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1 用加减消元法解方程组 $\begin{cases}2x - 3y = 5 ①, \\3x - 2y =7 ②,\end{cases}$ 下列解法错误的是（ ）
A.①×3－②×2，消去x
B.①×2－②×3，消去y
C.①×(-3)＋②×2，消去x
D.①×2－②×(-3)，消去y
A.①×3－②×2，消去x
B.①×2－②×3，消去y
C.①×(-3)＋②×2，消去x
D.①×2－②×(-3)，消去y
答案
1.D
解析
【分析】
加减消元法的核心是通过给方程组中的两个方程分别乘适当的数，使某一个未知数的系数相等或互为相反数，再通过相加或相减消去该未知数。判断各选项正误时，只需计算对应未知数经过选项所述运算后的系数是否为0即可：若要消去x，则运算后x的系数应为0；若要消去y，则运算后y的系数应为0。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：①×3得$6x-9y=15$，②×2得$6x-4y=14$，两式相减时x的系数为$6-6=0$，可消去x，解法正确，不符合题意；
B选项：①×2得$4x-6y=10$，②×3得$9x-6y=21$，两式相减时y的系数为$-6-(-6)=0$，可消去y，解法正确，不符合题意；
C选项：①×(-3)得$-6x+9y=-15$，②×2得$6x-4y=14$，两式相加时x的系数为$-6+6=0$，可消去x，解法正确，不符合题意；
D选项：①×2得$4x-6y=10$，②×(-3)得$-9x+6y=-21$，两式做①×2－②×(-3)运算时，y的系数为$-6-6=-12≠0$，无法消去y，解法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法、二元一次方程组求解
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，解题的关键是掌握消元时系数的变形规则，运算过程中符号判断是这类题的易错点，需格外注意。
【难度系数】
0.8
加减消元法的核心是通过给方程组中的两个方程分别乘适当的数，使某一个未知数的系数相等或互为相反数，再通过相加或相减消去该未知数。判断各选项正误时，只需计算对应未知数经过选项所述运算后的系数是否为0即可：若要消去x，则运算后x的系数应为0；若要消去y，则运算后y的系数应为0。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：①×3得$6x-9y=15$，②×2得$6x-4y=14$，两式相减时x的系数为$6-6=0$，可消去x，解法正确，不符合题意；
B选项：①×2得$4x-6y=10$，②×3得$9x-6y=21$，两式相减时y的系数为$-6-(-6)=0$，可消去y，解法正确，不符合题意；
C选项：①×(-3)得$-6x+9y=-15$，②×2得$6x-4y=14$，两式相加时x的系数为$-6+6=0$，可消去x，解法正确，不符合题意；
D选项：①×2得$4x-6y=10$，②×(-3)得$-9x+6y=-21$，两式做①×2－②×(-3)运算时，y的系数为$-6-6=-12≠0$，无法消去y，解法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法、二元一次方程组求解
【点评】
本题考查加减消元法的实际应用，解题的关键是掌握消元时系数的变形规则，运算过程中符号判断是这类题的易错点，需格外注意。
【难度系数】
0.8
2 小明在解关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}x+y=△, \\2x-3y=5\end{cases}$时，解得$\begin{cases}x=4, \\y=\star\end{cases}$，则△和★代表的数分别是（ ）
A.3，-1
B.1，5
C.-1，3
D.5，1
A.3，-1
B.1，5
C.-1，3
D.5，1
答案
2.D
解析
【分析】
解题思路：二元一次方程组的解满足方程组中的每一个方程，我们已知解中x=4，因此可以先把x=4代入第二个不含△的方程，先求出y的值（即★），再将求出的x、y值代入第一个方程，就能算出△的值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵$\begin{cases}x=4 \\ y=\star\end{cases}$是原方程组的解
∴第一步，将$x=4$代入方程$2x-3y=5$中：
$2×4 - 3y =5$
$8 - 3y =5$
移项计算得：$-3y=5-8=-3$，解得$y=1$，即$\star=1$。
第二步，将$x=4$、$y=1$代入方程$x+y=△$中：
$△=4+1=5$。
因此△=5，★=1，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.二元一次方程组的解的定义
2.代入法求值
【点评】
本题属于基础题，核心是理解方程组的解的性质，即解能让方程组中每个方程左右两边相等，通过两次代入计算就可以得出结果，解题逻辑简单直接。
【难度系数】
0.9
解题思路：二元一次方程组的解满足方程组中的每一个方程，我们已知解中x=4，因此可以先把x=4代入第二个不含△的方程，先求出y的值（即★），再将求出的x、y值代入第一个方程，就能算出△的值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵$\begin{cases}x=4 \\ y=\star\end{cases}$是原方程组的解
∴第一步，将$x=4$代入方程$2x-3y=5$中：
$2×4 - 3y =5$
$8 - 3y =5$
移项计算得：$-3y=5-8=-3$，解得$y=1$，即$\star=1$。
