登录
1 新考法[2026浙江杭州调研,中]若$a,b,c$都是负数,并且$\frac{c}{a+b}＜\frac{a}{b+c}＜\frac{b}{c+a}$,则$a,b,c$中(
A.$a$最大
B.$b$最大
C.$c$最大
D.$c$最小
C
)A.$a$最大
B.$b$最大
C.$c$最大
D.$c$最小
答案
1. C 【解析】因为 $\frac{c}{a+b}＜\frac{a}{b+c}＜\frac{b}{c+a}$,所以 $\frac{c}{a+b}+1＜\frac{a}{b+c}+1＜\frac{b}{c+a}+1$,所以 $\frac{a+b+c}{a+b}＜\frac{a+b+c}{b+c}＜\frac{a+b+c}{c+a}$. 又因为 $a,b,c$ 都是负数,所以 $a+b＜b+c＜c+a$,所以 $b＜a＜c$. 故选 C.
2[2025浙江嘉兴期末,中]某商店先后两次购买了某商品,第一次买了5件,平均价格为每件a元;第二次买了4件,平均价格为每件b元.后来商店以每件$\frac{a+b}{2}$元的平均价格卖出,结果发现自己赔钱了,赔钱的原因是 (
A.$a＞b$
B.$a＜b$
C.$a=b$
D.$a≥b$
A
)A.$a＞b$
B.$a＜b$
C.$a=b$
D.$a≥b$
答案
2. A 【解析】因为商店购买9件商品的平均价格为 $\frac{5a+4b}{9}$ 元,商店以每件 $\frac{a+b}{2}$ 元的平均价格卖出,结果发现自己赔钱了,所以 $\frac{5a+4b}{9}＞\frac{a+b}{2}$, 所以 $2(5a+4b)＞9(a+b)$, 所以 $10a+8b＞9a+9b$, 所以 $a＞b$, 故选 A.
3[较难]设$x_1,x_2,x_3$都是小于-1的数，且$a_1＞a_2＞a_3＞0$，若满足$a_1(x_1+1)(x_1-2)=1$，$a_2(x_2+1)(x_2-2)=2$，$a_3(x_3+1)(x_3-2)=3$，则必有（
A.$x_1＞x_2＞x_3$
B.$x_1=x_2=x_3$
C.$x_1＜x_2＜x_3$
D.不能确定$x_1,x_2,x_3$的大小关系
A
）A.$x_1＞x_2＞x_3$
B.$x_1=x_2=x_3$
C.$x_1＜x_2＜x_3$
D.不能确定$x_1,x_2,x_3$的大小关系
答案
3. A 【解析】因为 $x_1,x_2,x_3$ 都是小于-1的数,所以 $x_1+1＜0,x_1-2＜0,x_2+1＜0,x_2-2＜0,x_3+1＜0$, $x_3-2＜0$, 所以 $(x_1+1)(x_1-2)＞0,(x_2+1)(x_2-2)＞0,(x_3+1)(x_3-2)＞0$. 因为 $a_1(x_1+1)(x_1-2)=1,a_2(x_2+1)(x_2-2)=2,a_3(x_3+1)(x_3-2)=3$, $a_1＞a_2＞a_3＞0$, 所以 $(x_1+1)(x_1-2)＜(x_2+1)(x_2-2)＜(x_3+1)(x_3-2)$, 所以 $x_1＞x_2＞x_3$. 故选 A.
4[2026上海虹口区调研,中]绝对值不大于$7-2\sqrt{5}$的所有整数是
-2,-1,0,1,2
。答案
4. -2,-1,0,1,2 【解析】由 $4＜5＜6.25$ 得 $2＜\sqrt{5}＜2.5$, 所以 $4＜2\sqrt{5}＜5$, 所以 $-5＜-2\sqrt{5}＜-4$, 所以 $7-5＜7-2\sqrt{5}＜7-4$, 即 $2＜7-2\sqrt{5}＜3$, 所以 $7-2\sqrt{5}$ 的整数部分为 2, 所以绝对值不大于 $7-2\sqrt{5}$ 的整数为 $-2,-1,0,1,2$, 故答案为 $-2,-1,0,1,2$.
