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1 若将活动1中10个矩形中∠A的10个对角顶点连成曲线，该曲线可能经过下列的点
（
A.(0,0)
B.(6,2)
C.(8,1.25)
D.(12,0)
（
C
）A.(0,0)
B.(6,2)
C.(8,1.25)
D.(12,0)
答案
1. C
解析
【分析】
首先明确这类矩形操作活动的隐含条件：公共顶点∠A在坐标原点，矩形的两条邻边分别落在x轴、y轴正半轴上，且所有矩形的面积为固定值。因此∠A的对角顶点的横、纵坐标的乘积为定值，即这些点都在第一象限的反比例函数图象上。解题时先排除横或纵坐标为0的点（反比例函数中x、y均不能为0），再通过计算剩余选项点的横纵坐标乘积，判断是否符合定值要求即可。
【解析】
由题意可知，∠A的对角顶点(x,y)满足：x＞0，y＞0，且xy=k（k为矩形面积，是固定常数），即该曲线是反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限的分支。
1. 排除A、D选项：点(0,0)、(12,0)的纵坐标为0，不符合反比例函数y≠0的要求，直接排除；
2. 验证剩余选项：
对B选项(6,2)，计算得$xy=6×2=12$；
对C选项(8,1.25)，计算得$xy=8×1.25=10$；
结合活动中矩形面积为定值10的设定，可知点(8,1.25)在该曲线上。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合实践操作场景考查反比例函数的相关知识，解题的核心是挖掘出点的横纵坐标乘积为定值的隐藏规律，能有效考查学生知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确这类矩形操作活动的隐含条件：公共顶点∠A在坐标原点，矩形的两条邻边分别落在x轴、y轴正半轴上，且所有矩形的面积为固定值。因此∠A的对角顶点的横、纵坐标的乘积为定值，即这些点都在第一象限的反比例函数图象上。解题时先排除横或纵坐标为0的点（反比例函数中x、y均不能为0），再通过计算剩余选项点的横纵坐标乘积，判断是否符合定值要求即可。
【解析】
由题意可知，∠A的对角顶点(x,y)满足：x＞0，y＞0，且xy=k（k为矩形面积，是固定常数），即该曲线是反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限的分支。
1. 排除A、D选项：点(0,0)、(12,0)的纵坐标为0，不符合反比例函数y≠0的要求，直接排除；
2. 验证剩余选项：
对B选项(6,2)，计算得$xy=6×2=12$；
对C选项(8,1.25)，计算得$xy=8×1.25=10$；
结合活动中矩形面积为定值10的设定，可知点(8,1.25)在该曲线上。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合实践操作场景考查反比例函数的相关知识，解题的核心是挖掘出点的横纵坐标乘积为定值的隐藏规律，能有效考查学生知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7
2 活动1中，补全表格后，当矩形一边长为3 cm时，其邻边长为
3.33
cm（结果保留两位小数）。答案
2. 3.33
解析
【分析】
解决本题首先需要结合活动1给出的已知条件：矩形的面积为固定值10$\mathrm{cm}^2$。解题思路为：根据矩形的面积公式，已知矩形的一条边长，求其邻边长时，用面积除以已知边长即可，最后按照要求将结果保留两位小数。
【解析】
由活动1可知该矩形的固定面积$ S = 10\ \mathrm{cm}^2 $，设矩形的两条邻边长分别为$ a $、$ b $，根据矩形面积公式：
$ S = a × b $
已知$ a = 3\ \mathrm{cm} $，代入公式可得邻边长：
$ b = \frac{S}{a} = \frac{10}{3} \approx 3.33\ \mathrm{cm} $
【答案】
3.33
【知识点】
矩形面积计算，近似数取值
