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12(2026·扬州仪征期中)在平面直角坐标系中，若A(1,-1),B(3,3),C(5,n)三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(
A.$n≠3$
B.$n≤5$
C.$n＞6$
D.$n≠7$
D
).A.$n≠3$
B.$n≤5$
C.$n＞6$
D.$n≠7$
答案
12.D
13 分类讨论思想（2026·南京金陵汇文中学月考）已知直角三角形的两边分别为3 cm，4 cm，则这个三角形外接圆的半径是
2.5 cm或2 cm
。答案
13.2.5 cm或2 cm
14(1)尺规作图,作出$△ ABC$的外接圆(不写作图过程,但保留作图痕迹);
(2)若$AB=4\sqrt{2}$,$∠ B=45°$,$BC=6$,求$△ ABC$外接圆的半径长.
(2)若$AB=4\sqrt{2}$,$∠ B=45°$,$BC=6$,求$△ ABC$外接圆的半径长.
答案
14.(1)尺规作图,如图(1)。
(2)如图(2)所示,连接OB.
∵DH,OE分别垂直平分AB,BC,$AB=4\sqrt{2}$,$BC=6$,
∴$BD=2\sqrt{2}$,$BE=3$.
∵$∠ABC=45°,∠BDO=90°$,
∴$DH=2\sqrt{2}$,$BH=\sqrt{BD^2 + DH^2}=4$,$∠EHO=45°$,
∴$OE=EH=BH-BE=4-3=1$,$\therefore BO=\sqrt{10}$,
∴$△ABC$外接圆的半径长为$\sqrt{10}$.
15 如图,已知在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°.求证:四边形ABCD有外接圆.
答案
15.连接AC,取AC的中点O,连接BO,DO.
在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$AO=CO=BO$,
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$AO=DO=CO$,$\therefore AO=CO=BO=DO$.
∴点A,B,C,D均在以O为圆心,AO为半径的圆上,即四边形ABCD有外接圆.
→若四边形中有两个对角为$90°$,则四边形可以确定一个圆. 且圆心为另一条对角线的中点.
在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$AO=CO=BO$,
在$\mathrm{Rt}△ACD$中,$AO=DO=CO$,$\therefore AO=CO=BO=DO$.
∴点A,B,C,D均在以O为圆心,AO为半径的圆上,即四边形ABCD有外接圆.
→若四边形中有两个对角为$90°$,则四边形可以确定一个圆. 且圆心为另一条对角线的中点.
16 新考法 新定义问题（2026·盐城东台月考）阅读下列材料：
已知实数$m,n$满足$(2m^2 + n^2 + 1)(2m^2 + n^2 - 1)=80$，试求$2m^2 + n^2$的值.
解：设$2m^2 + n^2 = t$，则原方程变为$(t + 1)(t - 1)=80$，整理得$t^2 -1=80$，$t^2=81$，所以$t=\pm9$.因为$2m^2 +n^2≥0$，所以$2m^2 +n^2=9$.
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数$x,y$，满足$(2x^2 + 2y^2 +3)(2x^2 +2y^2 -3)=27$，求$x^2 + y^2$的值；
(2)已知$\mathrm{Rt}△ ACB$的三边分别为$a,b,c$（$c$为斜边），其中$a,b$满足$(a^2 + b^2)(a^2 + b^2 -4)=5$，求$\mathrm{Rt}△ ACB$外接圆的半径.
已知实数$m,n$满足$(2m^2 + n^2 + 1)(2m^2 + n^2 - 1)=80$，试求$2m^2 + n^2$的值.
解：设$2m^2 + n^2 = t$，则原方程变为$(t + 1)(t - 1)=80$，整理得$t^2 -1=80$，$t^2=81$，所以$t=\pm9$.因为$2m^2 +n^2≥0$，所以$2m^2 +n^2=9$.
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数$x,y$，满足$(2x^2 + 2y^2 +3)(2x^2 +2y^2 -3)=27$，求$x^2 + y^2$的值；
(2)已知$\mathrm{Rt}△ ACB$的三边分别为$a,b,c$（$c$为斜边），其中$a,b$满足$(a^2 + b^2)(a^2 + b^2 -4)=5$，求$\mathrm{Rt}△ ACB$外接圆的半径.
答案
16.(1)设$2x^2 + 2y^2 = t$,
则原方程可变为$(t+3)(t-3)=27$,解得$t=\pm6$.
$\because 2x^2 + 2y^2 \ge 0$,$\therefore 2x^2 + 2y^2 =6$,$\therefore x^2 + y^2 =3$.
(2)设$a^2 + b^2 = m$,则原方程可变为$m(m-4)=5$,
即$m^2 -4m -5=0$,解得$m_1=5$,$m_2=-1$.
$\because a^2 + b^2 \ge 0$,$\therefore a^2 + b^2 =5$,$\therefore c^2=5$,$\therefore c=\sqrt{5}$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ACB$外接圆的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
则原方程可变为$(t+3)(t-3)=27$,解得$t=\pm6$.
$\because 2x^2 + 2y^2 \ge 0$,$\therefore 2x^2 + 2y^2 =6$,$\therefore x^2 + y^2 =3$.
(2)设$a^2 + b^2 = m$,则原方程可变为$m(m-4)=5$,
即$m^2 -4m -5=0$,解得$m_1=5$,$m_2=-1$.
$\because a^2 + b^2 \ge 0$,$\therefore a^2 + b^2 =5$,$\therefore c^2=5$,$\therefore c=\sqrt{5}$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ACB$外接圆的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
