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6.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边三角形ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于( 
).
A.$π$
B.$3π$
C.$2π$
D.$2π-\sqrt{3}$
).A.$π$
B.$3π$
C.$2π$
D.$2π-\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
要求莱洛三角形的周长，首先观察可知它的周长由三段等长的圆弧组成。我们需要先确定每段圆弧的圆心角和半径：因为圆弧是以等边三角形的顶点为圆心、边长为半径画的，所以圆弧的半径等于等边三角形的边长，圆心角等于等边三角形的内角。再结合弧长公式算出单段弧长，乘3即可得到总周长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为3
∴等边三角形的内角均为60°，即每段圆弧的圆心角$n=60°$，圆弧半径$r=3$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得单段圆弧的长度为：
$l_1=\frac{60π×3}{180}=π$
莱洛三角形共有3段等长的圆弧，因此总周长为：
$L=3l_1=3×π=3π$
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，等边三角形性质，组合图形周长计算
【点评】
本题结合新定义图形考查基础的周长计算，解题核心是将不规则图形的周长转化为已知的弧长之和，只要找准每段弧的圆心角和半径即可轻松求解，注意不要和面积计算混淆。
【难度系数】
0.7
要求莱洛三角形的周长，首先观察可知它的周长由三段等长的圆弧组成。我们需要先确定每段圆弧的圆心角和半径：因为圆弧是以等边三角形的顶点为圆心、边长为半径画的，所以圆弧的半径等于等边三角形的边长，圆心角等于等边三角形的内角。再结合弧长公式算出单段弧长，乘3即可得到总周长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为3
∴等边三角形的内角均为60°，即每段圆弧的圆心角$n=60°$，圆弧半径$r=3$
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，可得单段圆弧的长度为：
$l_1=\frac{60π×3}{180}=π$
莱洛三角形共有3段等长的圆弧，因此总周长为：
$L=3l_1=3×π=3π$
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，等边三角形性质，组合图形周长计算
【点评】
本题结合新定义图形考查基础的周长计算，解题核心是将不规则图形的周长转化为已知的弧长之和，只要找准每段弧的圆心角和半径即可轻松求解，注意不要和面积计算混淆。
【难度系数】
0.7
7.如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是
$16-4π$
（结果保留π）。答案
7. $16-4π$
解析
【分析】
求解不规则阴影部分的面积，可采用割补法转化为规则图形的面积差计算。观察图形可知，阴影部分位于正方形内部，其余部分是4个圆心分别为正方形顶点的扇形：每个扇形的圆心角等于正方形内角90°，半径均为2，4个扇形的圆心角总和为4×90°=360°，恰好可以拼接成1个完整的圆，因此阴影面积=正方形面积 - 4个扇形的面积和=正方形面积 - 整圆的面积，代入数据计算即可。
【解析】
解：首先计算正方形ABCD的面积：
正方形边长为4，因此$S_{正方形}=4×4=16$。
再计算4个扇形的总面积：
每个扇形圆心角为90°，半径$r=2$，4个扇形的圆心角之和为$4×90°=360°$，即4个扇形的面积和等于半径为2的圆的面积：
$S_{圆}=π r^2=π×2^2=4π$。
因此阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{圆}=16-4π$。
【答案】
$16-4π$
【知识点】
正方形面积计算、扇形面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题是组合图形面积计算的常见题型，解题核心是通过观察图形特征，将分散的扇形拼接为完整的圆，把不规则阴影面积转化为两个规则图形的面积差，大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.7
求解不规则阴影部分的面积，可采用割补法转化为规则图形的面积差计算。观察图形可知，阴影部分位于正方形内部，其余部分是4个圆心分别为正方形顶点的扇形：每个扇形的圆心角等于正方形内角90°，半径均为2，4个扇形的圆心角总和为4×90°=360°，恰好可以拼接成1个完整的圆，因此阴影面积=正方形面积 - 4个扇形的面积和=正方形面积 - 整圆的面积，代入数据计算即可。
【解析】
解：首先计算正方形ABCD的面积：
正方形边长为4，因此$S_{正方形}=4×4=16$。
再计算4个扇形的总面积：
每个扇形圆心角为90°，半径$r=2$，4个扇形的圆心角之和为$4×90°=360°$，即4个扇形的面积和等于半径为2的圆的面积：
$S_{圆}=π r^2=π×2^2=4π$。
因此阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{圆}=16-4π$。
