后得：$\frac{3}{a-b}$
将$a-b=1$代入最简式，得：原式$=\frac{3}{1}=3$
【答案】
$3$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，既考查了整式运算、因式分解、分式约分等核心运算技能，也体现了整体代入的数学思想，避免了单独求解未知数的繁琐，能很好地检验学生对基础知识的掌握程度和数学思想的运用能力。
【难度系数】
0.8

9.（10分）半开放性试题 已知三个代数式$2a^2 - 8$，$3a + 6$，$a^3 - 4a^2 + 4a$。
（1）选出两个代数式分别作为分子、分母组成一个最简分式：；
（2）选出两个代数式分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并将其化简。

9. 解:(1)$\frac{3a+6}{a^3-4a^2+4a}(或\frac{a^3-4a^2+4a}{3a+6})$ (2)答案不唯一，如选$2a^2-8,3a+6$组成分式$\frac{3a+6}{2a^2-8}$. $\frac{3a+6}{2a^2-8}=\frac{3(a+2)}{2(a+2)(a-2)}=\frac{3}{2a-4}$.

【分析】
解题前先将三个代数式分别因式分解，方便判断公因式：
①$2a^2 - 8 = 2(a^2 - 4) = 2(a+2)(a-2)$；
②$3a + 6 = 3(a+2)$；
③$a^3 - 4a^2 + 4a = a(a^2 - 4a + 4) = a(a-2)^2$。
（1）要组成最简分式，需选择两个没有公因式的代数式分别作为分子、分母。观察分解结果：①和②有公因式$(a+2)$，①和③有公因式$(a-2)$，只有②和③没有公因式，因此选这两个组成的分式就是最简分式。
（2）要组成非最简分式，只需选择两个有公因式的代数式，先将分子分母分别因式分解，再约去公因式即可完成化简，答案不唯一。
【解析】
（1）根据上述分析，选择$3a+6$和$a^3 - 4a^2 + 4a$组成最简分式即可。
（2）示例：选择$2a^2 - 8$和$3a + 6$组成分式$\frac{3a+6}{2a^2 - 8}$，化简过程如下：
先对分子、分母分别因式分解，再约去公因式$(a+2)$：
$\begin{aligned}\frac{3a+6}{2a^2 - 8}&=\frac{3(a+2)}{2(a+2)(a-2)} \\&=\frac{3}{2(a-2)} \\&=\frac{3}{2a - 4}\end{aligned}$
（也可选择其他有公因式的代数式组合，化简正确即可）
【答案】
（1）$\frac{3a+6}{a^3 - 4a^2 + 4a}$（或$\frac{a^3 - 4a^2 + 4a}{3a+6}$）
（2）示例：$\frac{3a+6}{2a^2 - 8}=\frac{3}{2a - 4}$（答案不唯一）
【知识点】
最简分式的定义，因式分解，分式的约分
【点评】
本题为半开放类基础题，核心考查对最简分式概念的理解，以及因式分解、分式约分的运算能力，解题时先对代数式因式分解，可快速判断是否存在公因式，降低出错概率。
【难度系数】
0.7