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查矩形面积公式的灵活运用，解题时需注意结合题目前置活动的已知条件，计算结果要严格按照要求保留对应小数位数，避免因取值错误失分。
【难度系数】
0.85
解决本题首先需要结合活动1给出的已知条件：矩形的面积为固定值10$\mathrm{cm}^2$。解题思路为：根据矩形的面积公式，已知矩形的一条边长，求其邻边长时，用面积除以已知边长即可，最后按照要求将结果保留两位小数。
【解析】
由活动1可知该矩形的固定面积$ S = 10\ \mathrm{cm}^2 $，设矩形的两条邻边长分别为$ a $、$ b $，根据矩形面积公式：
$ S = a × b $
已知$ a = 3\ \mathrm{cm} $，代入公式可得邻边长：
$ b = \frac{S}{a} = \frac{10}{3} \approx 3.33\ \mathrm{cm} $
【答案】
3.33
【知识点】
矩形面积计算，近似数取值
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查矩形面积公式的灵活运用，解题时需注意结合题目前置活动的已知条件，计算结果要严格按照要求保留对应小数位数，避免因取值错误失分。
【难度系数】
0.85
3 活动1中，连接10个∠A的对角顶点得到的曲线，是反比例函数
$y=\frac{10}{x}$
（填具体解析式）图象的一支。答案
3. $y=\frac{10}{x}$
解析
【分析】
要确定反比例函数的具体解析式，首先明确反比例函数的核心性质：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），可变形为$xy=k$，即图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积为定值$k$。因此解题时只需结合活动构造的对角顶点的坐标特征，求出横、纵坐标的乘积，即可得到$k$的值，进而确定函数解析式。
【解析】
设任意一个对角顶点的坐标为$(x,y)$（$x＞0,y＞0$），根据活动1的构造规则，每个对角顶点的横坐标与纵坐标的乘积恒为10，即$xy=10$，将等式变形为反比例函数的标准形式，可得$y=\frac{10}{x}$，所得曲线是该反比例函数位于第一象限的一支。
【答案】
$y=\frac{10}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数解析式的确定；反比例函数的图象
【点评】
本题结合实践操作场景考查反比例函数的基础性质，解题突破口是抓住反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值的特征，无需复杂运算，侧重对基础知识的理解与应用。
【难度系数】
0.8
要确定反比例函数的具体解析式，首先明确反比例函数的核心性质：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），可变形为$xy=k$，即图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积为定值$k$。因此解题时只需结合活动构造的对角顶点的坐标特征，求出横、纵坐标的乘积，即可得到$k$的值，进而确定函数解析式。
【解析】
设任意一个对角顶点的坐标为$(x,y)$（$x＞0,y＞0$），根据活动1的构造规则，每个对角顶点的横坐标与纵坐标的乘积恒为10，即$xy=10$，将等式变形为反比例函数的标准形式，可得$y=\frac{10}{x}$，所得曲线是该反比例函数位于第一象限的一支。
【答案】
$y=\frac{10}{x}$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数解析式的确定；反比例函数的图象
【点评】
本题结合实践操作场景考查反比例函数的基础性质，解题突破口是抓住反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值的特征，无需复杂运算，侧重对基础知识的理解与应用。
【难度系数】
0.8
4 根据密度计实验数据，当液体密度增大时，浸入深度h的变化是（
A.增大
B.减小
C.不变
D.先增大后减小
