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10. 计算：
(1)$\sqrt{12}-(π+\sqrt{2})^0+(\dfrac{1}{2})^{-1}+|1-\sqrt{3}|$；
(2)$8\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{6}×2\sqrt{3}+(\sqrt{2}+1)^2$。
(1)$\sqrt{12}-(π+\sqrt{2})^0+(\dfrac{1}{2})^{-1}+|1-\sqrt{3}|$；
(2)$8\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{6}×2\sqrt{3}+(\sqrt{2}+1)^2$。
答案
10. 解:(1)原式$=2\sqrt{3}-1+2+\sqrt{3}-1=3\sqrt{3}.$
(2)原式$=4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}+1=3.$
(2)原式$=4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}+1=3.$
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
(1) 先分别对每一项进行化简：将$\sqrt{12}$化为最简二次根式，根据零指数幂的性质计算$(π+\sqrt{2})^0$，根据负整数指数幂的性质计算$(\dfrac{1}{2})^{-1}$，根据绝对值的代数意义去掉$|1-\sqrt{3}|$的绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
(2) 先分别计算每一项：将$8\sqrt{\dfrac{1}{2}}$化为最简二次根式，按照二次根式的乘法法则计算$\sqrt{6}×2\sqrt{3}$，利用完全平方公式展开$(\sqrt{2}+1)^2$，最后合并同类二次根式和常数项即可得到结果。
【解析】
(1) 分别化简各项：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$(π+\sqrt{2})^0=1$（非零数的0次幂为1），$(\dfrac{1}{2})^{-1}=2$，$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$（$\sqrt{3}＞1$，负数的绝对值是它的相反数）
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{3}-1+2+\sqrt{3}-1\\&=(2\sqrt{3}+\sqrt{3})+(-1+2-1)\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 分别计算各项：
$8\sqrt{\dfrac{1}{2}}=8×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$
$\sqrt{6}×2\sqrt{3}=2×\sqrt{6×3}=2×\sqrt{18}=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}\\&=(4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+2\sqrt{2})+3\\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次根式的运算，零指数幂与负整数指数幂，完全平方公式
【点评】
本题是实数混合运算的常规题型，解题时要注意运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，运算过程中要注意符号的处理，以及二次根式化简、幂运算相关法则的正确运用。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
(1) 先分别对每一项进行化简：将$\sqrt{12}$化为最简二次根式，根据零指数幂的性质计算$(π+\sqrt{2})^0$，根据负整数指数幂的性质计算$(\dfrac{1}{2})^{-1}$，根据绝对值的代数意义去掉$|1-\sqrt{3}|$的绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
(2) 先分别计算每一项：将$8\sqrt{\dfrac{1}{2}}$化为最简二次根式，按照二次根式的乘法法则计算$\sqrt{6}×2\sqrt{3}$，利用完全平方公式展开$(\sqrt{2}+1)^2$，最后合并同类二次根式和常数项即可得到结果。
【解析】
(1) 分别化简各项：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$(π+\sqrt{2})^0=1$（非零数的0次幂为1），$(\dfrac{1}{2})^{-1}=2$，$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$（$\sqrt{3}＞1$，负数的绝对值是它的相反数）
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{3}-1+2+\sqrt{3}-1\\&=(2\sqrt{3}+\sqrt{3})+(-1+2-1)\\&=3\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 分别计算各项：
$8\sqrt{\dfrac{1}{2}}=8×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$
$\sqrt{6}×2\sqrt{3}=2×\sqrt{6×3}=2×\sqrt{18}=2×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}\\&=(4\sqrt{2}-6\sqrt{2}+2\sqrt{2})+3\\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
二次根式的运算，零指数幂与负整数指数幂，完全平方公式
【点评】
本题是实数混合运算的常规题型，解题时要注意运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，运算过程中要注意符号的处理，以及二次根式化简、幂运算相关法则的正确运用。
【难度系数】
0.8
11.先化简，再求值：$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^2-1}$，其中$x=\sqrt{3}+1.$
答案
解:原式$=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}.$
当$x=\sqrt{3}+1$时,原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}+1-1}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
$=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{1}{x-1}.$
