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1.如图，若64，100分别为所在正方形的面积，则正方形A的面积为
36
。答案
36
解析
【分析】
首先观察图形，三个正方形分别对应直角三角形的三条边：面积为100的正方形边长是直角三角形的斜边，面积为64的正方形和正方形A的边长分别是直角三角形的两条直角边。根据正方形面积公式，正方形的面积等于边长的平方，因此直角三角形三条边的平方就对应三个正方形的面积。结合勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，我们可以用斜边对应的正方形面积减去已知直角边对应的正方形面积，就能得到正方形A的面积。
【解析】
解：因为正方形的面积等于边长的平方，
所以直角三角形的斜边长的平方=100，其中一条直角边长的平方=64。
根据勾股定理，另一条直角边长的平方=100-64=36。
而正方形A的边长就是这条直角边，因此正方形A的面积等于这条直角边的平方，即36。
【答案】
36
【知识点】
勾股定理；正方形的面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是建立正方形面积与直角三角形各边平方的对应关系，直接代入勾股定理计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，三个正方形分别对应直角三角形的三条边：面积为100的正方形边长是直角三角形的斜边，面积为64的正方形和正方形A的边长分别是直角三角形的两条直角边。根据正方形面积公式，正方形的面积等于边长的平方，因此直角三角形三条边的平方就对应三个正方形的面积。结合勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，我们可以用斜边对应的正方形面积减去已知直角边对应的正方形面积，就能得到正方形A的面积。
【解析】
解：因为正方形的面积等于边长的平方，
所以直角三角形的斜边长的平方=100，其中一条直角边长的平方=64。
根据勾股定理，另一条直角边长的平方=100-64=36。
而正方形A的边长就是这条直角边，因此正方形A的面积等于这条直角边的平方，即36。
【答案】
36
【知识点】
勾股定理；正方形的面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是建立正方形面积与直角三角形各边平方的对应关系，直接代入勾股定理计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
2.长方形的一条对角线的
长为10 cm，一边长为6 cm，
它的面积是
长为10 cm，一边长为6 cm，
它的面积是
48
cm²。答案
48
解析
【分析】
首先回忆长方形的性质：长方形的四个内角都是直角，因此长方形的一条对角线和相邻的两条边可以构成直角三角形，对角线是该直角三角形的斜边。已知斜边长为10cm，一条直角边（长方形的一边）长为6cm，我们可以先用勾股定理求出另一条直角边的长度，也就是长方形的另一条边长，最后根据长方形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵长方形的内角均为直角，
∴对角线与相邻的两条边构成直角三角形，对角线为斜边。
设长方形的另一边长为$x$ cm，根据勾股定理可得：
$x^2 + 6^2 = 10^2$
计算得：$x^2 = 100 - 36 = 64$
∵边长为正数，
∴$x = \sqrt{64} = 8$
则长方形的面积 = 长×宽 = $6×8 = 48$（$cm^2$）
【答案】
48
【知识点】
勾股定理；长方形的性质；长方形面积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是利用长方形的性质构造出直角三角形，再结合勾股定理求出未知边长，最后代入面积公式求解即可，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.85
首先回忆长方形的性质：长方形的四个内角都是直角，因此长方形的一条对角线和相邻的两条边可以构成直角三角形，对角线是该直角三角形的斜边。已知斜边长为10cm，一条直角边（长方形的一边）长为6cm，我们可以先用勾股定理求出另一条直角边的长度，也就是长方形的另一条边长，最后根据长方形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵长方形的内角均为直角，
∴对角线与相邻的两条边构成直角三角形，对角线为斜边。
设长方形的另一边长为$x$ cm，根据勾股定理可得：
$x^2 + 6^2 = 10^2$
计算得：$x^2 = 100 - 36 = 64$
∵边长为正数，
∴$x = \sqrt{64} = 8$
则长方形的面积 = 长×宽 = $6×8 = 48$（$cm^2$）
【答案】
48
【知识点】
勾股定理；长方形的性质；长方形面积计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题关键是利用长方形的性质构造出直角三角形，再结合勾股定理求出未知边长，最后代入面积公式求解即可，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.85
