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1.「2026山东烟台福山期中」若$a≠0,b≠0$,则$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}$的取值共有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
可分4种情况：
①$a＞0,b＞0$,此时$ab＞0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}=1+1+1=3$;
②$a＞0,b＜0$,此时$ab＜0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}=1-1-1=-1$;
③$a＜0,b＜0$,此时$ab＞0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}=-1-1+1=-1$;
④$a＜0,b＞0$,此时$ab＜0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}=-1+1-1=-1$.
综上,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}$的值为3或-1.
故选 A.
①$a＞0,b＞0$,此时$ab＞0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}=1+1+1=3$;
②$a＞0,b＜0$,此时$ab＜0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}=1-1-1=-1$;
③$a＜0,b＜0$,此时$ab＞0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}=-1-1+1=-1$;
④$a＜0,b＞0$,此时$ab＜0$,
所以$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}=-1+1-1=-1$.
综上,$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{ab}{|ab|}$的值为3或-1.
故选 A.
2. 学科 特色
分类讨论思想
「2026 陕西榆林高新区期末」已知a的绝对值为4，b的绝对值为5，且a＞b，则2a−b的值为
（
A.3或-3
B.13或-13
C.-3或13
D.-13或3
分类讨论思想
「2026 陕西榆林高新区期末」已知a的绝对值为4，b的绝对值为5，且a＞b，则2a−b的值为
（
C
）A.3或-3
B.13或-13
C.-3或13
D.-13或3
答案
由$|b|=5$,得$b=5$或$b=-5$.
由$|a|=4$,得$a=4$或$a=-4$.
又$a＞b$,所以$a=4,b=-5$或$a=-4,b=-5$.
当$a=4,b=-5$时,$2a-b=2×4-(-5)=8+5=13$,
当$a=-4,b=-5$时,$2a-b=2×(-4)-(-5)=-8+5=-3$.
故$2a-b$的值为13或-3,
故选 C.
由$|a|=4$,得$a=4$或$a=-4$.
又$a＞b$,所以$a=4,b=-5$或$a=-4,b=-5$.
当$a=4,b=-5$时,$2a-b=2×4-(-5)=8+5=13$,
当$a=-4,b=-5$时,$2a-b=2×(-4)-(-5)=-8+5=-3$.
故$2a-b$的值为13或-3,
故选 C.
3.「2026山东济南历下期中」若点$ M,N $在数轴上表示的数分别是$ m,n,|m|=3,|n|=4 $，则点$ M $和点$ N $间的最大距离为
7
。答案
答案 7
解析 因为点 M,N 在数轴上表示的数分别是 m,n,$|m|=3,|n|=4$,所以$m=±3,n=±4$.
当$m=-3,n=4$或$m=3,n=-4$时点 M 和点 N 间的距离最大,是7.
解析 因为点 M,N 在数轴上表示的数分别是 m,n,$|m|=3,|n|=4$,所以$m=±3,n=±4$.
当$m=-3,n=4$或$m=3,n=-4$时点 M 和点 N 间的距离最大,是7.
4.「2026 河南驻马店上蔡期中」已知有理数$a,b,c,d,e$.
(1)已知$a,b$互为倒数,则$ab=$
(2)已知$c,d$互为相反数,则$c+d=$
(3)已知$e$的绝对值为2,则$e=$
(4)求$\frac{1}{2}ab+\frac{c+d}{5}+e^3$的值.
(1)已知$a,b$互为倒数,则$ab=$
1
.(2)已知$c,d$互为相反数,则$c+d=$
0
.(3)已知$e$的绝对值为2,则$e=$
±2
.(4)求$\frac{1}{2}ab+\frac{c+d}{5}+e^3$的值.
答案
(1)1.
(2)0.
(3)±2.
(4)分两种情况：
当$ab=1,c+d=0,e=2$时,
$\frac{1}{2}ab+\frac{c+d}{5}+e^3=\frac{1}{2}×1+\frac{0}{5}+2^3=8\frac{1}{2}$.
当$ab=1,c+d=0,e=-2$时,
$\frac{1}{2}ab+\frac{c+d}{5}+e^3=\frac{1}{2}×1+\frac{0}{5}+(-2)^3=-7\frac{1}{2}$.
综上所述,原式的值为$8\frac{1}{2}$或$-7\frac{1}{2}$.
(2)0.
(3)±2.
(4)分两种情况：
当$ab=1,c+d=0,e=2$时,
$\frac{1}{2}ab+\frac{c+d}{5}+e^3=\frac{1}{2}×1+\frac{0}{5}+2^3=8\frac{1}{2}$.
当$ab=1,c+d=0,e=-2$时,
$\frac{1}{2}ab+\frac{c+d}{5}+e^3=\frac{1}{2}×1+\frac{0}{5}+(-2)^3=-7\frac{1}{2}$.
综上所述,原式的值为$8\frac{1}{2}$或$-7\frac{1}{2}$.
5. 学科特色多解法「2026河南郑州高新区期中」若数轴上分别表示m和-2的两点之间的距离是24，则m的值为（
A.22
B.26
C.-26或22
D.-22或26
C
）A.22
B.26
C.-26或22
D.-22或26
答案
【解法一】利用数轴直观判断.
当表示 m 的点在表示-2 的点的右侧时,$m=-2+24=22$.
