登录
16.(应用意识)(2025滨州模拟)【问题呈现】
某宾馆有45个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为200元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加20元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少元时,宾馆利润最大?
【模型构建】
(1)选择合适的选项填空.
①房价提高后,每间房利润为x元;
②房价提高后,每间房定价为x元;
③每间房增加x元.
方法一函数模型中的x表示
(2)请把方法二的函数模型补充完整,填在下面的横线上:
【问题解答】
(3)请你从以上三种方法中选择其中一种完整解答本题.
某宾馆有45个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为200元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加20元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少元时,宾馆利润最大?
【模型构建】
(1)选择合适的选项填空.
①房价提高后,每间房利润为x元;
②房价提高后,每间房定价为x元;
③每间房增加x元.
方法一函数模型中的x表示
③
(填序号);方法三函数模型中的x表示②
(填序号).(2)请把方法二的函数模型补充完整,填在下面的横线上:
$y=(200-20+20x)(45-x)$
.【问题解答】
(3)请你从以上三种方法中选择其中一种完整解答本题.
答案
16. (1)③ ②
(2)$y=(200-20+20x)(45-x)$
(3)(答案不唯一)解:设每间房定价增加 $x$ 元,宾馆利润为 $y$ 元,则:
$y=(200-20+x)(45-\dfrac{1}{20}x)=-\dfrac{1}{20}x^2+36x+8100=-\dfrac{1}{20}(x-360)^2+14580$,
∵$-\dfrac{1}{20}＜0$,
∴当 $x=360$,即定价为 $200+360=560$(元)时,$y$ 有最大值,最大值为14580.
答:房价定为560元时,宾馆利润最大.
(2)$y=(200-20+20x)(45-x)$
(3)(答案不唯一)解:设每间房定价增加 $x$ 元,宾馆利润为 $y$ 元,则:
$y=(200-20+x)(45-\dfrac{1}{20}x)=-\dfrac{1}{20}x^2+36x+8100=-\dfrac{1}{20}(x-360)^2+14580$,
∵$-\dfrac{1}{20}＜0$,
∴当 $x=360$,即定价为 $200+360=560$(元)时,$y$ 有最大值,最大值为14580.
答:房价定为560元时,宾馆利润最大.
解析
【分析】
(1)判断x的含义时，结合函数模型各部分的意义分析：方法一的第一个因式$(200-20+x)$是每间房的利润，$200-20$是定价200元时每间的利润，加x说明x是每间房增加的金额，对应③；方法三的第一个因式$(x-20)$是每间房利润，说明x是提高后每间房的定价，对应②。
(2)方法二设定价增加$20x$元，那么每间房利润为原价200元减成本20元再加增加的$20x$元，即$(200-20+20x)$元；每增加20元空闲1间，增加$20x$元就空闲x间，所以入住房间数是$(45-x)$间，根据“总利润=每间利润×入住房间数”即可写出函数式。
(3)选择任意一种方法，将二次函数整理为顶点式，根据二次函数开口方向求最大值，再换算出对应的房价即可。
【解析】
(1) 方法一中x对应每间房增加的金额，选③；方法三中x对应房价提高后每间房的定价，选②。
(2) 每间房定价增加$20x$元时，每间利润为$(200-20+20x)$元，入住房间数为$(45-x)$间，因此利润$y=(200-20+20x)(45-x)$。
(3) 选择方法一解答：
设每间房定价增加x元，宾馆利润为y元，根据题意得：
$\begin{aligned}y&=(200-20+x)(45-\frac{1}{20}x)\\&=-\frac{1}{20}x^2+36x+8100\\&=-\frac{1}{20}(x-360)^2+14580\end{aligned}$
$\because -\frac{1}{20}＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$ 当$x=360$时，y取得最大值。
此时房价为$200+360=560$元。
【答案】
(1) ③；②
(2) $y=(200-20+20x)(45-x)$
(3) 房价定为560元时，宾馆利润最大。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售利润类二次函数应用题，解题核心是理清“单间利润”“销售数量”“总利润”三者的等量关系，要熟练掌握将二次函数一般式转化为顶点式求最值的方法，计算时注意系数的准确性。
【难度系数】
0.65
(1)判断x的含义时，结合函数模型各部分的意义分析：方法一的第一个因式$(200-20+x)$是每间房的利润，$200-20$是定价200元时每间的利润，加x说明x是每间房增加的金额，对应③；方法三的第一个因式$(x-20)$是每间房利润，说明x是提高后每间房的定价，对应②。
(2)方法二设定价增加$20x$元，那么每间房利润为原价200元减成本20元再加增加的$20x$元，即$(200-20+20x)$元；每增加20元空闲1间，增加$20x$元就空闲x间，所以入住房间数是$(45-x)$间，根据“总利润=每间利润×入住房间数”即可写出函数式。
(3)选择任意一种方法，将二次函数整理为顶点式，根据二次函数开口方向求最大值，再换算出对应的房价即可。
【解析】
(1) 方法一中x对应每间房增加的金额，选③；方法三中x对应房价提高后每间房的定价，选②。
(2) 每间房定价增加$20x$元时，每间利润为$(200-20+20x)$元，入住房间数为$(45-x)$间，因此利润$y=(200-20+20x)(45-x)$。
(3) 选择方法一解答：
设每间房定价增加x元，宾馆利润为y元，根据题意得：
$\begin{aligned}y&=(200-20+x)(45-\frac{1}{20}x)\\&=-\frac{1}{20}x^2+36x+8100\\&=-\frac{1}{20}(x-360)^2+14580\end{aligned}$
$\because -\frac{1}{20}＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$ 当$x=360$时，y取得最大值。
此时房价为$200+360=560$元。
【答案】
(1) ③；②
(2) $y=(200-20+20x)(45-x)$
(3) 房价定为560元时，宾馆利润最大。
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售利润类二次函数应用题，解题核心是理清“单间利润”“销售数量”“总利润”三者的等量关系，要熟练掌握将二次函数一般式转化为顶点式求最值的方法，计算时注意系数的准确性。
【难度系数】
0.65
