11.综合与实践.
【问题情境】求方程$x^2+12x-15=0$的解，就是求二次函数$y=x^2+12x-15$的图象与$x$轴交点的横坐标.为了估计这个方程的解，小亮取了自变量$x$的4个值，再分别算出相应的$y$值，列表，得下表：

小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为$x$，即$1＜x＜2$.进一步取值，得到下表：

得出结论：$1.1＜x＜1.2$.
【操作判断】(1)若方程$ax^2+bx+c=0(a＜0)$在实数范围内有两个解$x_1,x_2$（其中$x_1＜x_2$），根据下列表格，你能得出（填“$x_1$”或“$x_2$”）的大致范围.请你写出这个解的取值范围：.

【实践探究】已知二次函数$y=x^2-(3+n)x+3n+4$的图象与$x$轴交于$A,B$两点（点$A$在点$B$左侧）.
(2)若其中一个交点的横坐标$x$满足$5＜x＜6$，求出$n$的取值范围.
(3)不论$n$为何值，二次函数$y=x^2-(3+n)x+3n+4$必过定点$E$.
①求$E$点的坐标；
②连接$AE,BE$，若$∠ AEB=45°$，请求出$n$的值.

11.(1)$x_1$ $1.5＜x_1＜2$
(2)解:当 $x=5$ 时,$y=-2n+14$;
当 $x=6$ 时,$y=-3n+22$.
$\because$ 仅有一个交点的横坐标 $x$ 满足 $5＜x＜6$,
$\therefore \begin{cases} -2n+14＜0, \\ -3n+22＞0, \end{cases}$ ①
或 $\begin{cases} -2n+14＞0, \\ -3n+22＜0, \end{cases}$ ②
解①得 $7＜n＜\dfrac{22}{3}$,解②得无解.
综上所述,$n$ 的取值范围为 $7＜n＜\dfrac{22}{3}$.
(3)①将函数变形为 $y=-(x-3)n +x^2-3x+4$,
由上式可知,当 $x=3$ 时,不论 $n$ 取何值,$y$ 恒等于 4,
故 $E$ 点的坐标为 $(3,4)$.
②如图 1,过点 $A$ 作 $AD⊥ AE$,交 $BE$ 于点 $D$,由 $∠ AEB=45°$ 可得 $△ AED$ 为等腰直角三角形.分别过点 $E,D$ 向 $x$ 轴引垂线,垂足分别为 $H,F$,

$\therefore ∠ EHA = ∠ AFD$, $∠ AEH = ∠ DAF=90°-∠ EAH$,$AE=DA$,
$\therefore △ EHA≌△ AFD(\mathrm{AAS})$.
设 $A(x_1,0),B(x_2,0)$,
由题意可知 $x_1＜x_2$.
$\because E(3,4),\therefore EH=AF=4,HA=FD=x_1-3,BF=x_2-x_1-4,BH=x_2-3$.
$\because ∠ DBF = ∠ EBH$, $∠ DFB = ∠ EHB$,$\therefore △ BDF∽△ BEH$.
$\therefore \dfrac{DF}{EH}=\dfrac{BF}{BH}$,即 $\dfrac{x_1-3}{4}=\dfrac{x_2-x_1-4}{x_2-3}$,
整理得 $4(x_2-x_1)=x_1· x_2-3(x_1+x_2)+25.(\bigstar)$
对于函数 $y=x^2-(3+n)x+3n+4$,
令 $y=0$,得到方程 $x^2-(3+n)x+3n+4=0$,
方程的判别式 $\Delta=(n+3)^2-4(3n+4)=n^2-6n-7$,
据题意,$\Delta＞0$,由求根公式得 $x_1=\dfrac{n+3-\sqrt{n^2-6n-7}}{2}$,
$x_2=\dfrac{n+3+\sqrt{n^2-6n-7}}{2}$,
代入$(\bigstar)$式,得 $n^2-6n-32=0$,
解得 $n=3\pm\sqrt{41}$,此时满足 $\Delta＞0$.
其中,当 $n=3-\sqrt{41}$ 时,情况如图 2.

故 $n=3\pm\sqrt{41}$.