当$x=\sqrt{3}+1$时,原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}+1-1}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简分式，首先观察到第二个分式的分母$x^2-1$符合平方差公式特征，先因式分解为$(x+1)(x-1)$，即可确定两个分式的最简公分母为$(x+1)(x-1)$，将第一个分式通分转化为同分母分式，再按照同分母分式加法法则计算，最后约分化为最简分式；第二步将$x=\sqrt{3}+1$代入最简分式，先化简分母，再通过分母有理化得到最终结果。
【解析】
解：先对分母因式分解，得$x^2-1=(x+1)(x-1)$
原式$=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}$
约分得：原式$=\dfrac{1}{x-1}$
当$x=\sqrt{3}+1$时，代入得：
原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}+1-1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1.分式加减运算 2.平方差公式因式分解 3.分母有理化
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，核心考察分式通分、约分的运算规则，以及代入求值后的二次根式运算，解题时需注意通分时分子要随分母同步乘相应的式子，约分要彻底，分母有理化步骤不要遗漏。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简分式，首先观察到第二个分式的分母$x^2-1$符合平方差公式特征，先因式分解为$(x+1)(x-1)$，即可确定两个分式的最简公分母为$(x+1)(x-1)$，将第一个分式通分转化为同分母分式，再按照同分母分式加法法则计算，最后约分化为最简分式；第二步将$x=\sqrt{3}+1$代入最简分式，先化简分母，再通过分母有理化得到最终结果。
【解析】
解：先对分母因式分解，得$x^2-1=(x+1)(x-1)$
原式$=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\dfrac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x+1}{(x+1)(x-1)}$
约分得：原式$=\dfrac{1}{x-1}$
当$x=\sqrt{3}+1$时，代入得：
原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3}+1-1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1.分式加减运算 2.平方差公式因式分解 3.分母有理化
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，核心考察分式通分、约分的运算规则，以及代入求值后的二次根式运算，解题时需注意通分时分子要随分母同步乘相应的式子，约分要彻底，分母有理化步骤不要遗漏。
【难度系数】
0.8
12.已知$a=\sqrt{7}+2$，$b=\sqrt{7}-2$，求下列代数式的值.
(1)$a-b$；
(2)$a^2 - 2ab + b^2$.
(1)$a-b$；
(2)$a^2 - 2ab + b^2$.
答案
12. 解:(1)因为$a=\sqrt{7}+2,b=\sqrt{7}-2$,
所以$a-b=\sqrt{7}+2-(\sqrt{7}-2)=4.$
(2)因为$a-b=4$,
所以$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2=4^2=16.$
所以$a-b=\sqrt{7}+2-(\sqrt{7}-2)=4.$
(2)因为$a-b=4$,
所以$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2=4^2=16.$
解析
【分析】
解题时可结合两个小问的关联简化计算：(1)求$a-b$，直接将$a$、$b$的表达式代入，注意去括号时要变号，再合并同类二次根式即可得到结果；(2)观察代数式$a^2 - 2ab + b^2$的结构，符合完全平方差公式的特征，可先将其因式分解为$(a-b)^2$，直接代入第(1)问的结果计算，比分别计算各项再求值更简便，体现整体代入的思想。
【解析】
(1) 已知$a=\sqrt{7}+2$，$b=\sqrt{7}-2$，代入$a-b$得：
$\begin{aligned}a-b&=(\sqrt{7}+2)-(\sqrt{7}-2)\\&=\sqrt{7}+2-\sqrt{7}+2\\&=4\end{aligned}$
(2) 根据完全平方差公式，$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，
将(1)中得到的$a-b=4$代入得：
$a^2 - 2ab + b^2=4^2=16$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
二次根式的加减运算；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，考查二次根式的运算规则和乘法公式的灵活应用，第二问通过公式变形将待求式转化为已知的$a-b$的形式，用整体代入法简化了计算过程，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.85
解题时可结合两个小问的关联简化计算：(1)求$a-b$，直接将$a$、$b$的表达式代入，注意去括号时要变号，再合并同类二次根式即可得到结果；(2)观察代数式$a^2 - 2ab + b^2$的结构，符合完全平方差公式的特征，可先将其因式分解为$(a-b)^2$，直接代入第(1)问的结果计算，比分别计算各项再求值更简便，体现整体代入的思想。
【解析】
(1) 已知$a=\sqrt{7}+2$，$b=\sqrt{7}-2$，代入$a-b$得：
$\begin{aligned}a-b&=(\sqrt{7}+2)-(\sqrt{7}-2)\\&=\sqrt{7}+2-\sqrt{7}+2\\&=4\end{aligned}$
(2) 根据完全平方差公式，$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，
将(1)中得到的$a-b=4$代入得：
$a^2 - 2ab + b^2=4^2=16$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
二次根式的加减运算；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，考查二次根式的运算规则和乘法公式的灵活应用，第二问通过公式变形将待求式转化为已知的$a-b$的形式，用整体代入法简化了计算过程，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.85
13. (运算能力)阅读材料并解答问题.
已知$a,b$是有理数,并且满足等式$5-\sqrt{3}a=2b+\frac{2}{3}\sqrt{3}-a$,求$a,b$的值.
解:因为$5-\sqrt{3}a=2b+\frac{2}{3}\sqrt{3}-a$,
即$5-\sqrt{3}a=(2b-a)+\frac{2}{3}\sqrt{3}$,
所以$2b-a=5,-a=\frac{2}{3}$,
解得$a=-\frac{2}{3},b=\frac{13}{6}$.
