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1.小明用火柴棒摆直角三角形，他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，摆完这个直角三角形共用火柴棒（
A.20根
B.14根
C.24根
D.30根
C
）A.20根
B.14根
C.24根
D.30根
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，摆三角形用的火柴棒长度都相等，因此直角三角形各边的边长数值就等于对应边所用的火柴棒根数。题目已知两条直角边的火柴棒根数，要求总火柴棒数，本质是求直角三角形的周长，所以需要先根据勾股定理求出斜边对应的火柴棒根数，再将三条边的火柴棒根数相加即可得到结果。
【解析】
∵ 火柴棒长度均相等，因此直角三角形两条直角边对应的长度数值分别为6和8
根据勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
∴ 斜边对应的火柴棒根数的平方 = $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
∵ 火柴棒根数为正整数，
∴ 斜边的火柴棒根数 = $\sqrt{100}=10$
总火柴棒根数 = 两条直角边根数 + 斜边根数 = $6 + 8 + 10 = 24$（根）
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理 2.三角形周长计算
【点评】
这道题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题的核心是理解火柴棒长度一致时，边长与所用火柴棒根数的对应关系，再结合勾股定理求出未知边长度，最后计算周长即可，解题时注意不要漏算斜边的火柴棒数量。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先，摆三角形用的火柴棒长度都相等，因此直角三角形各边的边长数值就等于对应边所用的火柴棒根数。题目已知两条直角边的火柴棒根数，要求总火柴棒数，本质是求直角三角形的周长，所以需要先根据勾股定理求出斜边对应的火柴棒根数，再将三条边的火柴棒根数相加即可得到结果。
【解析】
∵ 火柴棒长度均相等，因此直角三角形两条直角边对应的长度数值分别为6和8
根据勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
∴ 斜边对应的火柴棒根数的平方 = $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
∵ 火柴棒根数为正整数，
∴ 斜边的火柴棒根数 = $\sqrt{100}=10$
总火柴棒根数 = 两条直角边根数 + 斜边根数 = $6 + 8 + 10 = 24$（根）
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1.勾股定理 2.三角形周长计算
【点评】
这道题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题的核心是理解火柴棒长度一致时，边长与所用火柴棒根数的对应关系，再结合勾股定理求出未知边长度，最后计算周长即可，解题时注意不要漏算斜边的火柴棒数量。
【难度系数】
0.8
2.如图,在四边形ABCD中,若AC⊥BD,则下列结论正确的是( 
)
A.$AB^2 - CD^2 = BC^2 - AD^2$
B.$AB^2 - CD^2 = AD^2 - BC^2$
C.$AB^2 - BC^2 = CD^2 - AD^2$
D.$AB^2 - BC^2 = AD^2 - CD^2$
)A.$AB^2 - CD^2 = BC^2 - AD^2$
B.$AB^2 - CD^2 = AD^2 - BC^2$
C.$AB^2 - BC^2 = CD^2 - AD^2$
D.$AB^2 - BC^2 = AD^2 - CD^2$
答案
D
解析
【分析】
遇到对角线互相垂直的四边形，推导边的平方关系时，我们可以先设两条对角线的交点为O，此时四个小三角形都是直角三角形，利用勾股定理把四边形各边的平方分别用直角边的平方和表示，再分别计算各选项中等式左右两边的差，对比是否相等即可判断选项正误。
【解析】
设AC与BD相交于点O，
∵AC⊥BD，
∴△AOB、△BOC、△COD、△DOA均为直角三角形。
根据勾股定理可得：
$AB^2 = AO^2 + BO^2$ ①，
$BC^2 = BO^2 + CO^2$ ②，
$CD^2 = CO^2 + DO^2$ ③，
$AD^2 = AO^2 + DO^2$ ④。
对选项D进行验证：
左边：$AB^2 - BC^2 = (AO^2 + BO^2) - (BO^2 + CO^2) = AO^2 - CO^2$，
右边：$AD^2 - CD^2 = (AO^2 + DO^2) - (CO^2 + DO^2) = AO^2 - CO^2$，
