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三、解答题
10.解方程组及不等式组：
(1)$\begin{cases}2x - 3y = 9, \\x + 2y = 8;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x - 1 ＜ 3(x + 1), \\\dfrac{2x - 1}{3} - 1 ≤ \dfrac{5x + 1}{2}.\end{cases}$
10.解方程组及不等式组：
(1)$\begin{cases}2x - 3y = 9, \\x + 2y = 8;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}5x - 1 ＜ 3(x + 1), \\\dfrac{2x - 1}{3} - 1 ≤ \dfrac{5x + 1}{2}.\end{cases}$
答案
10.(1)$\begin{cases} x=6, \\ y=1 \end{cases}$;(2)$-1≤ x＜2.$
解析
【分析】
(1)该题为二元一次方程组求解，可采用代入消元法：先从系数较简单的第二个方程中用含y的代数式表示x，再代入第一个方程消去x，解出y的值后回代求x即可，也可采用加减消元法计算。
(2)该题为一元一次不等式组求解，需先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分即为不等式组的解集，解不等式时注意去分母不要漏乘常数项，系数化为1时若系数为负要改变不等号方向。
【解析】
(1)给方程组标号：$\begin{cases}2x - 3y = 9 \ \ \ ①, \\x + 2y = 8 \ \ \ \ \ ②;\end{cases}$
由②得：$x=8-2y$ ③，
将③代入①得：$2(8-2y)-3y=9$，
去括号得：$16-4y-3y=9$，
合并同类项得：$16-7y=9$，
移项计算得：$-7y=-7$，解得$y=1$，
将$y=1$代入③得：$x=8-2×1=6$，
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=6, \\ y=1 \end{cases}$。
(2)给不等式组标号：$\begin{cases}5x - 1 ＜ 3(x + 1) \ \ \ ①, \\\dfrac{2x - 1}{3} - 1 ≤ \dfrac{5x + 1}{2} \ \ \ ②;\end{cases}$
解不等式①：
去括号得：$5x-1＜3x+3$，
移项得：$5x-3x＜3+1$，
合并同类项得：$2x＜4$，
系数化为1得：$x＜2$。
解不等式②：
两边同时乘6去分母得：$2(2x-1)-6≤3(5x+1)$，
去括号得：$4x-2-6≤15x+3$，
合并同类项得：$4x-8≤15x+3$，
移项得：$4x-15x≤3+8$，
合并同类项得：$-11x≤11$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≥-1$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$-1≤x＜2$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=6, \\ y=1 \end{cases}$；(2)$-1≤ x＜2$
【知识点】
二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解集
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考察消元法解二元一次方程组和一元一次不等式组的求解步骤，解题时要注意计算细节：解不等式去分母时不要漏乘不含分母的项，系数为负时要注意改变不等号的方向，熟练掌握运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
(1)该题为二元一次方程组求解，可采用代入消元法：先从系数较简单的第二个方程中用含y的代数式表示x，再代入第一个方程消去x，解出y的值后回代求x即可，也可采用加减消元法计算。
(2)该题为一元一次不等式组求解，需先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分即为不等式组的解集，解不等式时注意去分母不要漏乘常数项，系数化为1时若系数为负要改变不等号方向。
【解析】
(1)给方程组标号：$\begin{cases}2x - 3y = 9 \ \ \ ①, \\x + 2y = 8 \ \ \ \ \ ②;\end{cases}$
由②得：$x=8-2y$ ③，
将③代入①得：$2(8-2y)-3y=9$，
去括号得：$16-4y-3y=9$，
合并同类项得：$16-7y=9$，
移项计算得：$-7y=-7$，解得$y=1$，
将$y=1$代入③得：$x=8-2×1=6$，
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=6, \\ y=1 \end{cases}$。
(2)给不等式组标号：$\begin{cases}5x - 1 ＜ 3(x + 1) \ \ \ ①, \\\dfrac{2x - 1}{3} - 1 ≤ \dfrac{5x + 1}{2} \ \ \ ②;\end{cases}$
解不等式①：
去括号得：$5x-1＜3x+3$，
移项得：$5x-3x＜3+1$，
合并同类项得：$2x＜4$，
系数化为1得：$x＜2$。
解不等式②：
两边同时乘6去分母得：$2(2x-1)-6≤3(5x+1)$，
去括号得：$4x-2-6≤15x+3$，
合并同类项得：$4x-8≤15x+3$，
移项得：$4x-15x≤3+8$，
合并同类项得：$-11x≤11$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≥-1$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$-1≤x＜2$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=6, \\ y=1 \end{cases}$；(2)$-1≤ x＜2$
【知识点】
二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解集
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考察消元法解二元一次方程组和一元一次不等式组的求解步骤，解题时要注意计算细节：解不等式去分母时不要漏乘不含分母的项，系数为负时要注意改变不等号的方向，熟练掌握运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
11.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点$A(a,b),B(c,d)$,若点$T(x,y)$满足$x=\frac{a+c}{3},y=\frac{b+d}{3}$,那么称点$T$是点$A$和$B$的衍生点.