【答案】
$16-4π$
【知识点】
正方形面积计算、扇形面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题是组合图形面积计算的常见题型，解题核心是通过观察图形特征，将分散的扇形拼接为完整的圆，把不规则阴影面积转化为两个规则图形的面积差，大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.7
8.如图，$\odot O$是边长为$4\sqrt{3}$的等边三角形ABC的外接圆，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD为半径在$\odot O$内画弧，则阴影部分的面积为（
A.$\frac{8π}{3}$
B.$4π$
C.$\frac{16π}{3}$
D.$16π$
C
）.A.$\frac{8π}{3}$
B.$4π$
C.$\frac{16π}{3}$
D.$16π$
答案
8. C
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，首先观察图形特征：阴影部分恰好是以D为圆心、BD为半径的扇形DBC的面积。解题思路如下：第一步，先根据等边三角形的边长求出其外接圆半径；第二步，结合圆内接四边形的性质求出扇形的圆心角∠BDC的度数；第三步，根据弧中点的性质求出半径BD的长度；最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求等边△ABC的外接圆半径：
等边三角形的高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{3}=6$，其外接圆半径为高的$\frac{2}{3}$，即$R=6×\frac{2}{3}=4$。
2. 求∠BDC的度数：
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，等边△ABC中∠BAC=60°，
∴∠BDC=180°-∠BAC=120°。
3. 求BD的长度：
∵D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，则BD=CD，$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角为120°。
在△BOD中，OB=OD=4，∠BOD=120°，由弦长公式得：
$BD=2R\sin\frac{∠BOD}{2}=2×4×\sin60°=4\sqrt{3}$。
4. 计算阴影部分面积：
阴影部分为扇形DBC，扇形面积公式为$S=\frac{nπr^2}{360}$，其中圆心角$n=120°$，半径$r=BD=4\sqrt{3}$，代入得：
$S=\frac{120π×(4\sqrt{3})^2}{360}=\frac{120π×48}{360}=\frac{16π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算、等边三角形性质、圆周角相关定理
【点评】
本题为不规则图形面积计算的典型题，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则扇形的面积，再结合圆和等边三角形的相关性质求解即可，解题时注意找准扇形的圆心角和半径。
【难度系数】
0.65
要计算阴影部分的面积，首先观察图形特征：阴影部分恰好是以D为圆心、BD为半径的扇形DBC的面积。解题思路如下：第一步，先根据等边三角形的边长求出其外接圆半径；第二步，结合圆内接四边形的性质求出扇形的圆心角∠BDC的度数；第三步，根据弧中点的性质求出半径BD的长度；最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求等边△ABC的外接圆半径：
等边三角形的高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{3}=6$，其外接圆半径为高的$\frac{2}{3}$，即$R=6×\frac{2}{3}=4$。
2. 求∠BDC的度数：
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，等边△ABC中∠BAC=60°，
∴∠BDC=180°-∠BAC=120°。
3. 求BD的长度：
∵D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，则BD=CD，$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角为120°。
在△BOD中，OB=OD=4，∠BOD=120°，由弦长公式得：
$BD=2R\sin\frac{∠BOD}{2}=2×4×\sin60°=4\sqrt{3}$。
4. 计算阴影部分面积：
阴影部分为扇形DBC，扇形面积公式为$S=\frac{nπr^2}{360}$，其中圆心角$n=120°$，半径$r=BD=4\sqrt{3}$，代入得：
$S=\frac{120π×(4\sqrt{3})^2}{360}=\frac{120π×48}{360}=\frac{16π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算、等边三角形性质、圆周角相关定理
【点评】
本题为不规则图形面积计算的典型题，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则扇形的面积，再结合圆和等边三角形的相关性质求解即可，解题时注意找准扇形的圆心角和半径。
