4. 有这样一个问题：如图8，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，求符合条件的动点P的个数. 小南是这样解决的：

本题可分为三种情况：
（1）以OA为等腰三角形的腰，且以点O为顶角的顶点时，以点O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴的交点有两个；
（2）以OA为等腰三角形的腰，且以点A为顶角的顶点时，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与x轴的交点有一个（除了点O外）；
（3）以OA为等腰三角形的底，作线段OA的垂直平分线与x轴的交点有一个.
所以在x轴上共有4个点，使得以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形.
在解决以上问题时，小南主要运用的数学思想方法是（）.
A. 数形结合思想 B. 分类讨论思想 C. 整体思想 D. 方程思想

4. B

【分析】
要判断解题过程运用的数学思想，首先梳理小南的解题逻辑：等腰三角形的顶角顶点未明确时，存在多种可能的情况，小南将所有情况按“顶角顶点是O、顶角顶点是A、OA为底边”分为三类，逐一分析每种情况对应的P点个数，最后汇总得到结果，结合各选项的思想特征逐一判断即可。
【解析】
首先分析小南的解题过程：要确定使△POA为等腰三角形的动点P的个数，由于等腰三角形的顶角顶点不固定，因此将问题分为三类：
1. 以O为顶角顶点，OA为腰；
2. 以A为顶角顶点，OA为腰；
3. 以OA为底，P为顶角顶点。
对每一类情况分别求解符合条件的P点，再整合得到总个数，这种将复杂问题按照统一标准拆分为多个简单子问题、逐一解决后汇总结果的思想，是分类讨论思想。
其他选项分析：A选项数形结合思想核心是数与形的相互转化，不是本题的核心思想；C选项整体思想是将部分内容作为整体处理，本题未涉及；D选项方程思想是通过列方程求解问题，本题未用到，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
分类讨论思想，等腰三角形的判定，坐标与图形性质
【点评】
本题考查数学思想方法的识别，在解决等腰三角形存在性这类条件不唯一的问题时，通过分类讨论可以保证结果不重不漏，是这类问题常用的解题思路。
【难度系数】
0.8

5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，在直线$AC$或直线$BC$上找点$P$，使$△ PAB$是等腰三角形，则满足条件的点$P$有（）.

A.8个
B.7个
C.6个
D.4个

5. C

【分析】
要解决这个问题，需结合等腰三角形“两边相等”的判定，分三类情况讨论找点，同时注意题目要求是在直线AC或直线BC上找点（不是线段，要考虑延长线的情况）：1. 以AB为底边，即PA=PB，此时点P在AB的垂直平分线上，找垂直平分线与两条直线的交点；2. 以AB为腰、A为顶角顶点，即AB=AP，以A为圆心AB长为半径画圆，找圆与两条直线的交点；3. 以AB为腰、B为顶角顶点，即AB=BP，以B为圆心AB长为半径画圆，找圆与两条直线的交点。最后排除重合的点和无法构成三角形的点（即与A、B重合的点），统计总数即可。
【解析】
我们分三类逐一计数：
1. 当PA=PB时（AB为底边）：作AB的垂直平分线，分别与直线AC、直线BC各交于1个点，共2个符合条件的点。
2. 当AB=AP时（A为顶角顶点）：以A为圆心、AB长为半径画圆，与直线AC交于2个点（分别在线段AC的两侧延长线上），与直线BC交于1个不含B的点，共3个符合条件的点；其中1个点与第一类的点重合（此时△PAB为等边三角形）。
3. 当AB=BP时（B为顶角顶点）：以B为圆心、AB长为半径画圆，与直线BC交于2个不含B的点（分别在线段BC的两侧延长线上），与直线AC交于1个不含A的点，共3个符合条件的点；其中1个点是之前已经计数过的等边三角形的重合点。
排除2个重复的点后，总共有：$2+(3-1)+(3-1)=6$个符合条件的点。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形判定，分类讨论思想，垂直平分线性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型习题，解题时要注意“直线”和“线段”的区别，避免遗漏延长线上的点，同时要注意检查是否存在重合的点，避免重复计数。
【难度系数】
0.4