第二步，将$x=4$、$y=1$代入方程$x+y=△$中：
$△=4+1=5$。
因此△=5，★=1，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.二元一次方程组的解的定义
2.代入法求值
【点评】
本题属于基础题，核心是理解方程组的解的性质，即解能让方程组中每个方程左右两边相等，通过两次代入计算就可以得出结果，解题逻辑简单直接。
【难度系数】
0.9
3 已知a,b都是有理数，观察表格中的运算，则m的值为
4
。答案
3.4
解析
【分析】
首先根据表格中a+b和a-b的运算结果，可得到关于a、b的二元一次方程组，先解方程组求出a、b的具体值，再将a、b代入到代数式$(3a+b)^2$中计算，即可得到m的值。
【解析】
根据表格信息可得方程组：
$\begin{cases}a+b=-6 ①\\a-b=10 ②\end{cases}$
将①+②，得：$2a=4$，解得$a=2$。
把$a=2$代入①式，得：$2+b=-6$，解得$b=-8$。
将$a=2$，$b=-8$代入$(3a+b)^2$得：
$3a+b=3×2+(-8)=-2$，则$(3a+b)^2=(-2)^2=4$，即$m=4$。
【答案】
4
【知识点】
二元一次方程组求解，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是先根据已知条件列出二元一次方程组求出a、b的值，代入计算时注意运算符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
首先根据表格中a+b和a-b的运算结果，可得到关于a、b的二元一次方程组，先解方程组求出a、b的具体值，再将a、b代入到代数式$(3a+b)^2$中计算，即可得到m的值。
【解析】
根据表格信息可得方程组：
$\begin{cases}a+b=-6 ①\\a-b=10 ②\end{cases}$
将①+②，得：$2a=4$，解得$a=2$。
把$a=2$代入①式，得：$2+b=-6$，解得$b=-8$。
将$a=2$，$b=-8$代入$(3a+b)^2$得：
$3a+b=3×2+(-8)=-2$，则$(3a+b)^2=(-2)^2=4$，即$m=4$。
【答案】
4
【知识点】
二元一次方程组求解，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是先根据已知条件列出二元一次方程组求出a、b的值，代入计算时注意运算符号，避免出错。
【难度系数】
0.8
4 若$3x^{3m - 4n -1} +5y^{m -2n +1}=4$是关于$x,y$的二元一次方程，则$m=$
2
，$n=$1
。答案
4. m=2，n=1
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程是二元一次方程。题目中的方程是关于x、y的二元一次方程，因此x、y的次数都必须等于1，据此可列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可得x、y的次数均为1，列方程组：
$\begin{cases}3m - 4n - 1 = 1 \\m - 2n + 1 = 1\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}3m - 4n = 2 \quad ① \\m = 2n \quad \quad \quad ②\end{cases}$
将②代入①得：$3×2n - 4n = 2$，
计算得：$6n - 4n = 2$，即$2n=2$，解得$n=1$。
将$n=1$代入②得：$m=2×1=2$。
【答案】
$m=2$，$n=1$
【知识点】
二元一次方程的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确把握二元一次方程的定义，根据次数要求列出参数方程组，再用消元法求解即可，熟练掌握基础定义是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程是二元一次方程。题目中的方程是关于x、y的二元一次方程，因此x、y的次数都必须等于1，据此可列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可得x、y的次数均为1，列方程组：
$\begin{cases}3m - 4n - 1 = 1 \\m - 2n + 1 = 1\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}3m - 4n = 2 \quad ① \\m = 2n \quad \quad \quad ②\end{cases}$
将②代入①得：$3×2n - 4n = 2$，
计算得：$6n - 4n = 2$，即$2n=2$，解得$n=1$。
将$n=1$代入②得：$m=2×1=2$。
【答案】
$m=2$，$n=1$
【知识点】
二元一次方程的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确把握二元一次方程的定义，根据次数要求列出参数方程组，再用消元法求解即可，熟练掌握基础定义是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
5 小明、小文都到黑板上做同一道题:解二元一次方程组 $\begin{cases} ax+by=2, \\ cx-7y=8, \end{cases}$ 小明得出的答案是 $\begin{cases} x=3, \\ y=-2, \end{cases}$ 小文得出的答案是 $\begin{cases} x=-2, \\ y=2. \end{cases}$ 老师讲评时指出,小明的答案是正确的,小文的错了.小文经检查后发现是把第二个方程中的c看错了,根据上述信息,请求出 $a,b,c$ 的值.