B
）A.增大
B.减小
C.不变
D.先增大后减小
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先要明确密度计的工作状态：密度计在任何待测液体中都处于漂浮状态，浮力始终等于自身重力，因此浮力大小是定值。接下来结合阿基米德原理公式，将排开液体的体积转化为浸入深度与横截面积的乘积，推导浸入深度h和液体密度ρ液的函数关系，再根据函数的增减性判断h的变化趋势即可。
【解析】
密度计在液体中始终漂浮，根据物体漂浮的受力特点可得：$F_{浮}=G$，由于密度计自身重力$G$恒定，因此它在不同液体中受到的浮力大小不变。
根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，代入浮力等于重力的关系可得：$\rho_{液}gV_{排}=G$。
密度计的形状可近似为均匀柱体，排开液体的体积$V_{排}$等于密度计的横截面积$S$乘以浸入液体的深度$h$，即$V_{排}=S· h$，代入上式得：
$\rho_{液}gS h = G$
整理得$h=\frac{G}{\rho_{液}gS}$，其中$G$、$g$、$S$均为定值，因此$h$与$\rho_{液}$成反比例关系，当$\rho_{液}$增大时，$h$会减小。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 物体漂浮条件
2. 反比例函数的性质
3. 阿基米德原理
【点评】
本题是跨学科类的基础应用题，结合物理受力规律和数学反比例函数的知识考查变量变化趋势的判断，需要学生先梳理物理量之间的关系推导函数式，再结合函数性质得出结论，能很好地锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确密度计的工作状态：密度计在任何待测液体中都处于漂浮状态，浮力始终等于自身重力，因此浮力大小是定值。接下来结合阿基米德原理公式，将排开液体的体积转化为浸入深度与横截面积的乘积，推导浸入深度h和液体密度ρ液的函数关系，再根据函数的增减性判断h的变化趋势即可。
【解析】
密度计在液体中始终漂浮，根据物体漂浮的受力特点可得：$F_{浮}=G$，由于密度计自身重力$G$恒定，因此它在不同液体中受到的浮力大小不变。
根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，代入浮力等于重力的关系可得：$\rho_{液}gV_{排}=G$。
密度计的形状可近似为均匀柱体，排开液体的体积$V_{排}$等于密度计的横截面积$S$乘以浸入液体的深度$h$，即$V_{排}=S· h$，代入上式得：
$\rho_{液}gS h = G$
整理得$h=\frac{G}{\rho_{液}gS}$，其中$G$、$g$、$S$均为定值，因此$h$与$\rho_{液}$成反比例关系，当$\rho_{液}$增大时，$h$会减小。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 物体漂浮条件
2. 反比例函数的性质
3. 阿基米德原理
【点评】
本题是跨学科类的基础应用题，结合物理受力规律和数学反比例函数的知识考查变量变化趋势的判断，需要学生先梳理物理量之间的关系推导函数式，再结合函数性质得出结论，能很好地锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.8
5 在简易密度计实验中，密度计的质量为8.8g，底面积为1 cm²，悬浮时浸入深度h(cm)与液体密度ρ(g/cm³)的关系是（
A.$h=\frac{8.8}{\rho}$
B.$\rho=8.8h$
C.$h=8.8\rho$
D.$\rho=\frac{1}{8.8h}$
A
）A.$h=\frac{8.8}{\rho}$
B.$\rho=8.8h$
C.$h=8.8\rho$
D.$\rho=\frac{1}{8.8h}$
答案
5. A
解析
【分析】
要推导浸入深度h和液体密度ρ的关系，首先根据密度计的工作原理，它在液体中静止时受力平衡，受到的浮力等于自身重力。接下来结合浮力的计算方式写出浮力表达式，再代入重力、排开液体体积的相关已知条件，通过等式变形即可得到h和ρ的关系式。