例如:$M(-2,5),N(8,-2)$,则点$T(2,1)$是点$M$和$N$的衍生点,
已知点$D(3,0)$,点$E(m,m+2)$,点$T(x,y)$是点$D$和$E$的衍生点.
(1)若点$E(4,6)$,则点$T$的坐标为.
(2)请直接写出点$T$的坐标(用$m$表示);
(3)若直线$ET$交$x$轴于点$H$,当$∠DHT=90°$时,求点$E$的坐标.
例如:$M(-2,5),N(8,-2)$,则点$T(2,1)$是点$M$和$N$的衍生点,
已知点$D(3,0)$,点$E(m,m+2)$,点$T(x,y)$是点$D$和$E$的衍生点.
(1)若点$E(4,6)$,则点$T$的坐标为.
(2)请直接写出点$T$的坐标(用$m$表示);
(3)若直线$ET$交$x$轴于点$H$,当$∠DHT=90°$时,求点$E$的坐标.
答案
11.解:(1)$(\dfrac{7}{3},2)$;
(2)$T$的横坐标为:$\dfrac{3+m}{3}$,
$T$的纵坐标为:$\dfrac{m+2}{3}$,
所以$T$的坐标为:$(\dfrac{3+m}{3},\dfrac{m+2}{3})$;
(3)因为$∠ DHT=90°$,
所以点$E$与点$T$的横坐标相同.
所以$\dfrac{3+m}{3}=m$,
$\therefore m=\dfrac{3}{2}$,$m+2=\dfrac{7}{2}$.
$\therefore E$点坐标为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{2})$.
解析
【分析】
(1) 首先明确衍生点的计算公式，已知点D和点E的坐标，直接将对应横、纵坐标代入$x=\frac{a+c}{3},y=\frac{b+d}{3}$计算，即可得到点T的坐标；
(2) 将点D的坐标(3,0)和点E的坐标(m,m+2)代入衍生点的坐标公式，分别计算横坐标和纵坐标，用含m的代数式表示即可；
(3) 由$∠ DHT=90°$、H在x轴上，可知直线TH垂直于x轴，即直线ET是平行于y轴的竖直线，而平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，因此点E和点T的横坐标相等，列方程求解m的值，即可得到点E的坐标。
【解析】
(1) 已知D(3,0)，E(4,6)，根据衍生点的定义：
横坐标$x=\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}$，纵坐标$y=\frac{0+6}{3}=2$，因此点T的坐标为$(\frac{7}{3},2)$；
(2) 已知D(3,0)，E(m,m+2)，代入衍生点公式：
横坐标$x=\frac{3+m}{3}$，纵坐标$y=\frac{0+(m+2)}{3}=\frac{m+2}{3}$，因此点T的坐标为$(\frac{3+m}{3},\frac{m+2}{3})$；
(3) $\because ∠ DHT=90°$，且点H在x轴上，
$\therefore TH⊥ x$轴，即直线ET平行于y轴，
$\therefore$ 点E和点T的横坐标相等，可得方程：
$\frac{3+m}{3}=m$
去分母得：$3+m=3m$
移项合并得：$2m=3$
解得：$m=\frac{3}{2}$
$\therefore m+2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$
$\therefore$ 点E的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(\dfrac{7}{3},2)}$
(2) $\boldsymbol{(\dfrac{3+m}{3},\dfrac{m+2}{3})}$
(3) $\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{2})}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 点的坐标特征
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题以新定义“衍生点”为背景，考查平面直角坐标系的相关性质，解题核心是准确理解新定义的运算规则，能将直角的几何条件转化为点坐标的数量关系，注重考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确衍生点的计算公式，已知点D和点E的坐标，直接将对应横、纵坐标代入$x=\frac{a+c}{3},y=\frac{b+d}{3}$计算，即可得到点T的坐标；
(2) 将点D的坐标(3,0)和点E的坐标(m,m+2)代入衍生点的坐标公式，分别计算横坐标和纵坐标，用含m的代数式表示即可；