答案
5. 把 $x=3,y=-2$ 代入方程组 $\begin{cases} ax+by=2, \\ cx-7y=8, \end{cases}$ 把 $x=-2,y=2$ 代入方程 $ax+by=2,$得$\begin{cases} 3a-2b=2, \\ 3c+14=8, \\ -2a+2b=2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=4, \\ b=5, \\ c=-2 \end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心逻辑如下：①正确的解满足原方程组的所有方程，因此小明的正确解$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$可以代入原方程组的两个方程，分别得到关于$a,b$的关系式和关于$c$的关系式；②小文仅看错了第二个方程的$c$，第一个方程的系数$a,b$没有看错，因此小文的解满足不含$c$的第一个方程，由此可得到第二个关于$a,b$的关系式。最后联立两个关于$a,b$的方程求解$a,b$，再单独求解$c$即可。
【解析】
解：$\because$ 小明的答案是正确的，
$\therefore$ 将$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax+by=2 \\ cx-7y=8\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3a - 2b = 2 \quad ① \\3c - 7×(-2) = 8 \quad ②\end{cases}$
$\because$ 小文仅看错第二个方程的$c$，第一个方程系数$a,b$未看错，
$\therefore$ 将$\begin{cases}x=-2 \\ y=2\end{cases}$代入$ax+by=2$，得：
$-2a + 2b = 2 \quad ③$
先解方程②：$3c +14 = 8$，解得$c=-2$。
再联立①③组成二元一次方程组，将两个方程相加得：$a=4$，
把$a=4$代入①，得$3×4 -2b=2$，解得$b=5$。
【答案】
$\begin{cases}a=4 \\ b=5 \\ c=-2\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是二元一次方程组的典型错解类题型，解题关键是明确看错某一系数时，解仍然满足其余系数未看错的方程，结合解的定义代入得到对应方程组即可求解。
【难度系数】
0.6
解题的核心逻辑如下：①正确的解满足原方程组的所有方程，因此小明的正确解$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$可以代入原方程组的两个方程，分别得到关于$a,b$的关系式和关于$c$的关系式；②小文仅看错了第二个方程的$c$，第一个方程的系数$a,b$没有看错，因此小文的解满足不含$c$的第一个方程，由此可得到第二个关于$a,b$的关系式。最后联立两个关于$a,b$的方程求解$a,b$，再单独求解$c$即可。
【解析】
解：$\because$ 小明的答案是正确的，
$\therefore$ 将$\begin{cases}x=3 \\ y=-2\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax+by=2 \\ cx-7y=8\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3a - 2b = 2 \quad ① \\3c - 7×(-2) = 8 \quad ②\end{cases}$
$\because$ 小文仅看错第二个方程的$c$，第一个方程系数$a,b$未看错，
$\therefore$ 将$\begin{cases}x=-2 \\ y=2\end{cases}$代入$ax+by=2$，得：
$-2a + 2b = 2 \quad ③$
先解方程②：$3c +14 = 8$，解得$c=-2$。
再联立①③组成二元一次方程组，将两个方程相加得：$a=4$，
把$a=4$代入①，得$3×4 -2b=2$，解得$b=5$。
【答案】
$\begin{cases}a=4 \\ b=5 \\ c=-2\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是二元一次方程组的典型错解类题型，解题关键是明确看错某一系数时，解仍然满足其余系数未看错的方程，结合解的定义代入得到对应方程组即可求解。
【难度系数】
0.6