【解析】
密度计在液体中静止时，浮力等于自身重力，即：
$F_{浮}=G$
根据浮力相关公式，浮力$F_{浮}=\rho g V_{排}$，密度计重力$G=mg$；同时密度计排开液体的体积$V_{排}=S· h$（S为底面积，h为浸入深度）。
将上述表达式代入平衡等式：
$\rho g S h = mg$
两边同时约去g，代入已知条件$m=8.8g$、$S=1cm^2$，可得：
$\rho × 1 × h = 8.8$
整理变形得：$h=\frac{8.8}{\rho}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
物体浮沉条件、浮力计算、代数式变形
【点评】
这道题是物理原理和数学公式变形结合的典型应用题，解题的关键是抓住密度计浮力等于重力的平衡条件，代入相关量化简推导即可得出结论。
【难度系数】
0.7
要推导浸入深度h和液体密度ρ的关系，首先根据密度计的工作原理，它在液体中静止时受力平衡，受到的浮力等于自身重力。接下来结合浮力的计算方式写出浮力表达式，再代入重力、排开液体体积的相关已知条件，通过等式变形即可得到h和ρ的关系式。
【解析】
密度计在液体中静止时，浮力等于自身重力，即：
$F_{浮}=G$
根据浮力相关公式，浮力$F_{浮}=\rho g V_{排}$，密度计重力$G=mg$；同时密度计排开液体的体积$V_{排}=S· h$（S为底面积，h为浸入深度）。
将上述表达式代入平衡等式：
$\rho g S h = mg$
两边同时约去g，代入已知条件$m=8.8g$、$S=1cm^2$，可得：
$\rho × 1 × h = 8.8$
整理变形得：$h=\frac{8.8}{\rho}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
物体浮沉条件、浮力计算、代数式变形
【点评】
这道题是物理原理和数学公式变形结合的典型应用题，解题的关键是抓住密度计浮力等于重力的平衡条件，代入相关量化简推导即可得出结论。
【难度系数】
0.7
6 根据活动2中的密度计实验数据，在密度为$0.9\ \mathrm{g/cm}^3$的植物油中，浸入深度为
8
cm.答案
6. 8
解析
【分析】
解题时首先要明确密度计浸入液体的深度h和液体密度ρ之间的数量关系：密度计漂浮时浮力等于自身重力，由此可推导得出ρ与h的乘积为定值，二者成反比例函数关系。接下来利用活动2中给出的已知实验数据，用待定系数法求出反比例函数的常数k，最后将ρ=0.9g/cm³代入解析式，即可计算得到对应的浸入深度h。
【解析】
密度计漂浮在液体中时，所受浮力等于自身重力，即$F_浮=G$。
由阿基米德原理得$F_浮=\rho_液 g V_排$，且密度计浸入液体的体积$V_排=S· h$（$S$为密度计均匀部分的横截面积，$h$为浸入深度），代入浮力公式可得：
$\rho_液 g S h = G$
整理得$\rho_液 · h = \frac{G}{gS}$，由于G、g、S均为定值，因此$\rho_液$与$h$成反比例函数关系，设函数解析式为$h=\frac{k}{\rho_液}$（k为常数）。
结合活动2的实验数据，已知某组对应值：当$\rho_液=1\ \mathrm{g/cm^3}$时，$h=7.2\ \mathrm{cm}$，代入得$k=\rho_液 · h = 1×7.2=7.2$，因此函数解析式为$h=\frac{7.2}{\rho_液}$。
将$\rho_液=0.9\ \mathrm{g/cm^3}$代入解析式，得$h=\frac{7.2}{0.9}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合实验情境考查函数的实际应用，解题核心是先确定两个变量的反比例关系，再通过已知数据求出函数后代入计算，较好地体现了数学知识在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确密度计浸入液体的深度h和液体密度ρ之间的数量关系：密度计漂浮时浮力等于自身重力，由此可推导得出ρ与h的乘积为定值，二者成反比例函数关系。接下来利用活动2中给出的已知实验数据，用待定系数法求出反比例函数的常数k，最后将ρ=0.9g/cm³代入解析式，即可计算得到对应的浸入深度h。