(1)已知$a,b$是有理数,并且满足等式$\sqrt{2}a-(1+\sqrt{2})b=3\sqrt{2}-1$,则$a=$
(2)已知$x,y$是有理数,并且满足等式$\sqrt{5}y+2y-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}x+18$,求$xy$的平方根.
已知$a,b$是有理数,并且满足等式$5-\sqrt{3}a=2b+\frac{2}{3}\sqrt{3}-a$,求$a,b$的值.
解:因为$5-\sqrt{3}a=2b+\frac{2}{3}\sqrt{3}-a$,
即$5-\sqrt{3}a=(2b-a)+\frac{2}{3}\sqrt{3}$,
所以$2b-a=5,-a=\frac{2}{3}$,
解得$a=-\frac{2}{3},b=\frac{13}{6}$.
(1)已知$a,b$是有理数,并且满足等式$\sqrt{2}a-(1+\sqrt{2})b=3\sqrt{2}-1$,则$a=$
4
, $b=$1
.(2)已知$x,y$是有理数,并且满足等式$\sqrt{5}y+2y-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}x+18$,求$xy$的平方根.
答案
13. 解:(1)4 1
(2)因为$\sqrt{5}y+2y-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}x+18$,
所以$(y-3x)\sqrt{5}=18-2y+2\sqrt{5}$,
所以$\begin{cases} y-3x=2,\\ 18-2y=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\dfrac{7}{3},\\ y=9, \end{cases}$
所以$xy=21$,
所以$xy$的平方根为$\pm\sqrt{21}.$
(2)因为$\sqrt{5}y+2y-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}x+18$,
所以$(y-3x)\sqrt{5}=18-2y+2\sqrt{5}$,
所以$\begin{cases} y-3x=2,\\ 18-2y=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\dfrac{7}{3},\\ y=9, \end{cases}$
所以$xy=21$,
所以$xy$的平方根为$\pm\sqrt{21}.$
解析
【分析】
这类题的核心解题思路是利用有理数和无理数的运算性质：因为题目中的未知量都是有理数，无理数与非零有理数相乘仍是无理数，所以等式两边的无理数部分（带开不尽根号的项）的系数必须相等，有理数部分也必须相等，据此列二元一次方程组即可求解未知量。
对于(1)，先将等式整理拆分，合并含$\sqrt{2}$的无理项和有理数项，对应相等列方程求解；对于(2)，同理先整理等式，拆分含$\sqrt{5}$的无理项和有理数项，列方程组求$x、y$，再计算$xy$的平方根，注意平方根有正负两个值。
【解析】
(1) 整理等式$\sqrt{2}a-(1+\sqrt{2})b=3\sqrt{2}-1$：
左边展开得：$\sqrt{2}a - b - \sqrt{2}b = \sqrt{2}(a-b) - b$
等式可改写为：$\sqrt{2}(a-b) - b = 3\sqrt{2} - 1$
因为$a、b$是有理数，所以无理项系数、有理数项分别对应相等，得方程组：
$\begin{cases}a - b = 3\\ -b = -1\end{cases}$
解得$b=1$，代入第一个方程得$a=3+1=4$。
(2) 整理等式$\sqrt{5}y+2y-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}x+18$：
将含$\sqrt{5}$的项移到左边，有理数项移到右边，得：
$\sqrt{5}y - 3\sqrt{5}x - 2\sqrt{5} = 18 - 2y$
提取公因式$\sqrt{5}$得：$\sqrt{5}(y - 3x - 2) = 18 - 2y$
因为$x、y$是有理数，所以左边无理项的系数、右边有理数项分别为0，得方程组：
$\begin{cases}y - 3x - 2 = 0\\18 - 2y = 0\end{cases}$
解第二个方程得$y=9$，把$y=9$代入第一个方程，解得$x=\frac{7}{3}$。
计算得$xy = \frac{7}{3} × 9 = 21$，根据平方根的定义，21的平方根为$\pm\sqrt{21}$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{1}$
(2) $\boxed{\pm\sqrt{21}}$
【知识点】
有理数与无理数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的计算
【点评】
本题的核心技巧是将等式按有理数部分和无理数部分拆分，利用两类数的运算性质列方程组求解，解题时注意平方根的结果有正负两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
这类题的核心解题思路是利用有理数和无理数的运算性质：因为题目中的未知量都是有理数，无理数与非零有理数相乘仍是无理数，所以等式两边的无理数部分（带开不尽根号的项）的系数必须相等，有理数部分也必须相等，据此列二元一次方程组即可求解未知量。
对于(1)，先将等式整理拆分，合并含$\sqrt{2}$的无理项和有理数项，对应相等列方程求解；对于(2)，同理先整理等式，拆分含$\sqrt{5}$的无理项和有理数项，列方程组求$x、y$，再计算$xy$的平方根，注意平方根有正负两个值。
