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三角函数的定义:如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ A$ 的对边与 
斜边
的比值叫作$∠ A$ 的正弦,记作 $\sin A$,即 $\sin A =$ $\frac{BC}{AB}$
;$∠ A$ 的邻边与 斜边
的比值叫作$∠ A$ 的余弦,记作 $\cos A$,即 $\cos A =$ $\frac{AC}{AB}$
;$∠ A$ 的对边与 $∠A$ 的邻边
的比值叫作$∠ A$ 的正切,记作 $\tan A$,即 $\tan A =$ $\frac{BC}{AC}$
.锐角 $A$ 的正弦、余弦和正切统称$∠ A$ 的 三角函数
.答案
斜边 $\frac{BC}{AB}$ 斜边 $\frac{AC}{AB}$ $∠A$ 的邻边 $\frac{BC}{AC}$ 三角函数
1 [2025云南]如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$。若$AB=13$，$BC=5$，则$\sin A$等于（
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{13}$
D.$\frac{5}{13}$
D
）A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{13}$
D.$\frac{5}{13}$
答案
1. D
2 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2BC$。有下列结论：①$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；②$\cos A=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；③$\tan A=\dfrac{1}{2}$。其中，正确的个数为（
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
2. B
3 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$.如果$\cos A=\dfrac{4}{5}$，那么$AB$的长为
10
.答案
3. 10
4 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\sin A = \frac{\sqrt{7}}{3}$，则$\cos A =$
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
，$\tan A =$$\frac{\sqrt{14}}{2}$
。答案
4. $\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\frac{\sqrt{14}}{2}$
5 一题多解 已知$\sinα=\frac{3}{5}$，且$α$为锐角，求$\cosα$的值。
答案
5. 解法一(公式法):如图,因为在 Rt△ABC 中,∠C=90°,所以$BC^2+AC^2=AB^2$,$\sinα=\frac{BC}{AB}$,$\cosα=\frac{AC}{AB}$. 所以 $\sin^2α+\cos^2α=(\frac{BC}{AB})^2+(\frac{AC}{AB})^2=\frac{BC^2+AC^2}{AB^2}=\frac{AB^2}{AB^2}=1$. 因为 α 为锐角,所以$\cosα＞0$. 所以 $\cosα=\sqrt{1-\sin^2α}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$
解法二(参数法):如图,因为 $\sinα=\frac{3}{5}$,所以设 $BC=3m(m＞0)$,则$AB=5m$. 所以 $AC=\sqrt{(5m)^2-(3m)^2}=4m$. 所以$\cosα=\frac{4m}{5m}=\frac{4}{5}$
6 如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,AD=13,BE=1,则tanA的值为 (
A.$\dfrac{12}{13}$
B.$\dfrac{5}{13}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.$\dfrac{5}{12}$
D
)A.$\dfrac{12}{13}$
B.$\dfrac{5}{13}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.$\dfrac{5}{12}$
答案
6. D
7 [2025绍兴柯桥期末]如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,$△ ABC$的顶点都在方格纸的格点上,则$\tan∠ CAB=$
$\frac{1}{2}$
.答案
7. $\frac{1}{2}$
8 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，若斜边 $AB$ 的长是直角边 $BC$ 长的 3 倍，则 $\tan B=$
$2\sqrt{2}$
。答案
8. $2\sqrt{2}$
9 如图,在$△ ABC$中,边$AC$,$BC$上的高线$BE$,$AD$交于点$H$.若$AH=3$,$AE=2$,求$\tan C$的值.
答案
9. 因为 $BE⊥AC$,所以$∠AEH=90°$,$∠EAH+∠AHE=90°$.
因为 $AD⊥BC$,所以$∠EAH+∠C=90°$.所以$∠AHE=∠C$.因为在 Rt △AHE 中, AH = 3, AE = 2, 所以 $HE=\sqrt{AH^2-AE^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$. 所以 $\tan∠AHE=\frac{AE}{HE}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. 所以 $\tan C=\tan∠AHE=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
因为 $AD⊥BC$,所以$∠EAH+∠C=90°$.所以$∠AHE=∠C$.因为在 Rt △AHE 中, AH = 3, AE = 2, 所以 $HE=\sqrt{AH^2-AE^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$. 所以 $\tan∠AHE=\frac{AE}{HE}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. 所以 $\tan C=\tan∠AHE=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