3.在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$分别为$∠ A,∠ B,∠ C$的对边。
①若$a=40,c=41$，则$b=$
②若$c=13,b=5$，则$a=$
③若$a:b=3:4,c=15$，则$a=$
①若$a=40,c=41$，则$b=$
9
。②若$c=13,b=5$，则$a=$
12
。③若$a:b=3:4,c=15$，则$a=$
9
，$b=$12
。答案
①9
②12
③9，12
②12
③9，12
解析
【分析】
本题是直角三角形中勾股定理的基础应用类题目，解题思路如下：首先由∠C=90°确定c是直角三角形的斜边，回忆勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$。
①已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b，可将勾股定理变形为$b^2=c^2-a^2$，代入数值计算后取正的平方根即可；
②已知斜边c和直角边b，求直角边a，将勾股定理变形为$a^2=c^2-b^2$，代入数值计算后取正的平方根即可；
③已知两条直角边的比例关系和斜边长度，可采用设参数的方法，将a、b用含同一个参数的式子表示，再代入勾股定理列方程求出参数值，即可得到a、b的长度。
【解析】
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，c为斜边，根据勾股定理可得：$a^2+b^2=c^2$。
① 已知$a=40,c=41$，代入变形公式得：
$b^2=c^2-a^2=41^2-40^2=1681-1600=81$
∵ 边长为正数，
∴ $b=\sqrt{81}=9$。
② 已知$c=13,b=5$，代入变形公式得：
$a^2=c^2-b^2=13^2-5^2=169-25=144$
∵ 边长为正数，
∴ $a=\sqrt{144}=12$。
③ 已知$a:b=3:4$，设$a=3k，b=4k（k＞0）$，代入勾股定理得：
$(3k)^2+(4k)^2=15^2$
化简得：$9k^2+16k^2=225$，即$25k^2=225$，解得$k^2=9$
∵ $k＞0$，
∴ $k=3$
则$a=3k=3×3=9$，$b=4k=4×3=12$。
【答案】
①9；②12；③9，12
【知识点】
1. 勾股定理
2. 参数法解题
【点评】
本题是勾股定理的基础考查题型，既考查了勾股定理的直接应用和公式变形，也结合比例关系考查了参数法的使用，都是勾股定理板块的常规考法，掌握基础公式和常用解题方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形中勾股定理的基础应用类题目，解题思路如下：首先由∠C=90°确定c是直角三角形的斜边，回忆勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$。
①已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b，可将勾股定理变形为$b^2=c^2-a^2$，代入数值计算后取正的平方根即可；
②已知斜边c和直角边b，求直角边a，将勾股定理变形为$a^2=c^2-b^2$，代入数值计算后取正的平方根即可；
③已知两条直角边的比例关系和斜边长度，可采用设参数的方法，将a、b用含同一个参数的式子表示，再代入勾股定理列方程求出参数值，即可得到a、b的长度。
【解析】
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，c为斜边，根据勾股定理可得：$a^2+b^2=c^2$。
① 已知$a=40,c=41$，代入变形公式得：
$b^2=c^2-a^2=41^2-40^2=1681-1600=81$
∵ 边长为正数，
∴ $b=\sqrt{81}=9$。
② 已知$c=13,b=5$，代入变形公式得：
$a^2=c^2-b^2=13^2-5^2=169-25=144$
∵ 边长为正数，
∴ $a=\sqrt{144}=12$。
③ 已知$a:b=3:4$，设$a=3k，b=4k（k＞0）$，代入勾股定理得：
$(3k)^2+(4k)^2=15^2$
化简得：$9k^2+16k^2=225$，即$25k^2=225$，解得$k^2=9$
∵ $k＞0$，
∴ $k=3$
则$a=3k=3×3=9$，$b=4k=4×3=12$。
【答案】
①9；②12；③9，12
【知识点】
1. 勾股定理
2. 参数法解题
【点评】
本题是勾股定理的基础考查题型，既考查了勾股定理的直接应用和公式变形，也结合比例关系考查了参数法的使用，都是勾股定理板块的常规考法，掌握基础公式和常用解题方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
4.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。若一个直角三角形中，勾为9，股为12，则弦为(
