1[中]若点A(a,4)在第二象限,则点A关于直线m(直线m上各点的横坐标都是2)对称的点的坐标是 ()

A.$(-a,4)$
B.$(4-a,4)$
C.$(-a-4,-4)$
D.$(-a-2,-4)$

1.B 【解析】因为直线 $m$ 上各点的横坐标都是 2, 所以直线 $m$ 为过点 $(2,0)$ 且与 $x$ 轴垂直的一条直线. 因为点 $A(a,4)$ 在第二象限, 所以点 $A$ 到直线 $m$ 的距离为 $2-a$, 所以点 $A$ 关于直线 $m$ 对称的点的横坐标是 $2-a+2=4-a$, 故点 $A$ 关于直线 $m$ 对称的点的坐标是 $(4-a,4)$. 故选 B.

2[2025浙江衢州期末,中]已知第一象限内有一点$P(2,3)$，点$P$关于$x$轴的对称点为$P_1$，$P_1$关于$y$轴的对称点为$P_2$，$P_2$关于$x$轴的对称点为$P_3$，按此规律，依次得到$P_4,P_5,P_6,\dots$，则点$P_{2025}$的坐标为 ()

A.$(2,3)$
B.$(2,-3)$
C.$(-2,-3)$
D.$(-2,3)$

2.B 【解析】因为第一象限内有一点 $P(2,3)$, 点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P_1$, 所以 $P_1(2,-3)$. 因为 $P_1$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $P_2$, 所以 $P_2(-2,-3)$. 因为 $P_2$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P_3$, 所以 $P_3(-2,3)$. 因为 $P_3$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $P_4$, 所以 $P_4(2,3)$. 因为 $P_4$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P_5$, 所以 $P_5(2,-3)$,$\dots$, 由此可得, 每 4 个点为一个循环. 因为 $2025÷4=506······1$, 所以点 $P_{2025}$ 的坐标为 $(2,-3)$, 故选 B.

3[2026江西宜春调研,中]如图,在平面直角坐标系中,已知$A(-2,0)$,$B(6,0)$,$C(4,6)$,在平面内取一点$Q$(点$Q$不与点$C$重合),若以$A$,$B$,$Q$为顶点的三角形与$△ ABC$全等,则符合条件的点$Q$的坐标为.

3.(0,6)或(0,-6)或(4,-6) 【解析】如图,作线段 $AB$ 的垂直平分线 $DE$, 作 $C(4,6)$ 关于直线 $DE$ 的对称点 $Q_1$, 分别作 $C(4,6)$ 和 $Q_1$ 关于 $x$ 轴的对称点 $Q_2,Q_3$. 因为 $A(-2,0)$,$B(6,0)$, 所以线段 $AB$ 的垂直平分线 $DE$ 为直线 $x=2$. 因为点 $C(4,6)$ 与点 $Q_1$ 关于直线 $DE$ 对称, 所以 $△ ABC$ 与 $△ BAQ_1$ 关于直线 $DE$ 对称, 所以 $△ ABC≌△ BAQ_1$, 此时 $Q_1(0,6)$. 因为 $C(4,6)$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $Q_2(4,-6)$,$Q_1(0,6)$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $Q_3(0,-6)$, 所以 $△ ABC≌△ ABQ_2$,$△ ABC≌△ BAQ_3$. 综上所述, 若以 $A$,$B$,$Q$ 为顶点的三角形与 $△ ABC$ 全等, 则符合条件的点 $Q$ 的坐标为 $(0,6)$ 或 $(0,-6)$ 或 $(4,-6)$, 故答案为 $(0,6)$ 或 $(0,-6)$ 或 $(4,-6)$.

4[中]在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(4,3).
(1)如图,若△ABC是关于直线$l:y=1$对称的轴对称图形,求点B的坐标;
(2)如图,若△ABC是关于直线$l:y=a(a＜3)$对称的轴对称图形,求点B的坐标.(用含a的式子表示)

4.【解】(1)根据题意可知,点 $A$ 和点 $B$ 关于直线 $y=1$ 对称, 所以它们到直线 $y=1$ 的距离相等, 是 2 个单位, 且 $AB⊥ x$ 轴, 所以点 $B$ 的坐标是 $(4,-1)$.
(2)由题意可知, 点 $A$ 和点 $B$ 关于直线 $y=a(a＜3)$ 对称, 所以它们到直线 $y=a$ 的距离相等, 是 $(3-a)$ 个单位, 且 $AB⊥ x$ 轴, 所以点 $B$ 的横坐标为 4, 纵坐标为 $a-(3-a)=2a-3$, 所以点 $B$ 的坐标为 $(4,2a-3)$.

5[2025黑龙江哈尔滨质检,中]如图,在平面直角坐标系中,直线l为第一、三象限的角平分线.点P关于y轴的对称点为P的一次反射点,记为$P_1$,点$P_1$关于直线l的对称点称为点P的二次反射点,记为$P_2$.例如,点$(-1,2)$的一次反射点为$(1,2)$,二次反射点为$(2,1)$.根据定义,回答下列问题:
(1)点$(3,-4)$的一次反射点为,二次反射点为;
(2)若$P(m+1,2n-1)$的一次反射点和$Q(-3,4)$的二次反射点重合,求$m+n$的值.

刷素养 走向重高

5.【解】(1)根据题意,可得点 $(3,-4)$ 的一次反射点为 $(-3,-4)$, 二次反射点为 $(-4,-3)$. 故答案为 $(-3,-4)$,$(-4,-3)$.
(2)因为 $P(m+1,2n-1)$, 所以 $P$ 的一次反射点为 $(-m-1,2n-1)$. 因为 $Q(-3,4)$, 所以 $Q$ 的一次反射点为 $(3,4)$,$Q$ 的二次反射点为 $(4,3)$.
因为 $P(m+1,2n-1)$ 的一次反射点和 $Q(-3,4)$ 的二次反射点重合, 所以 $-m-1=4$,$2n-1=3$, 所以 $m=-5$,$n=2$, 所以 $m+n=-5+2=-3$.

6 核心素养 几何直观 [2026 浙江宁波期中,较难]如图,已知点$A(1,-4)$,$B(5,-1)$,点$P(m,0)$是$x$轴上一动点,点$Q(0,n)$是$y$轴上一动点,则以$A$,$B$,$P$,$Q$为顶点的四边形的最小周长为.

6.$5+\sqrt{61}$ 【解析】如图, 作点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点 $A'$, 作点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B'$, 连结 $A'B'$, 与 $y$ 轴交于点 $Q$, 与 $x$ 轴交于点 $P$, 此时以 $A$,$B$,$P$,$Q$ 为顶点的四边形的周长最小, 为 $AQ+QP+PB+AB=A'Q+QP+PB'+AB=A'B'+AB$. 因为点 $A(1,-4)$, 点 $B(5,-1)$, 所以点 $A'(-1,-4)$, 点 $B'(5,1)$, 所以 $A'B'=\sqrt{(5+1)^2+(1+4)^2}=\sqrt{61}$,$AB=\sqrt{(5-1)^2+(-1+4)^2}=5$, 所以以 $A$,$B$,$P$,$Q$ 为顶点的四边形的最小周长为 $A'B'+AB=5+\sqrt{61}$. 故答案为 $5+\sqrt{61}$.