【解析】
密度计漂浮在液体中时，所受浮力等于自身重力，即$F_浮=G$。
由阿基米德原理得$F_浮=\rho_液 g V_排$，且密度计浸入液体的体积$V_排=S· h$（$S$为密度计均匀部分的横截面积，$h$为浸入深度），代入浮力公式可得：
$\rho_液 g S h = G$
整理得$\rho_液 · h = \frac{G}{gS}$，由于G、g、S均为定值，因此$\rho_液$与$h$成反比例函数关系，设函数解析式为$h=\frac{k}{\rho_液}$（k为常数）。
结合活动2的实验数据，已知某组对应值：当$\rho_液=1\ \mathrm{g/cm^3}$时，$h=7.2\ \mathrm{cm}$，代入得$k=\rho_液 · h = 1×7.2=7.2$，因此函数解析式为$h=\frac{7.2}{\rho_液}$。
将$\rho_液=0.9\ \mathrm{g/cm^3}$代入解析式，得$h=\frac{7.2}{0.9}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合实验情境考查函数的实际应用，解题核心是先确定两个变量的反比例关系，再通过已知数据求出函数后代入计算，较好地体现了数学知识在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.7
7 活动2中，密度计在煤油($\rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$)中浸入深度为9 cm.若某液体中浸入深度为7.2 cm，则该液体密度为
1
g/cm³.答案
7. 1
解析
【分析】
密度计在不同液体中漂浮时，所受浮力始终等于自身重力，重力不变则两次浮力大小相等。结合浮力公式可推导出，液体密度和密度计浸入液体的深度成反比例关系，即两组液体密度与对应浸入深度的乘积相等，代入已知数据即可求出待测液体的密度。
【解析】
设该液体的密度为$\rho_{液}$，由于密度计两次受到的浮力相等，可得到等量关系：
$\rho_{煤油}· h_{煤油}=\rho_{液}· h_{液}$
将已知条件$\rho_{煤油}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$，$h_{煤油}=9\ \mathrm{cm}$，$h_{液}=7.2\ \mathrm{cm}$代入上式：
$0.8\ \mathrm{g/cm}^3×9\ \mathrm{cm}=\rho_{液}×7.2\ \mathrm{cm}$
计算得：$\rho_{液}=\frac{0.8×9}{7.2}\ \mathrm{g/cm}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】
1
【知识点】
反比例关系、物体漂浮条件
【点评】
本题结合密度计的实际应用，考查了利用不变量建立等量关系求解未知量的方法，解题的核心是找到密度与浸入深度的反比例规律。
【难度系数】
0.7
密度计在不同液体中漂浮时，所受浮力始终等于自身重力，重力不变则两次浮力大小相等。结合浮力公式可推导出，液体密度和密度计浸入液体的深度成反比例关系，即两组液体密度与对应浸入深度的乘积相等，代入已知数据即可求出待测液体的密度。
【解析】
设该液体的密度为$\rho_{液}$，由于密度计两次受到的浮力相等，可得到等量关系：
$\rho_{煤油}· h_{煤油}=\rho_{液}· h_{液}$
将已知条件$\rho_{煤油}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$，$h_{煤油}=9\ \mathrm{cm}$，$h_{液}=7.2\ \mathrm{cm}$代入上式：
$0.8\ \mathrm{g/cm}^3×9\ \mathrm{cm}=\rho_{液}×7.2\ \mathrm{cm}$
计算得：$\rho_{液}=\frac{0.8×9}{7.2}\ \mathrm{g/cm}^3=1\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】
