5. 如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB分别切$\odot O$于A，B.连接PO，交$\odot O$于点D，延长PO，交$\odot O$于点C.连接AC，BC.连接AO并延长，交BC于点E.
（1）证明：点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点；
（2）若点E是BC的中点，求$∠ APC$的度数.

(1) 证明:
∵PA,PB分别切⊙O于A,B,
∴PA=PB,∠APC=∠BPC.又PC=PC,
∴△APC≌△BPC,
∴∠ACP=∠BCP,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,即点 D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(2)
∵点 E 是 BC 的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE 垂直平分 BC.如图,连接 AB,则 AB=AC,由(1),得△APC≌△BPC,
∴AC=BC,
∴△ABC 是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠BCP=∠ACP=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∵PA 是⊙O 的切线,
∴PA⊥AE,
∴PA//BC,
∴∠APC=∠BCP=30°.

6. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB是$\odot O$的直径,过点D作$\odot O$的切线交BC的延长线于点E,交BA的延长线于点F,且$DE ⊥ BE$.过点A作$\odot O$的切线交EF于点G,连接AC.
(1) 求证:AD平分$∠ GAC$;
(2) 若$AD=5$,$AB=9$,求线段DE的长.

(1) 证明:
∵GA,GD 是⊙O 的切线,
∴GA=GD,
∴∠GAD=∠GDA.
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BE.
∵DE⊥BE,
∴AC//DE,
∴∠CAD=∠GDA,
∴∠GAD=∠CAD,
∴AD 平分∠GAC.
(2) 如图,连接 OD,交 AC 于点 H,
∵DE 是⊙O 的切线,
∴OD⊥DE,
∴∠ODE=90°.由(1)知,AC//DE,
∴OD⊥AC,
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC,∠AHD=∠CHD=90°.
∵OA=OB,
∴OH 是△ABC 的中位线,
∴OH=$\frac{1}{2}$BC.
∵AB=9,
∴OD=$\frac{9}{2}$.设 OH=x,则 DH=$\frac{9}{2}-x$,BC=2x,
∴AC²=AB²-BC²=81-4x²,
∴(2AH)²=81-4x²,
∴AH²=$\frac{81}{4}-x²$.
∵AH²=AD²-DH²,AD=5,
∴$\frac{81}{4}-x²=5^2-(\frac{9}{2}-x)^2$,
∴x=$\frac{31}{18}$,
∴AH=$\sqrt{\frac{81}{4}-x²}=\frac{10\sqrt{14}}{9}$.
∵∠HCE=180°-∠ACB=90°=∠ODE=∠CHD,
∴四边形 CHDE 是矩形,
∴DE=CH=AH=$\frac{10\sqrt{14}}{9}$.