左边=右边，故D选项正确，其余选项验证后均不满足左右相等。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理的典型应用，通过将四边形的边转化为直角三角形的斜边，用直角边的平方和表示各边的平方，再通过作差对比即可快速得出结论，解题关键是合理利用对角线垂直的条件构造直角三角形。
【难度系数】
0.7
遇到对角线互相垂直的四边形，推导边的平方关系时，我们可以先设两条对角线的交点为O，此时四个小三角形都是直角三角形，利用勾股定理把四边形各边的平方分别用直角边的平方和表示，再分别计算各选项中等式左右两边的差，对比是否相等即可判断选项正误。
【解析】
设AC与BD相交于点O，
∵AC⊥BD，
∴△AOB、△BOC、△COD、△DOA均为直角三角形。
根据勾股定理可得：
$AB^2 = AO^2 + BO^2$ ①，
$BC^2 = BO^2 + CO^2$ ②，
$CD^2 = CO^2 + DO^2$ ③，
$AD^2 = AO^2 + DO^2$ ④。
对选项D进行验证：
左边：$AB^2 - BC^2 = (AO^2 + BO^2) - (BO^2 + CO^2) = AO^2 - CO^2$，
右边：$AD^2 - CD^2 = (AO^2 + DO^2) - (CO^2 + DO^2) = AO^2 - CO^2$，
左边=右边，故D选项正确，其余选项验证后均不满足左右相等。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理的典型应用，通过将四边形的边转化为直角三角形的斜边，用直角边的平方和表示各边的平方，再通过作差对比即可快速得出结论，解题关键是合理利用对角线垂直的条件构造直角三角形。
【难度系数】
0.7
3.我国古代著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的正方形，如图所示。如果$AE=5$，$AB=13$，那么$EF^2=$(
A.49
B.12
C.13
D.98
（第3题）
D
)A.49
B.12
C.13
D.98
（第3题）答案
D
解析
【分析】
解题首先结合赵爽弦图的特征，明确图中四个直角三角形全等：第一步先在$Rt△ ABE$中，已知斜边$AB$和直角边$AE$，用勾股定理求出另一条直角边$BE$的长度；第二步根据全等三角形对应边相等，得出小正方形的边长为$BE$与$AE$的差；第三步观察图形可知$EF$是小正方形的对角线，再次运用勾股定理计算$EF^2$即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$AB=13$，$AE=5$，
由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
∵赵爽弦图的四个直角三角形全等，
∴小正方形的边长为$BE-AE=12-5=7$。
由图可知$EF$为小正方形的对角线，根据勾股定理：
$EF^2=7^2+7^2=49+49=98$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合赵爽弦图的基础应用题，解题的核心是理清弦图中各线段的数量关系，计算时要注意判断所求线段的类型，避免误把对角线当成边长计算导致错误。
【难度系数】
0.7
解题首先结合赵爽弦图的特征，明确图中四个直角三角形全等：第一步先在$Rt△ ABE$中，已知斜边$AB$和直角边$AE$，用勾股定理求出另一条直角边$BE$的长度；第二步根据全等三角形对应边相等，得出小正方形的边长为$BE$与$AE$的差；第三步观察图形可知$EF$是小正方形的对角线，再次运用勾股定理计算$EF^2$即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$AB=13$，$AE=5$，
由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
∵赵爽弦图的四个直角三角形全等，
∴小正方形的边长为$BE-AE=12-5=7$。
由图可知$EF$为小正方形的对角线，根据勾股定理：
$EF^2=7^2+7^2=49+49=98$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合赵爽弦图的基础应用题，解题的核心是理清弦图中各线段的数量关系，计算时要注意判断所求线段的类型，避免误把对角线当成边长计算导致错误。
【难度系数】
0.7
4.如图，若将一根长12 cm的筷子置于底面直径为6 cm、高为8 cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为
2
cm。答案
2
解析
【分析】
要得到筷子露在杯子外面的最短长度h，首先需要明确：当筷子在杯子内部的长度最长时，露在外面的长度最小。圆柱形杯子内部最长的线段是从底面一侧边缘到对面上边缘的斜线段，该线段与杯子的底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形，我们先利用勾股定理算出杯内筷子的最大长度，再用筷子总长度减去该长度，即可得到h的最小值。