5[较难]非负数$a,b,c$满足$a+b=9$，$c-a=3$，设$y=a+b+c$的最大值为$m$，最小值为$n$，则$m-n$的值为
9
。答案
5. 9 【解析】因为 $a,b,c$ 为非负数, 所以 $y=a+b+c≥0$. 又因为 $c-a=3$, 所以 $c=a+3$, 所以 $c≥3$. 因为 $a+b=9$, 所以 $y=a+b+c=9+c$. 又因为 $c≥3$, 所以当 $c=3$ 时, $y$ 取得最小值, $y_{\mathrm{最小}}=12$, 所以 $n=12$. 因为 $a+b=9$, 所以 $a≤9$. 因为 $y=a+b+c=9+c=9+a+3=12+a$, 所以当 $a=9$ 时, $y$ 取得最大值, $y_{\mathrm{最大}}=21$, 所以 $m=21$, 所以 $m-n=21-12=9$.
6 新考法 [2026江苏南京期中,中]已知$a＞0,b＞0,\sqrt{a}＞\sqrt{b}$,求证:$a＞b$.
(1)证明的过程可以用下面的框图表示,请填写其中的空白框.
(2)请用另一种方法证明.
(1)证明的过程可以用下面的框图表示,请填写其中的空白框.
(2)请用另一种方法证明.
答案
6. (1)【解】因为 $a＞0,b＞0$,所以 $\sqrt{a}＞0,\sqrt{b}＞0$.
因为 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$,所以 $(\sqrt{a})^2＞\sqrt{a}×\sqrt{b}$,$\sqrt{a}×\sqrt{b}＞(\sqrt{b})^2$,
所以 $(\sqrt{a})^2＞(\sqrt{b})^2$,所以 $a＞b$.
故答案为 $\sqrt{a}×\sqrt{b}＞(\sqrt{b})^2$,$a＞b$.
(2)【证明】因为 $a＞0,b＞0$,所以 $a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$,$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞0$.
因为 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$,所以 $\sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$,所以 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})＞0$,所以 $a-b＞0$,即 $a＞b$. (证法不唯一)
因为 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$,所以 $(\sqrt{a})^2＞\sqrt{a}×\sqrt{b}$,$\sqrt{a}×\sqrt{b}＞(\sqrt{b})^2$,
所以 $(\sqrt{a})^2＞(\sqrt{b})^2$,所以 $a＞b$.
故答案为 $\sqrt{a}×\sqrt{b}＞(\sqrt{b})^2$,$a＞b$.
(2)【证明】因为 $a＞0,b＞0$,所以 $a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$,$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞0$.
因为 $\sqrt{a}＞\sqrt{b}$,所以 $\sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$,所以 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})＞0$,所以 $a-b＞0$,即 $a＞b$. (证法不唯一)
7[2025浙江宁波期中,中]如图,点D是△ABC内一点.求证:
(1)$BD+CD＜AB+AC$;
(2)$AD+BD+CD＜AB+BC+AC$.
刷素养 走向重高
(1)$BD+CD＜AB+AC$;
(2)$AD+BD+CD＜AB+BC+AC$.
刷素养 走向重高
答案
7.【证明】(1)如图,延长 BD 交 AC 于 E.
在 $△ ABE$ 中, $AB+AE＞BE$, 所以 $AB+AC=AB+AE+CE＞BE+CE$.
在 $△ EDC$ 中, $DE+CE＞CD$,
所以 $BE+CE=BD+DE+CE＞BD+CD$,
所以 $AB+AC＞BE+CE＞BD+CD$, 所以 $BD+CD＜AB+AC$.