【难度系数】
0.65
9.如图,一根5 m长的绳子,一端拴在围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动),那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是(
A.$\frac{17}{12}π\ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{77}{12}π\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{25}{4}π\ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{17}{6}π\ \mathrm{m}^2$
B
).A.$\frac{17}{12}π\ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{77}{12}π\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{25}{4}π\ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{17}{6}π\ \mathrm{m}^2$
答案
9. B
解析
【分析】
解题时首先要明确小羊的活动区域由两部分扇形组成：①以墙角柱子为圆心、绳长5m为半径的大扇形，受两堵垂直围墙的阻挡，该扇形可活动的圆心角为90°，这是小羊未碰到上方竖直墙时的活动范围；②当绳子绕到竖直墙顶端后，剩余绳长为5-4=1m，此时小羊能绕墙顶端活动，斜墙与竖直墙的夹角为120°，因此这部分小扇形的圆心角为180°-120°=60°。分别计算两个扇形的面积再求和即可得到总活动面积。
【解析】
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）分步计算：
1. 计算大扇形面积：
大扇形半径$r_1=5\mathrm{m}$，圆心角$n_1=90°$
$S_1=\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25π}{4}\ \mathrm{m}^2$
2. 计算小扇形面积：
剩余绳长$r_2=5-4=1\mathrm{m}$，圆心角$n_2=180°-120°=60°$
$S_2=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}\ \mathrm{m}^2$
3. 总活动面积：
$S=S_1+S_2=\frac{25π}{4}+\frac{π}{6}=\frac{75π+2π}{12}=\frac{77π}{12}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，图形分割求和
【点评】
本题属于扇形面积的实际应用问题，核心是准确拆分活动区域、正确判断两个扇形的半径和对应圆心角，易错点是容易漏算绕墙顶的小扇形面积，或错算小扇形的圆心角度数。
【难度系数】
0.65
解题时首先要明确小羊的活动区域由两部分扇形组成：①以墙角柱子为圆心、绳长5m为半径的大扇形，受两堵垂直围墙的阻挡，该扇形可活动的圆心角为90°，这是小羊未碰到上方竖直墙时的活动范围；②当绳子绕到竖直墙顶端后，剩余绳长为5-4=1m，此时小羊能绕墙顶端活动，斜墙与竖直墙的夹角为120°，因此这部分小扇形的圆心角为180°-120°=60°。分别计算两个扇形的面积再求和即可得到总活动面积。
【解析】
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）分步计算：
1. 计算大扇形面积：
大扇形半径$r_1=5\mathrm{m}$，圆心角$n_1=90°$
$S_1=\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25π}{4}\ \mathrm{m}^2$
2. 计算小扇形面积：
剩余绳长$r_2=5-4=1\mathrm{m}$，圆心角$n_2=180°-120°=60°$
$S_2=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}\ \mathrm{m}^2$
3. 总活动面积：
$S=S_1+S_2=\frac{25π}{4}+\frac{π}{6}=\frac{75π+2π}{12}=\frac{77π}{12}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，图形分割求和
【点评】
本题属于扇形面积的实际应用问题，核心是准确拆分活动区域、正确判断两个扇形的半径和对应圆心角，易错点是容易漏算绕墙顶的小扇形面积，或错算小扇形的圆心角度数。
【难度系数】
0.65
10.如图，已知$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{CD}$的长的差为$4π$，$∠ AOB=120°$，则AC的长为
$6$
。答案
10. 6
解析
【分析】
首先观察图形可知，AC是大扇形OAB的半径OA与小扇形OCD的半径OC的差，因此我们可以设OA=R，OC=r，目标是求出R-r的值。已知两段弧的圆心角均为120°，可根据弧长公式分别表示出$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$的长度，再结合两段弧长的差为4π建立等式，化简后即可求出R-r也就是AC的长度。
【解析】