1
【知识点】
反比例关系、物体漂浮条件
【点评】
本题结合密度计的实际应用，考查了利用不变量建立等量关系求解未知量的方法，解题的核心是找到密度与浸入深度的反比例规律。
【难度系数】
0.7
8 根据活动2，解答下面的问题：
（1）验证简易密度计浸入液体的深度与液体密度是否成反比例关系；
（2）当浸入牛奶的深度为6.88 cm时，求牛奶的密度（结果保留两位小数）。
（1）验证简易密度计浸入液体的深度与液体密度是否成反比例关系；
（2）当浸入牛奶的深度为6.88 cm时，求牛奶的密度（结果保留两位小数）。
答案
8.（1）简易密度计悬浮在液体中,所受浮力等于自身重力,即$F_{浮}=G$.根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液} gV_{排},V_{排}=Sh$($S$为密度计底面积),重力$G=mg$,故$\rho gSh=mg$,化简,得$\rho h=\frac{m}{S}$,其中$m=7.2,S=1$,故$\rho h=7.2(\rho＞0,h＞0). \therefore h=\frac{7.2}{\rho}(h＞0).$
$\therefore$ 简易密度计浸入液体的深度与液体密度成反比例关系
（2）由(1)知$h=\frac{7.2}{\rho}$,代入$h=6.88$,得$\rho=7.2÷6.88\approx1.05.$
$\therefore$ 牛奶的密度约为$1.05\ \mathrm{g/cm}^3$
$\therefore$ 简易密度计浸入液体的深度与液体密度成反比例关系
（2）由(1)知$h=\frac{7.2}{\rho}$,代入$h=6.88$,得$\rho=7.2÷6.88\approx1.05.$
$\therefore$ 牛奶的密度约为$1.05\ \mathrm{g/cm}^3$
解析
【分析】
（1）要验证简易密度计浸入液体的深度$h$与液体密度$\rho$是否成反比例关系，根据反比例的定义，只需证明$h$和$\rho$的乘积为非零定值，或能表示为$h=\frac{k}{\rho}$（$k$为不为0的常数）的形式即可。我们可以结合密度计漂浮时浮力等于重力的受力特点，结合阿基米德原理、排开液体体积的表达式，代入化简推导两者的关系。（2）在第（1）问得到$h$与$\rho$的反比例关系式后，将已知的浸入深度代入解析式，即可求出对应的牛奶密度。
【解析】
（1）简易密度计漂浮在液体中时，所受浮力等于自身重力，即$F_{浮}=G$。
根据阿基米德原理可得$F_{浮}=\rho_{液} gV_{排}$，其中密度计排开液体的体积$V_{排}=Sh$（$S$为密度计的底面积），密度计的重力$G=mg$，代入浮力等于重力的等式可得：
$\rho gSh=mg$
约去两边的$g$，化简得$\rho h=\frac{m}{S}$。
结合已知条件$m=7.2$，$S=1$，因此$\rho h=7.2$（$\rho＞0$，$h＞0$），变形可得$h=\frac{7.2}{\rho}$（$h＞0$），符合反比例关系的形式，因此简易密度计浸入液体的深度与液体密度成反比例关系。
（2）由（1）得到的关系式$h=\frac{7.2}{\rho}$，将$h=6.88\ \mathrm{cm}$代入得：
$\rho=7.2÷6.88\approx1.05$
因此牛奶的密度约为$1.05\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
（1）简易密度计浸入液体的深度与液体密度成反比例关系；（2）牛奶的密度约为$1.05\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】
1. 反比例关系判定
2. 代数式化简
3. 反比例函数求值
【点评】
本题属于跨学科题型，将物理浮力知识与数学反比例关系的知识点相结合，既考查反比例关系的判定方法，也考查结合已知公式推导变量数量关系的能力，计算时需注意结果的精度要求。
【难度系数】
0.7