A.21
B.15
C.13
D.12
B
)A.21
B.15
C.13
D.12
答案
B
解析
【分析】
本题考查勾股定理的基础应用，解题思路如下：首先明确题目给出的是直角三角形，已知两条直角边（勾9、股12）的长度，要求斜边（弦）的长度，符合勾股定理的使用条件；接下来回忆勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知边长计算后，取正的算术平方根即可得到弦的长度。
【解析】
设直角三角形的弦长为$ c $，勾长$ a=9 $，股长$ b=12 $。
根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ a^2 + b^2 = c^2 $
代入数值计算：
$ c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 $
因为边长为正数，所以$ c = \sqrt{225} = 15 $。
因此弦长为15，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；算术平方根计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，主要考察对勾股定理内容的记忆和简单代数计算，只要熟练掌握勾股定理的公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理的基础应用，解题思路如下：首先明确题目给出的是直角三角形，已知两条直角边（勾9、股12）的长度，要求斜边（弦）的长度，符合勾股定理的使用条件；接下来回忆勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知边长计算后，取正的算术平方根即可得到弦的长度。
【解析】
设直角三角形的弦长为$ c $，勾长$ a=9 $，股长$ b=12 $。
根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ a^2 + b^2 = c^2 $
代入数值计算：
$ c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 $
因为边长为正数，所以$ c = \sqrt{225} = 15 $。
因此弦长为15，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；算术平方根计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，主要考察对勾股定理内容的记忆和简单代数计算，只要熟练掌握勾股定理的公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5.若直角三角形的两条直角边长分别为3 cm和4 cm，则斜边上的高为(
A.5 cm
B.4.8 cm
C.3 cm
D.2.4 cm
D
)A.5 cm
B.4.8 cm
C.3 cm
D.2.4 cm
答案
D
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先，已知直角三角形的两条直角边，可通过勾股定理先求出斜边的长度；其次，同一个三角形的面积是固定的，直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，利用两个面积表达式相等即可列式求出斜边上的高。
【解析】
解：第一步，求斜边长：
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm}$。
第二步，求斜边上的高：
设斜边上的高为$h$，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × h$
等式两边同时乘2得：$12 = 5h$
解得$h = 2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，核心要掌握利用等积法求三角形高的思路，计算时注意理清各边的对应关系，避免出错。
【难度系数】
0.75
解题思路分为两步：首先，已知直角三角形的两条直角边，可通过勾股定理先求出斜边的长度；其次，同一个三角形的面积是固定的，直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，利用两个面积表达式相等即可列式求出斜边上的高。
【解析】
解：第一步，求斜边长：
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm}$。
第二步，求斜边上的高：
设斜边上的高为$h$，根据三角形面积相等可得：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × h$
等式两边同时乘2得：$12 = 5h$
解得$h = 2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，核心要掌握利用等积法求三角形高的思路，计算时注意理清各边的对应关系，避免出错。
