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1 [2025 浙江舟山期中]在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，斜边 $BC=5$，则 $AB^2 + AC^2 + BC^2$ 的值为（
A.$15$
B.$25$
C.$50$
D.$60$
C
）A.$15$
B.$25$
C.$50$
D.$60$
答案
1.C 【解析】因为在 Rt△ABC 中,斜边 BC = 5,所以 AB²+AC² = BC² = 25,所以 AB²+AC²+BC² = 25+25 = 50,故选 C.
2 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$AB=5$,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,连结 AD,则 $△ ACD$ 的周长是 (
A.7
B.8
C.9
D.10
(第2题图)
(第3题图)
A
)A.7
B.8
C.9
D.10
(第2题图)
(第3题图)
答案
2.A 【解析】因为∠C = 90°,AC = 3,AB = 5,所以 BC = √(AB²-AC²) = 4. 因为 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,所以 AD = BD. 因为 BC = 4,所以 CD+AD = CD+BD = BC = 4,所以△ACD 的周长为 4+3 = 7. 故选 A.
3 如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△BEF的面积为
7.5
。答案
3.7.5 【解析】设 AE = x,则 ED = BE = 9-x. 根据勾股定理可得 3² + x² = (9-x)², 解得 x = 4, 所以 BE = 9-x = 5. 由折叠性质可得∠BEF = ∠FED. 因为 AD//BC, 所以∠FED = ∠BFE, 所以∠BEF = ∠BFE, 所以 BE = BF = 5, 所以 S△BFE = 1/2 ×5×3 = 7.5. 故答案为 7.5.
4[2026浙江温州期中]如图,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫作格点.
(1)在图中以格点为顶点画三角形,使三角形的三边长分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{13}$；
(2)由(1)中作出的图形,可得$\sqrt{5}+\sqrt{10}\_\_\_\_\_\_\sqrt{13}$(填“＞”“=”或“＜”).
(1)在图中以格点为顶点画三角形,使三角形的三边长分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{13}$；
(2)由(1)中作出的图形,可得$\sqrt{5}+\sqrt{10}\_\_\_\_\_\_\sqrt{13}$(填“＞”“=”或“＜”).
答案
4.【解】(1)如图所示,△ABC 即为所求.
(2)由三角形三边关系得,AC+AB＞BC,即√5 + √10 ＞ √13,故答案为＞.
思路分析
根据题意画出图形,求出需要的线段长度,再利用勾股定理求解即可.
5[2025江苏南京质检]放学后,贝贝和京京从学校分开,分别沿西南方向和东南方向回家,已知两人行走的速度都是40 m/min. 贝贝用15 min到家,京京用20 min到家,那么贝贝家与京京家之间的距离是（
A.600 m
B.800 m
C.1 000 m
D.无法计算
C
）A.600 m
B.800 m
C.1 000 m
D.无法计算
答案
5.C 【解析】如图.
因为两人行走的速度都是40 m/min,贝贝用15 min到家,京京用20 min到家,所以 OB = 40×20 = 800 ( m ), OA = 40×15 = 600( m ). 因为两人分别沿着西南方向和东南方向回家,所以∠AOB = 45°+45° = 90°,所以 AB = √(600²+800²) = 1 000( m ),故选 C.6[2025上海崇明区期末]如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为6 cm（玻璃杯厚度不计），高为16 cm，今有一根长22 cm的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最短为
2
cm.答案
6.2 【解析】如图所示,此时吸管露在杯口外的长度最短. 易知△ABC 是直角三角形,∠ACB = 90°. 因为玻璃杯底面半径为 6 cm,高为 16 cm,所以 AC = 12 cm, BC = 16 cm, 由勾股定理得 AB = √(AC²+BC²) = √(12²+16²) = 20 ( cm ), 所以吸管露在杯口外的长度最短为 22-20 = 2( cm ), 故答案为 2.
7[2026浙江宁波期中]如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙上,梯子底端B到墙底端C的距离为0.7米.
(1)求梯子的顶端到地面的距离AC的长.
(2)如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米,那么梯子的底端将向左移动多少米?
刷易错 小心有坑~
(1)求梯子的顶端到地面的距离AC的长.
(2)如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米,那么梯子的底端将向左移动多少米?
刷易错 小心有坑~
答案
7.【解】(1)在 Rt△ABC 中,AB = 2.5 米,BC = 0.7 米,所以 AC = √(AB²-BC²) = √(2.5²-0.7²) = 2.4(米).
(2)因为 AC = 2.4 米,AA' = 0.4 米,所以 A'C = 2 米.
在 Rt△A'B'C 中,A'B' = 2.5 米,A'C = 2 米,所以 B'C = √(A'B'²-A'C²) = √(2.5²-2²) = 1.5(米),所以 BB' = B'C-BC = 1.5-0.7 = 0.8(米). 故梯子的底端向左移动 0.8 米.
(2)因为 AC = 2.4 米,AA' = 0.4 米,所以 A'C = 2 米.
在 Rt△A'B'C 中,A'B' = 2.5 米,A'C = 2 米,所以 B'C = √(A'B'²-A'C²) = √(2.5²-2²) = 1.5(米),所以 BB' = B'C-BC = 1.5-0.7 = 0.8(米). 故梯子的底端向左移动 0.8 米.
8[2026浙江舟山期中]新定义:最长边的长度是最短边长度的三倍的三角形叫作“倍增三角形”.若$△ ABC$是“倍增三角形”,且$∠ ACB=90°$,$AB=6$,则$AC=$
2 或 √32
.答案
8.2 或 √32 【解析】在直角三角形 ABC 中,∠ACB = 90°,所以 AB 为斜边,所以 AB 是最长边. 设最短边的长度为 s,则 AB = 3s,即 6 = 3s,解得 s = 2,所以最短边的长度为 2,故 AC = 2 或 BC = 2. 若 BC = 2,则 AC = √(AB²-BC²) = √(6²-2²) = √32. 综上,AC 的长为 2 或 √32. 故答案为 2 或 √32.
易错警示
注意分 AC = 2 和 BC = 2 两种情况讨论.
易错警示
注意分 AC = 2 和 BC = 2 两种情况讨论.