(2)由(1)知 $BD+CD＜AB+AC$. ①
同(1)可得 $AD+CD＜AB+BC$,②
$BD+AD＜BC+AC$,③
①+②+③得 $2(AD+BD+CD)＜2(AB+BC+AC)$,
所以 $AD+BD+CD＜AB+BC+AC$.
在 $△ ABE$ 中, $AB+AE＞BE$, 所以 $AB+AC=AB+AE+CE＞BE+CE$.
在 $△ EDC$ 中, $DE+CE＞CD$,
所以 $BE+CE=BD+DE+CE＞BD+CD$,
所以 $AB+AC＞BE+CE＞BD+CD$, 所以 $BD+CD＜AB+AC$.
(2)由(1)知 $BD+CD＜AB+AC$. ①
同(1)可得 $AD+CD＜AB+BC$,②
$BD+AD＜BC+AC$,③
①+②+③得 $2(AD+BD+CD)＜2(AB+BC+AC)$,
所以 $AD+BD+CD＜AB+BC+AC$.
8 核心素养运算能力[2025浙江嘉兴期中,较难]上数学课时,王老师在讲完乘法公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$的多种运用后,要求同学们运用所学知识解答:求代数式$y^2+4y+8$的最小值.同学们经过交流讨论后,给出如下解答方法:$y^2+4y+8=(y+2)^2+4$.因为$(y+2)^2≥0$,所以$(y+2)^2+4≥4$,从而得到代数式$y^2+4y+8$的最小值是4.请你根据上述方法解答下列各题.
(1)代数式$x^2+\frac{2}{3}x+\frac{10}{9}$的最小值是
(2)代数式$4-x^2+2x$有最大值还是最小值?如果有,求出最值.
(3)当$a,b$为任意实数时,比较代数式$a^2+b^2+11$与$6a-2b$的大小.
(1)代数式$x^2+\frac{2}{3}x+\frac{10}{9}$的最小值是
1
.(2)代数式$4-x^2+2x$有最大值还是最小值?如果有,求出最值.
(3)当$a,b$为任意实数时,比较代数式$a^2+b^2+11$与$6a-2b$的大小.
答案
8.【解】(1)$x^2+\frac{2}{3}x+\frac{10}{9}=x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}+1=(x+\frac{1}{3})^2+1$. 因为 $(x+\frac{1}{3})^2≥0$, 所以 $(x+\frac{1}{3})^2+1≥1$, 所以代数式 $x^2+\frac{2}{3}x+\frac{10}{9}$ 的最小值是 1, 故答案为 1.
(2)代数式 $4-x^2+2x$ 有最大值. $4-x^2+2x=-(x^2-2x+1)+5=-(x-1)^2+5$. 因为 $(x-1)^2≥0$, 所以 $-(x-1)^2≤0$, 所以 $-(x-1)^2+5≤5$, 所以代数式 $4-x^2+2x$ 有最大值, 最大值为 5.
(3)$a^2+b^2+11-(6a-2b)=a^2-6a+9+b^2+2b+1+1=(a-3)^2+(b+1)^2+1$. 因为 $(a-3)^2≥0$, $(b+1)^2≥0$, 所以 $(a-3)^2+(b+1)^2+1≥1$, 所以当 $a,b$ 为任意实数时, $a^2+b^2+11＞6a-2b$.
(2)代数式 $4-x^2+2x$ 有最大值. $4-x^2+2x=-(x^2-2x+1)+5=-(x-1)^2+5$. 因为 $(x-1)^2≥0$, 所以 $-(x-1)^2≤0$, 所以 $-(x-1)^2+5≤5$, 所以代数式 $4-x^2+2x$ 有最大值, 最大值为 5.
(3)$a^2+b^2+11-(6a-2b)=a^2-6a+9+b^2+2b+1+1=(a-3)^2+(b+1)^2+1$. 因为 $(a-3)^2≥0$, $(b+1)^2≥0$, 所以 $(a-3)^2+(b+1)^2+1≥1$, 所以当 $a,b$ 为任意实数时, $a^2+b^2+11＞6a-2b$.