【解析】
当筷子在杯内长度最长时，露在外面的长度h最小。
此时杯内的筷子、杯子底面直径、杯子的高构成直角三角形，其中两条直角边分别为底面直径6cm、杯子的高8cm。
根据勾股定理，杯内筷子的最大长度为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm}$
已知筷子总长度为12cm，因此露在外面的最短长度为：
$h = 12 - 10 = 2\ \mathrm{cm}$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；最值分析
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类题目，解题的核心是先确定筷子的最优放置状态，将立体图形的线段计算问题转化为平面直角三角形的边长求解问题，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
要得到筷子露在杯子外面的最短长度h，首先需要明确：当筷子在杯子内部的长度最长时，露在外面的长度最小。圆柱形杯子内部最长的线段是从底面一侧边缘到对面上边缘的斜线段，该线段与杯子的底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形，我们先利用勾股定理算出杯内筷子的最大长度，再用筷子总长度减去该长度，即可得到h的最小值。
【解析】
当筷子在杯内长度最长时，露在外面的长度h最小。
此时杯内的筷子、杯子底面直径、杯子的高构成直角三角形，其中两条直角边分别为底面直径6cm、杯子的高8cm。
根据勾股定理，杯内筷子的最大长度为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm}$
已知筷子总长度为12cm，因此露在外面的最短长度为：
$h = 12 - 10 = 2\ \mathrm{cm}$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；最值分析
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类题目，解题的核心是先确定筷子的最优放置状态，将立体图形的线段计算问题转化为平面直角三角形的边长求解问题，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 在学习了勾股定理后，同学们了解到该定理有多种证法。某同学提出了一种利用图形拼接的验证思路：如图①，B是正方形ACDE的边CD上的一点，连接AB，得到直角三角形ACB(其三条边的长度分别为$a,b,c$)；将$△ ACB$剪下并拼接至$△ AEF$的位置，如图②所示。该同学通过分析图①和图②的面积关系验证了勾股定理。请你根据上述思路进行验证。
答案
如图②，连接BF。
由题意可知$△ACB≌△AEF$，
所以$AB=AF$，所以$△BAF$是等腰直角三角形，
所以$S_{四边形ABDF}=S_{△BAF}+S_{△FBD}=\frac{1}{2}AB·AF+\frac{1}{2}BD·DF=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b-a)(b+a)=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b^2-a^2)$。
因为$S_{四边形ACDE}=b^2$，$S_{四边形ACDE}=S_{四边形ABDF}$，
所以$b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b^2-a^2)$，
化简，得$a^2+b^2=c^2$。
由题意可知$△ACB≌△AEF$，
所以$AB=AF$，所以$△BAF$是等腰直角三角形，
所以$S_{四边形ABDF}=S_{△BAF}+S_{△FBD}=\frac{1}{2}AB·AF+\frac{1}{2}BD·DF=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b-a)(b+a)=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b^2-a^2)$。
因为$S_{四边形ACDE}=b^2$，$S_{四边形ACDE}=S_{四边形ABDF}$，
所以$b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b^2-a^2)$，
化简，得$a^2+b^2=c^2$。
解析
【分析】
要验证勾股定理即证明$a^2+b^2=c^2$，可采用面积法，利用拼接前后图形总面积相等建立等式推导。首先明确拼接前正方形ACDE的面积为$b^2$，拼接后图形为四边形ABDF，面积与原正方形相等。接下来需要将四边形ABDF的面积用含$a、b、c$的式子表示：由$△ ACB≌△ AEF$可得$AB=AF$，且$∠ BAF=∠ CAE=90°$，因此$△ BAF$是等腰直角三角形，面积可表示为$\frac{1}{2}c^2$；剩余部分$△ BDF$的两条直角边分别为$BD=b-a$、$DF=b+a$，面积可表示为$\frac{1}{2}(b-a)(b+a)$。将两部分面积和与正方形面积列等式，化简后即可得到勾股定理。