(3) 由$∠ DHT=90°$、H在x轴上，可知直线TH垂直于x轴，即直线ET是平行于y轴的竖直线，而平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，因此点E和点T的横坐标相等，列方程求解m的值，即可得到点E的坐标。
【解析】
(1) 已知D(3,0)，E(4,6)，根据衍生点的定义：
横坐标$x=\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}$，纵坐标$y=\frac{0+6}{3}=2$，因此点T的坐标为$(\frac{7}{3},2)$；
(2) 已知D(3,0)，E(m,m+2)，代入衍生点公式：
横坐标$x=\frac{3+m}{3}$，纵坐标$y=\frac{0+(m+2)}{3}=\frac{m+2}{3}$，因此点T的坐标为$(\frac{3+m}{3},\frac{m+2}{3})$；
(3) $\because ∠ DHT=90°$，且点H在x轴上，
$\therefore TH⊥ x$轴，即直线ET平行于y轴，
$\therefore$ 点E和点T的横坐标相等，可得方程：
$\frac{3+m}{3}=m$
去分母得：$3+m=3m$
移项合并得：$2m=3$
解得：$m=\frac{3}{2}$
$\therefore m+2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$
$\therefore$ 点E的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(\dfrac{7}{3},2)}$
(2) $\boldsymbol{(\dfrac{3+m}{3},\dfrac{m+2}{3})}$
(3) $\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{2})}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 点的坐标特征
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题以新定义“衍生点”为背景，考查平面直角坐标系的相关性质，解题核心是准确理解新定义的运算规则，能将直角的几何条件转化为点坐标的数量关系，注重考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
12.如图,已知AB//CD,点E,F分别在直线AB,CD上,点G在AB和CD之间.
【初步理解】
(1)如图 1,若∠BEF=60°,FG是∠EFC的平分线,求∠GFC的度数;
【变式思考】
(2)如图 2,连接EG,GF,求证:∠BEG+∠EGF+∠GFD=360°;
【深入探究】
(3)如图 3,连接EG,GF,若∠AEG=60°,∠GFC=40°,∠AEG和∠GFC的平分线交于点P,求∠P的度数.
【初步理解】
(1)如图 1,若∠BEF=60°,FG是∠EFC的平分线,求∠GFC的度数;
【变式思考】
(2)如图 2,连接EG,GF,求证:∠BEG+∠EGF+∠GFD=360°;
【深入探究】
(3)如图 3,连接EG,GF,若∠AEG=60°,∠GFC=40°,∠AEG和∠GFC的平分线交于点P,求∠P的度数.
答案
12.(1)解:$\because AB// CD$,$∠ BEF=60°$,
$\therefore ∠ EFC=∠ BEF=60°$,
$\because FG$是$∠ EFC$的平分线,
$\therefore ∠ GFC=\dfrac{1}{2}∠ EFC=30°$;
(2)证明:过点$G$作$GH// AB$,
$\because AB// CD$,
$\therefore AB// CD// GH$,
$\therefore ∠ BEG+∠ EGH=180°$,$∠ HGF+∠ GFD=180°$,
$\therefore ∠ BEG+∠ EGH+∠ HGF+∠ GFD=360°$
$\therefore ∠ BEG+∠ EGF+∠ GFD=360°$;
(3)解:过点$P$作$PM// AB$,
$\because AB// CD$,
$\therefore AB// CD// PM$,
$\therefore ∠ EPM=∠ AEP$,$∠ MPF=∠ PFC$,
$\because PE$平分$∠ AEG$,$PF$平分$∠ GFC$,$∠ AEG=60°$,$∠ GFC=40°$,
$\therefore ∠ AEP=\dfrac{1}{2}∠ AEG=30°$,$∠ PFC=\dfrac{1}{2}∠ GFC=20°$,
$\therefore ∠ EPM=30°$,$∠ MPF=20°$,
$\therefore ∠ EPF=50°$.