当表示 m 的点在表示-2 的点的左侧时,$m=-2-24=-26$.
【解法二】利用绝对值求解.
根据题意,得$|m-(-2)|=24$,解得$m=22$或$m=-26$.
故选 C.
易错警示 当遇到数轴上点的移动问题时,若题目中未说明移动方向,要注意分向左、向右侧两个方向分类讨论.类似地,还有已知两点间的距离及一点的位置,求另一点的位置的问题,要求的点既可能在已知点的左侧,也可能在已知点的右侧,同样需要分类讨论.
当表示 m 的点在表示-2 的点的右侧时,$m=-2+24=22$.
当表示 m 的点在表示-2 的点的左侧时,$m=-2-24=-26$.
【解法二】利用绝对值求解.
根据题意,得$|m-(-2)|=24$,解得$m=22$或$m=-26$.
故选 C.
易错警示 当遇到数轴上点的移动问题时,若题目中未说明移动方向,要注意分向左、向右侧两个方向分类讨论.类似地,还有已知两点间的距离及一点的位置,求另一点的位置的问题,要求的点既可能在已知点的左侧,也可能在已知点的右侧,同样需要分类讨论.
6.「2026山东淄博张店期末」如图，一条数轴上有A,B,C三点(点A,B分别位于点C的左边和右边，且点A与点B之间的距离大于3)，其中点A,B表示的数分别是a,b，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在点C右侧的数轴上，且对折后的点A与点B之间的距离为3，则点C表示的数是
(
A.$\frac{a+b-3}{2}$
B.$\frac{a+b-3}{2}$或$\frac{a+b+3}{2}$
C.$\frac{a-b+3}{2}$
D.$\frac{a-b-3}{2}$或$\frac{a-b+3}{2}$
(
B
)A.$\frac{a+b-3}{2}$
B.$\frac{a+b-3}{2}$或$\frac{a+b+3}{2}$
C.$\frac{a-b+3}{2}$
D.$\frac{a-b-3}{2}$或$\frac{a-b+3}{2}$
答案
∵对折后的点 A 与点 B 之间的距离为 3,
∴对折后点 A 表示的数为$b+3$或$b-3$,
∵以点 C 为折点,将数轴向右对折,
∴点 C 表示的数是$\frac{a+b-3}{2}$或$\frac{a+b+3}{2}$,
故选 B.
7.点A,B,P是数轴上不重合的三个点,点A表示的数为-3,点B表示的数为1.当数轴上三个点中的一点到另外两点的距离相等时,我们称这三个点为“和谐三点”.若点A,B,P是“和谐三点”,则点P表示的数为
-7或-1或5
.答案
答案 -7或-1或5
解析 点 P 在点 A 的左侧时,$-3-[1-(-3)]=-7$;点P 在 A,B 之间时,$-3+[1-(-3)]÷2=-1$;点 P 在点 B 的右侧时,$1+[1-(-3)]=5$.综上所述,点 P 表示的数为-7或-1或5.
解析 点 P 在点 A 的左侧时,$-3-[1-(-3)]=-7$;点P 在 A,B 之间时,$-3+[1-(-3)]÷2=-1$;点 P 在点 B 的右侧时,$1+[1-(-3)]=5$.综上所述,点 P 表示的数为-7或-1或5.
8.若$a$是有理数,则下列各式一定成立的有（
(1)$(-a)^2=a^2$；(2)$(-a)^2=-a^2$；(3)$(-a)^3=a^3$；
(4)$|-a^3|=a^3$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）(1)$(-a)^2=a^2$；(2)$(-a)^2=-a^2$；(3)$(-a)^3=a^3$；
(4)$|-a^3|=a^3$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
(1)在有理数范围内都成立.
(2)(3)只有 a 为0时成立.
(4)a 为负数时不成立.
故选 A.
(2)(3)只有 a 为0时成立.
(4)a 为负数时不成立.
故选 A.
9.「2025山东济南历城月考」已知$|x|=4$，$y^2=1$，且$|x+y|=-x-y$，则$x-y$的值为（
A.-3或-5
B.3或-5
C.-3或5
D.3或5
A
）A.-3或-5
B.3或-5
C.-3或5
D.3或5
答案
∵$|x|=4,y^2=1$,
∴$x=±4,y=±1$,
∵$|x+y|=-x-y$,
∴$x+y$的值为负数,
∴$x=-4,y=-1$或1,
故$x-y=-3$或-5.故选 A.
10.「2026山东潍坊期末」若$|a|=3$，$b^2=4$且$ab＞0$，则$a+b=$
±5
。答案
答案 ±5
解析
∵$|a|=3,b^2=4$,
∴$a=±3,b=±2$,
∵$ab＞0$,
∴$a=3,b=2$或$a=-3,b=-2$.
当$a=3,b=2$时,$a+b=5$;
当$a=-3,b=-2$时,$a+b=-5$.
综上,$a+b$的值为±5.故答案为±5.
解析
∵$|a|=3,b^2=4$,
∴$a=±3,b=±2$,
∵$ab＞0$,
∴$a=3,b=2$或$a=-3,b=-2$.
当$a=3,b=2$时,$a+b=5$;
当$a=-3,b=-2$时,$a+b=-5$.
综上,$a+b$的值为±5.故答案为±5.