（1）要验证简易密度计浸入液体的深度$h$与液体密度$\rho$是否成反比例关系，根据反比例的定义，只需证明$h$和$\rho$的乘积为非零定值，或能表示为$h=\frac{k}{\rho}$（$k$为不为0的常数）的形式即可。我们可以结合密度计漂浮时浮力等于重力的受力特点，结合阿基米德原理、排开液体体积的表达式，代入化简推导两者的关系。（2）在第（1）问得到$h$与$\rho$的反比例关系式后，将已知的浸入深度代入解析式，即可求出对应的牛奶密度。
【解析】
（1）简易密度计漂浮在液体中时，所受浮力等于自身重力，即$F_{浮}=G$。
根据阿基米德原理可得$F_{浮}=\rho_{液} gV_{排}$，其中密度计排开液体的体积$V_{排}=Sh$（$S$为密度计的底面积），密度计的重力$G=mg$，代入浮力等于重力的等式可得：
$\rho gSh=mg$
约去两边的$g$，化简得$\rho h=\frac{m}{S}$。
结合已知条件$m=7.2$，$S=1$，因此$\rho h=7.2$（$\rho＞0$，$h＞0$），变形可得$h=\frac{7.2}{\rho}$（$h＞0$），符合反比例关系的形式，因此简易密度计浸入液体的深度与液体密度成反比例关系。
（2）由（1）得到的关系式$h=\frac{7.2}{\rho}$，将$h=6.88\ \mathrm{cm}$代入得：
$\rho=7.2÷6.88\approx1.05$
因此牛奶的密度约为$1.05\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
（1）简易密度计浸入液体的深度与液体密度成反比例关系；（2）牛奶的密度约为$1.05\ \mathrm{g/cm}^3$
【知识点】
1. 反比例关系判定
2. 代数式化简
3. 反比例函数求值
【点评】
本题属于跨学科题型，将物理浮力知识与数学反比例关系的知识点相结合，既考查反比例关系的判定方法，也考查结合已知公式推导变量数量关系的能力，计算时需注意结果的精度要求。
【难度系数】
0.7
9 若将活动1中矩形面积改为$k\ \mathrm{cm}^2(k＞0)$，活动2中密度计质量改为$m\ \mathrm{g}$（底面积仍为$1\ \mathrm{cm}^2$）。
（1）分别写出两个活动中变量之间的函数解析式；
（2）若某矩形的邻边长之比为$2:3$，且面积为$24\ \mathrm{cm}^2$，求它的两邻边长；
（3）若密度计在某种液体中浸入深度为$9\ \mathrm{cm}$，液体的密度比水大$0.2\ \mathrm{g/cm}^3$，求密度计的质量。
（1）分别写出两个活动中变量之间的函数解析式；
（2）若某矩形的邻边长之比为$2:3$，且面积为$24\ \mathrm{cm}^2$，求它的两邻边长；
（3）若密度计在某种液体中浸入深度为$9\ \mathrm{cm}$，液体的密度比水大$0.2\ \mathrm{g/cm}^3$，求密度计的质量。
答案
9.（1）活动1:$y=\frac{k}{x}$;活动2:$h=\frac{m}{\rho}$
（2）设两邻边长为$2a$ cm和$3a$ cm,则$2a· 3a=24$,解得$a=2$(负值舍去).$\therefore$ 两邻边长为4 cm和6 cm
（3）由题意,得$\rho=1.00+0.2=1.2$,将$\rho=1.2$,$h=9$代入$h=\frac{m}{\rho}$,得$9=\frac{m}{1.2}$,解得$m=10.8. \therefore$ 密度计的质量为10.8 g
（2）设两邻边长为$2a$ cm和$3a$ cm,则$2a· 3a=24$,解得$a=2$(负值舍去).$\therefore$ 两邻边长为4 cm和6 cm
（3）由题意,得$\rho=1.00+0.2=1.2$,将$\rho=1.2$,$h=9$代入$h=\frac{m}{\rho}$,得$9=\frac{m}{1.2}$,解得$m=10.8. \therefore$ 密度计的质量为10.8 g
解析
【分析】
（1）活动1中矩形面积等于邻边长的乘积，已知面积为定值k，将公式变形即可得到两个邻边的函数关系；活动2中密度计漂浮时浮力等于重力，结合重力、浮力公式化简推导，就能得到浸入深度和液体密度的函数关系，注意两个函数的自变量均取正数。
（2）已知邻边的长度比，可设参数分别表示两边长，再根据矩形面积公式列方程求解，结合边长为正的实际意义舍去负解即可得到结果。