【解析】
(1) 整理等式$\sqrt{2}a-(1+\sqrt{2})b=3\sqrt{2}-1$：
左边展开得：$\sqrt{2}a - b - \sqrt{2}b = \sqrt{2}(a-b) - b$
等式可改写为：$\sqrt{2}(a-b) - b = 3\sqrt{2} - 1$
因为$a、b$是有理数，所以无理项系数、有理数项分别对应相等，得方程组：
$\begin{cases}a - b = 3\\ -b = -1\end{cases}$
解得$b=1$，代入第一个方程得$a=3+1=4$。
(2) 整理等式$\sqrt{5}y+2y-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}x+18$：
将含$\sqrt{5}$的项移到左边，有理数项移到右边，得：
$\sqrt{5}y - 3\sqrt{5}x - 2\sqrt{5} = 18 - 2y$
提取公因式$\sqrt{5}$得：$\sqrt{5}(y - 3x - 2) = 18 - 2y$
因为$x、y$是有理数，所以左边无理项的系数、右边有理数项分别为0，得方程组：
$\begin{cases}y - 3x - 2 = 0\\18 - 2y = 0\end{cases}$
解第二个方程得$y=9$，把$y=9$代入第一个方程，解得$x=\frac{7}{3}$。
计算得$xy = \frac{7}{3} × 9 = 21$，根据平方根的定义，21的平方根为$\pm\sqrt{21}$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{1}$
(2) $\boxed{\pm\sqrt{21}}$
【知识点】
有理数与无理数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的计算
【点评】
本题的核心技巧是将等式按有理数部分和无理数部分拆分，利用两类数的运算性质列方程组求解，解题时注意平方根的结果有正负两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
14. (应用意识)(晋中模拟)发生交通事故后，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是$v=16\sqrt{df}$，其中$v$表示车速(单位：km/h)，$d$表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，$f$表示摩擦系数.在某次交通事故调查中，测得$d=20\ \mathrm{m}$，$f=1.2$，则肇事汽车的车速大约是多少？(结果精确到1 km/h.参考数据：$\sqrt{6}\approx2.45$)
答案
14. 解:因为$d=20,f=1.2$代入$v=16\sqrt{df}$,
所以$v=16×\sqrt{20×1.2}=16×2\sqrt{6}=32\sqrt{6}.$
因为$\sqrt{6}\approx2.45$,
所以$v\approx32×2.45\approx78(\mathrm{km/h}).$
答:肇事汽车的车速大约是78 km/h.
所以$v=16×\sqrt{20×1.2}=16×2\sqrt{6}=32\sqrt{6}.$
因为$\sqrt{6}\approx2.45$,
所以$v\approx32×2.45\approx78(\mathrm{km/h}).$
答:肇事汽车的车速大约是78 km/h.
解析
【分析】
本题给出了计算车速的经验公式，以及d、f的具体数值，解题时首先将已知的d、f代入公式，先计算根号内df的乘积，再对二次根式进行化简，最后结合题目给出的√6的近似值计算v的数值，结果按要求精确到1km/h即可。
【解析】
解：将$d=20$，$f=1.2$代入公式$v=16\sqrt{df}$，得：
$\begin{aligned}v&=16×\sqrt{20×1.2}\\&=16×\sqrt{24}\\&=16×2\sqrt{6}\\&=32\sqrt{6}\end{aligned}$
已知$\sqrt{6}\approx2.45$，代入得：
$v\approx32×2.45=78(\mathrm{km/h})$
【答案】
肇事汽车的车速大约是78 km/h
【知识点】
代数式求值；二次根式化简；近似数计算
【点评】
本题是结合交通场景的实际应用题，考查学生将实际问题转化为数学运算的能力，解题关键是准确代入数值、正确化简二次根式，计算难度较低，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题给出了计算车速的经验公式，以及d、f的具体数值，解题时首先将已知的d、f代入公式，先计算根号内df的乘积，再对二次根式进行化简，最后结合题目给出的√6的近似值计算v的数值，结果按要求精确到1km/h即可。
【解析】
解：将$d=20$，$f=1.2$代入公式$v=16\sqrt{df}$，得：
$\begin{aligned}v&=16×\sqrt{20×1.2}\\&=16×\sqrt{24}\\&=16×2\sqrt{6}\\&=32\sqrt{6}\end{aligned}$
已知$\sqrt{6}\approx2.45$，代入得：
$v\approx32×2.45=78(\mathrm{km/h})$
【答案】
肇事汽车的车速大约是78 km/h
【知识点】
代数式求值；二次根式化简；近似数计算
【点评】
本题是结合交通场景的实际应用题，考查学生将实际问题转化为数学运算的能力，解题关键是准确代入数值、正确化简二次根式，计算难度较低，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