【难度系数】
0.75
6.五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式拼摆，其中三个正方形的面积分别为3,8和22,则正方形A的面积为(
A.17
B.14
C.15
D.16
A
)A.17
B.14
C.15
D.16
答案
A
解析
【分析】
遇到正方形与直角三角形组合的图形题，首先结合勾股定理思考：正方形的面积等于边长的平方，正好对应直角三角形边长的平方。首先观察左侧直角三角形，它的两条直角边分别是面积为3、22的正方形的边，可先通过勾股定理求出该直角三角形斜边的平方，也就是中间正方形的面积；再观察右侧直角三角形，它的斜边是中间正方形的边，其中一条直角边是面积为8的正方形的边，另一条直角边是正方形A的边，再次运用勾股定理即可求出A的面积。
【解析】
解：根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，且正方形的面积等于边长的平方。
1. 左侧直角三角形的两条直角边的平方分别对应面积为3和22的正方形面积，因此其斜边的平方为：$3+22=25$。
2. 该斜边是中间正方形的边长，因此中间正方形的面积为25，即右侧直角三角形的斜边的平方为25。
3. 设正方形A的面积为$S_A$，右侧直角三角形的一条直角边的平方为8，另一条直角边的平方为$S_A$，由勾股定理可得：
$8 + S_A = 25$
解得$S_A=25-8=17$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题核心是建立正方形面积与直角三角形边长平方的对应关系，通过两次套用勾股定理即可求出结果，解题时注意找准每个直角三角形对应的直角边和斜边即可。
【难度系数】
0.7
遇到正方形与直角三角形组合的图形题，首先结合勾股定理思考：正方形的面积等于边长的平方，正好对应直角三角形边长的平方。首先观察左侧直角三角形，它的两条直角边分别是面积为3、22的正方形的边，可先通过勾股定理求出该直角三角形斜边的平方，也就是中间正方形的面积；再观察右侧直角三角形，它的斜边是中间正方形的边，其中一条直角边是面积为8的正方形的边，另一条直角边是正方形A的边，再次运用勾股定理即可求出A的面积。
【解析】
解：根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，且正方形的面积等于边长的平方。
1. 左侧直角三角形的两条直角边的平方分别对应面积为3和22的正方形面积，因此其斜边的平方为：$3+22=25$。
2. 该斜边是中间正方形的边长，因此中间正方形的面积为25，即右侧直角三角形的斜边的平方为25。
3. 设正方形A的面积为$S_A$，右侧直角三角形的一条直角边的平方为8，另一条直角边的平方为$S_A$，由勾股定理可得：
$8 + S_A = 25$
解得$S_A=25-8=17$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题核心是建立正方形面积与直角三角形边长平方的对应关系，通过两次套用勾股定理即可求出结果，解题时注意找准每个直角三角形对应的直角边和斜边即可。
【难度系数】
0.7
7. 提升题 在数学活动中，小明发现：两个直角边的长度分别为a,b，斜边的长度为c的直角三角形和一个两条直角边的长度均为c的等腰直角三角形可以拼成一个直角梯形，如图所示。
（1）用两种不同的方法计算这个梯形的面积。a,b,c之间有怎样的数量关系？请说明理由。
（2）若直角梯形的下底比上底长1 cm，高为7 cm，求△DEC的面积。
（1）用两种不同的方法计算这个梯形的面积。a,b,c之间有怎样的数量关系？请说明理由。
（2）若直角梯形的下底比上底长1 cm，高为7 cm，求△DEC的面积。
答案
(1)利用梯形的面积公式计算：$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$；用三个三角形面积的和计算：$\frac{1}{2}ab×2+\frac{1}{2}c×c=ab+\frac{1}{2}c^2$。所以$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$。整理，得$a^2+b^2=c^2$。
(2)由题可知，上底长为$a$ cm，则下底长$b=(a+1)$cm。根据图形可知，$a+a+1=7$，解得$a=3$，$b=4$。
所以$S_{△DEC}=\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2)=\frac{1}{2}×(3^2+4^2)=\frac{25}{2}(cm^2)$。
(2)由题可知，上底长为$a$ cm，则下底长$b=(a+1)$cm。根据图形可知，$a+a+1=7$，解得$a=3$，$b=4$。
所以$S_{△DEC}=\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2)=\frac{1}{2}×(3^2+4^2)=\frac{25}{2}(cm^2)$。
解析
【分析】