（3）先根据水的密度求出待测液体的密度，再将浸入深度和液体密度代入（1）中得到的函数解析式，计算即可得到密度计的质量。
【解析】
（1）活动1：设矩形的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，相邻另一边长为$y\ \mathrm{cm}$，由矩形面积公式得$xy=k$，整理得$y=\frac{k}{x}\ (x＞0)$；
活动2：密度计漂浮时重力等于浮力，即$mg=\rho g V_{\mathrm{排}}$，已知密度计底面积为$1\ \mathrm{cm}^2$，则排开液体体积$V_{\mathrm{排}}=h×1=h$，约去$g$后整理得$h=\frac{m}{\rho}\ (\rho＞0)$。
（2）设矩形两邻边长分别为$2a\ \mathrm{cm}$和$3a\ \mathrm{cm}$（$a＞0$），由题意列方程：
$2a·3a=24$
化简得$6a^2=24$，即$a^2=4$，解得$a=2$（边长为正，舍去$a=-2$），
因此$2a=4$，$3a=6$。
（3）水的密度为$1.0\ \mathrm{g/cm^3}$，则待测液体密度$\rho=1.0+0.2=1.2\ \mathrm{g/cm^3}$，
将$\rho=1.2$，$h=9$代入$h=\frac{m}{\rho}$得：
$9=\frac{m}{1.2}$，解得$m=9×1.2=10.8$。
【答案】
（1）活动1:$y=\frac{k}{x}$;活动2:$h=\frac{m}{\rho}$
（2）两邻边长为4 cm和6 cm
（3）密度计的质量为10.8 g
【知识点】
反比例函数的实际应用、一元二次方程的应用、代入求值
【点评】
本题结合几何、物理实际场景考查函数与方程的应用，解题核心是找准等量关系列解析式或方程，求解时需注意结合实际意义舍去不合要求的解。
【难度系数】
0.8
（1）活动1中矩形面积等于邻边长的乘积，已知面积为定值k，将公式变形即可得到两个邻边的函数关系；活动2中密度计漂浮时浮力等于重力，结合重力、浮力公式化简推导，就能得到浸入深度和液体密度的函数关系，注意两个函数的自变量均取正数。
（2）已知邻边的长度比，可设参数分别表示两边长，再根据矩形面积公式列方程求解，结合边长为正的实际意义舍去负解即可得到结果。
（3）先根据水的密度求出待测液体的密度，再将浸入深度和液体密度代入（1）中得到的函数解析式，计算即可得到密度计的质量。
【解析】
（1）活动1：设矩形的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，相邻另一边长为$y\ \mathrm{cm}$，由矩形面积公式得$xy=k$，整理得$y=\frac{k}{x}\ (x＞0)$；
活动2：密度计漂浮时重力等于浮力，即$mg=\rho g V_{\mathrm{排}}$，已知密度计底面积为$1\ \mathrm{cm}^2$，则排开液体体积$V_{\mathrm{排}}=h×1=h$，约去$g$后整理得$h=\frac{m}{\rho}\ (\rho＞0)$。
（2）设矩形两邻边长分别为$2a\ \mathrm{cm}$和$3a\ \mathrm{cm}$（$a＞0$），由题意列方程：
$2a·3a=24$
化简得$6a^2=24$，即$a^2=4$，解得$a=2$（边长为正，舍去$a=-2$），
因此$2a=4$，$3a=6$。
（3）水的密度为$1.0\ \mathrm{g/cm^3}$，则待测液体密度$\rho=1.0+0.2=1.2\ \mathrm{g/cm^3}$，
将$\rho=1.2$，$h=9$代入$h=\frac{m}{\rho}$得：
$9=\frac{m}{1.2}$，解得$m=9×1.2=10.8$。
【答案】
（1）活动1:$y=\frac{k}{x}$;活动2:$h=\frac{m}{\rho}$
（2）两邻边长为4 cm和6 cm
（3）密度计的质量为10.8 g
【知识点】
反比例函数的实际应用、一元二次方程的应用、代入求值
【点评】
本题结合几何、物理实际场景考查函数与方程的应用，解题核心是找准等量关系列解析式或方程，求解时需注意结合实际意义舍去不合要求的解。
【难度系数】
0.8