设大扇形OAB的半径$OA=R$，小扇形OCD的半径$OC=r$，则$AC=R-r$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为半径）：
$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120π R}{180}=\frac{2π R}{3}$，
$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{120π r}{180}=\frac{2π r}{3}$，
由题意得$\frac{2π R}{3}-\frac{2π r}{3}=4π$，
提取公因式得$\frac{2π}{3}(R-r)=4π$，
两边同时除以$π$得$\frac{2}{3}(R-r)=4$，
解得$R-r=4×\frac{3}{2}=6$，即$AC=6$。
【答案】
6
【知识点】
弧长计算，代数式化简
【点评】
本题解题核心是明确AC为两个扇形的半径差，结合弧长公式利用已知的弧长差建立等式即可求解，属于基础类计算题，熟练掌握弧长公式就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知，AC是大扇形OAB的半径OA与小扇形OCD的半径OC的差，因此我们可以设OA=R，OC=r，目标是求出R-r的值。已知两段弧的圆心角均为120°，可根据弧长公式分别表示出$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$的长度，再结合两段弧长的差为4π建立等式，化简后即可求出R-r也就是AC的长度。
【解析】
设大扇形OAB的半径$OA=R$，小扇形OCD的半径$OC=r$，则$AC=R-r$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数，$R$为半径）：
$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120π R}{180}=\frac{2π R}{3}$，
$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{120π r}{180}=\frac{2π r}{3}$，
由题意得$\frac{2π R}{3}-\frac{2π r}{3}=4π$，
提取公因式得$\frac{2π}{3}(R-r)=4π$，
两边同时除以$π$得$\frac{2}{3}(R-r)=4$，
解得$R-r=4×\frac{3}{2}=6$，即$AC=6$。
【答案】
6
【知识点】
弧长计算，代数式化简
【点评】
本题解题核心是明确AC为两个扇形的半径差，结合弧长公式利用已知的弧长差建立等式即可求解，属于基础类计算题，熟练掌握弧长公式就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
11.物理实验课上，同学们分组研究定滑轮时，小颖发现：重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变.已知滑轮的半径为12 cm，当重物上升4π cm时，滑轮上点A转过的度数为
$60$
°.答案
11. 60
解析
【分析】
首先明确定滑轮工作时不打滑，因此重物上升的距离等于滑轮边缘转过的弧长。要求点A转过的度数，可利用弧长公式，将已知的弧长、半径代入公式，即可求出对应圆心角的度数，也就是点A转过的度数。解题步骤为：先确定弧长的数值，再代入弧长公式列方程，最后解方程得到角度。
【解析】
解：
∵ 定滑轮不打滑，重物上升4π cm，
∴ 滑轮上点A转过的对应弧长 $ l = 4π \, \mathrm{cm} $，
已知滑轮半径 $ r = 12 \, \mathrm{cm} $，设点A转过的度数为 $ n° $，
根据弧长公式 $ l = \frac{nπ r}{180} $，代入数值得：
$ 4π = \frac{nπ × 12}{180} $
两边同时约去 $ π $，化简得：
$ 4 = \frac{12n}{180} $
解得 $ n = 60 $。
【答案】
60
【知识点】
弧长计算，定滑轮特点
【点评】
本题属于跨学科基础应用题，解题关键是建立重物上升高度与滑轮转过弧长的等量关系，再代入弧长公式求解即可，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确定滑轮工作时不打滑，因此重物上升的距离等于滑轮边缘转过的弧长。要求点A转过的度数，可利用弧长公式，将已知的弧长、半径代入公式，即可求出对应圆心角的度数，也就是点A转过的度数。解题步骤为：先确定弧长的数值，再代入弧长公式列方程，最后解方程得到角度。
【解析】
解：
∵ 定滑轮不打滑，重物上升4π cm，
∴ 滑轮上点A转过的对应弧长 $ l = 4π \, \mathrm{cm} $，
已知滑轮半径 $ r = 12 \, \mathrm{cm} $，设点A转过的度数为 $ n° $，
根据弧长公式 $ l = \frac{nπ r}{180} $，代入数值得：
$ 4π = \frac{nπ × 12}{180} $
两边同时约去 $ π $，化简得：
$ 4 = \frac{12n}{180} $
解得 $ n = 60 $。
【答案】
60
【知识点】
弧长计算，定滑轮特点
【点评】
本题属于跨学科基础应用题，解题关键是建立重物上升高度与滑轮转过弧长的等量关系，再代入弧长公式求解即可，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