【解析】
解：如图②，连接$BF$。
由题意可知$△ ACB≌△ AEF$，
$\therefore AB=AF$，$∠ EAF=∠ CAB$，
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF+∠ EAB=∠ CAB+∠ EAB=∠ CAE=90°$，即$△ BAF$是等腰直角三角形。
四边形$ABDF$的面积可表示为两部分之和：
$S_{四边形ABDF}=S_{△ BAF}+S_{△ FBD}$
其中$S_{△ BAF}=\frac{1}{2}AB· AF=\frac{1}{2}c^2$，
$BD=CD-CB=b-a$，$DF=DE+EF=b+a$，因此$S_{△ FBD}=\frac{1}{2}BD· DF=\frac{1}{2}(b-a)(b+a)=\frac{1}{2}(b^2-a^2)$，
$\therefore S_{四边形ABDF}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b^2-a^2)$。
$\because$拼接前后图形总面积不变，即$S_{四边形ACDE}=S_{四边形ABDF}$，且正方形$ACDE$的面积$S_{四边形ACDE}=b^2$，
$\therefore b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b^2-a^2)$，
等式两边同乘2得：$2b^2=c^2 + b^2 - a^2$，
化简整理得：$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
【答案】
验证得勾股定理$a^2+b^2=c^2$成立。
【知识点】
勾股定理的验证；全等三角形的性质；面积法的应用
【点评】
本题是勾股定理的经典验证题型，通过图形拼接将代数关系与几何面积相结合，考查了数形结合思想的应用，能帮助加深对勾股定理推导逻辑的理解。
【难度系数】
0.6
要验证勾股定理即证明$a^2+b^2=c^2$，可采用面积法，利用拼接前后图形总面积相等建立等式推导。首先明确拼接前正方形ACDE的面积为$b^2$，拼接后图形为四边形ABDF，面积与原正方形相等。接下来需要将四边形ABDF的面积用含$a、b、c$的式子表示：由$△ ACB≌△ AEF$可得$AB=AF$，且$∠ BAF=∠ CAE=90°$，因此$△ BAF$是等腰直角三角形，面积可表示为$\frac{1}{2}c^2$；剩余部分$△ BDF$的两条直角边分别为$BD=b-a$、$DF=b+a$，面积可表示为$\frac{1}{2}(b-a)(b+a)$。将两部分面积和与正方形面积列等式，化简后即可得到勾股定理。
【解析】
解：如图②，连接$BF$。
由题意可知$△ ACB≌△ AEF$，
$\therefore AB=AF$，$∠ EAF=∠ CAB$，
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF+∠ EAB=∠ CAB+∠ EAB=∠ CAE=90°$，即$△ BAF$是等腰直角三角形。
四边形$ABDF$的面积可表示为两部分之和：
$S_{四边形ABDF}=S_{△ BAF}+S_{△ FBD}$
其中$S_{△ BAF}=\frac{1}{2}AB· AF=\frac{1}{2}c^2$，
$BD=CD-CB=b-a$，$DF=DE+EF=b+a$，因此$S_{△ FBD}=\frac{1}{2}BD· DF=\frac{1}{2}(b-a)(b+a)=\frac{1}{2}(b^2-a^2)$，
$\therefore S_{四边形ABDF}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b^2-a^2)$。
$\because$拼接前后图形总面积不变，即$S_{四边形ACDE}=S_{四边形ABDF}$，且正方形$ACDE$的面积$S_{四边形ACDE}=b^2$，
$\therefore b^2=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}(b^2-a^2)$，
等式两边同乘2得：$2b^2=c^2 + b^2 - a^2$，
化简整理得：$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
【答案】
验证得勾股定理$a^2+b^2=c^2$成立。
【知识点】
勾股定理的验证；全等三角形的性质；面积法的应用
【点评】
本题是勾股定理的经典验证题型，通过图形拼接将代数关系与几何面积相结合，考查了数形结合思想的应用，能帮助加深对勾股定理推导逻辑的理解。
【难度系数】
0.6