解析
【分析】
(1) 先根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，求出∠EFC的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠GFC的度数。
(2) 对于平行线间的折线角度问题，通用的解题思路是过折点作已知平行线的平行线，构造出同旁内角，利用两直线平行同旁内角互补，将待求的三个角的和转化为两组同旁内角的和，即可完成证明。
(3) 沿用折线问题的辅助线作法，过点P作AB的平行线，利用平行线的传递性得到三条直线互相平行，将∠EPF拆分为两个分别与∠AEP、∠PFC相等的角，再结合角平分线的定义求出两个小角的度数，相加即可得到∠P的度数。
【解析】
(1)解:$\because AB// CD$,$∠ BEF=60°$,
$\therefore ∠ EFC=∠ BEF=60°$,
$\because FG$是$∠ EFC$的平分线,
$\therefore ∠ GFC=\dfrac{1}{2}∠ EFC=30°$;
(2)证明:过点$G$作$GH// AB$,
$\because AB// CD$,
$\therefore AB// CD// GH$,
$\therefore ∠ BEG+∠ EGH=180°$,$∠ HGF+∠ GFD=180°$,
$\therefore ∠ BEG+∠ EGH+∠ HGF+∠ GFD=360°$
$\therefore ∠ BEG+∠ EGF+∠ GFD=360°$;
(3)解:过点$P$作$PM// AB$,
$\because AB// CD$,
$\therefore AB// CD// PM$,
$\therefore ∠ EPM=∠ AEP$,$∠ MPF=∠ PFC$,
$\because PE$平分$∠ AEG$,$PF$平分$∠ GFC$,$∠ AEG=60°$,$∠ GFC=40°$,
$\therefore ∠ AEP=\dfrac{1}{2}∠ AEG=30°$,$∠ PFC=\dfrac{1}{2}∠ GFC=20°$,
$\therefore ∠ EPM=30°$,$∠ MPF=20°$,
$\therefore ∠ EPF=50°$.
【答案】
(1)$\boldsymbol{30°}$
(2)证明如上，结论成立
(3)$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
1.平行线的性质
2.角平分线的定义
3.平行线的传递性
【点评】
本题梯度设置合理，从基础的平行线性质直接应用，到折线问题的辅助线构造，再到多知识点的综合应用，很好地考察了学生对平行线相关知识的掌握程度，以及几何辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，求出∠EFC的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠GFC的度数。
(2) 对于平行线间的折线角度问题，通用的解题思路是过折点作已知平行线的平行线，构造出同旁内角，利用两直线平行同旁内角互补，将待求的三个角的和转化为两组同旁内角的和，即可完成证明。
(3) 沿用折线问题的辅助线作法，过点P作AB的平行线，利用平行线的传递性得到三条直线互相平行，将∠EPF拆分为两个分别与∠AEP、∠PFC相等的角，再结合角平分线的定义求出两个小角的度数，相加即可得到∠P的度数。
【解析】
(1)解:$\because AB// CD$,$∠ BEF=60°$,
$\therefore ∠ EFC=∠ BEF=60°$,
$\because FG$是$∠ EFC$的平分线,
$\therefore ∠ GFC=\dfrac{1}{2}∠ EFC=30°$;
(2)证明:过点$G$作$GH// AB$,
$\because AB// CD$,
$\therefore AB// CD// GH$,
$\therefore ∠ BEG+∠ EGH=180°$,$∠ HGF+∠ GFD=180°$,
$\therefore ∠ BEG+∠ EGH+∠ HGF+∠ GFD=360°$
$\therefore ∠ BEG+∠ EGF+∠ GFD=360°$;
(3)解:过点$P$作$PM// AB$,
$\because AB// CD$,
$\therefore AB// CD// PM$,
$\therefore ∠ EPM=∠ AEP$,$∠ MPF=∠ PFC$,
$\because PE$平分$∠ AEG$,$PF$平分$∠ GFC$,$∠ AEG=60°$,$∠ GFC=40°$,
$\therefore ∠ AEP=\dfrac{1}{2}∠ AEG=30°$,$∠ PFC=\dfrac{1}{2}∠ GFC=20°$,
$\therefore ∠ EPM=30°$,$∠ MPF=20°$,
$\therefore ∠ EPF=50°$.
【答案】
(1)$\boldsymbol{30°}$
(2)证明如上，结论成立
(3)$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
1.平行线的性质
2.角平分线的定义
3.平行线的传递性
【点评】
本题梯度设置合理，从基础的平行线性质直接应用，到折线问题的辅助线构造，再到多知识点的综合应用，很好地考察了学生对平行线相关知识的掌握程度，以及几何辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.7