（1）要推导a、b、c的数量关系可采用等积法：第一种方法直接用梯形面积公式计算，先明确梯形的上底为a、下底为b、高为$a+b$，代入公式即可得到面积表达式；第二种方法将梯形拆分为2个全等的直角三角形和1个等腰直角三角形，分别计算三个三角形的面积再求和。两种方法计算的是同一个梯形的面积，因此结果相等，整理等式即可得到a、b、c的数量关系。
（2）先根据“下底比上底长1cm”得到b与a的关系，再结合梯形的高为$a+b=7cm$，联立即可求出a、b的取值；再利用第一问得到的勾股定理结论，代入等腰直角三角形DEC的面积公式计算即可。
【解析】
（1）方法一：利用梯形面积公式计算
梯形的上底为$a$，下底为$b$，高为$a+b$，则面积为：
$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
方法二：利用三个三角形面积的和计算
梯形由2个直角边为$a、b$的直角三角形和1个直角边为$c$的等腰直角三角形组成，则面积为：
$S=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c·c=ab+\frac{1}{2}c^2$
因为两种方法计算的是同一个梯形的面积，因此：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
展开并整理等式：
$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$
$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
最终得$a^2+b^2=c^2$。
（2）由题意可知，下底$b=a+1$，梯形的高$a+b=7$，将$b=a+1$代入$a+b=7$得：
$a+a+1=7$
解得$a=3$，则$b=3+1=4$。
$△ DEC$是直角边为$c$的等腰直角三角形，面积为$\frac{1}{2}c^2$，结合（1）的结论$c^2=a^2+b^2$得：
$S_{△ DEC}=\frac{1}{2}(a^2+b^2)=\frac{1}{2}×(3^2+4^2)=\frac{25}{2}(cm^2)$
【答案】
(1) $a^2+b^2=c^2$，理由见解析；
(2) $△ DEC$的面积为$\frac{25}{2}cm^2$
【知识点】
勾股定理，面积法，图形面积计算
【点评】
本题通过图形拼接考查等积法的应用，既完成了勾股定理的验证，又结合边长条件求解图形面积，解题核心是找准图形边长的对应关系，利用同一图形面积相等的特点建立等量关系。
【难度系数】
0.7
（1）要推导a、b、c的数量关系可采用等积法：第一种方法直接用梯形面积公式计算，先明确梯形的上底为a、下底为b、高为$a+b$，代入公式即可得到面积表达式；第二种方法将梯形拆分为2个全等的直角三角形和1个等腰直角三角形，分别计算三个三角形的面积再求和。两种方法计算的是同一个梯形的面积，因此结果相等，整理等式即可得到a、b、c的数量关系。
（2）先根据“下底比上底长1cm”得到b与a的关系，再结合梯形的高为$a+b=7cm$，联立即可求出a、b的取值；再利用第一问得到的勾股定理结论，代入等腰直角三角形DEC的面积公式计算即可。
【解析】
（1）方法一：利用梯形面积公式计算
梯形的上底为$a$，下底为$b$，高为$a+b$，则面积为：
$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a+b)^2$
方法二：利用三个三角形面积的和计算
梯形由2个直角边为$a、b$的直角三角形和1个直角边为$c$的等腰直角三角形组成，则面积为：
$S=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c·c=ab+\frac{1}{2}c^2$
因为两种方法计算的是同一个梯形的面积，因此：
$\frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
展开并整理等式：
$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$
$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
最终得$a^2+b^2=c^2$。
（2）由题意可知，下底$b=a+1$，梯形的高$a+b=7$，将$b=a+1$代入$a+b=7$得：
$a+a+1=7$
解得$a=3$，则$b=3+1=4$。
$△ DEC$是直角边为$c$的等腰直角三角形，面积为$\frac{1}{2}c^2$，结合（1）的结论$c^2=a^2+b^2$得：
$S_{△ DEC}=\frac{1}{2}(a^2+b^2)=\frac{1}{2}×(3^2+4^2)=\frac{25}{2}(cm^2)$
【答案】
(1) $a^2+b^2=c^2$，理由见解析；
(2) $△ DEC$的面积为$\frac{25}{2}cm^2$
【知识点】
勾股定理，面积法，图形面积计算
【点评】
本题通过图形拼接考查等积法的应用，既完成了勾股定理的验证，又结合边长条件求解图形面积，解题核心是找准图形边长的对应关系，利用同一图形面积相等的特点建立等量关系。
【难度系数】
0.7
