1.如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,BE平分$∠ ABC$交边AC于点E,$∠ BAC=55°$,$∠ ABE=25°$,则$∠ CAD$的度数是 ()

A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$

第1题图 变式题图

1.A

【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：①首先根据角平分线的定义，由已知的∠ABE的度数求出∠ABC的度数；②再利用三角形内角和为180°，结合已知的∠BAC的度数，求出∠C的度数；③最后根据AD是BC边上的高可得∠ADC=90°，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，∠ABE=25°，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∵在△ABC中，∠BAC=55°，∠ABC=50°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-50°=75°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠C=90°-75°=15°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题的关键是理清角与角之间的数量关系，结合相关性质逐步推导即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

· 条件变式 ·
[2026·合肥期中]如图,在$△ ABC$中,$∠ BCA = 30°,∠ ABC = 80°$.若$BD$,$AE$分别是$△ ABC$的高和角平分线,且交点为$O$,则$∠ DOE$的度数为.

125°

【分析】
要计算∠DOE的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再结合角平分线的定义得到∠CAE的度数；然后根据高的性质得到△AOD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠AOD的度数；最后根据邻补角的和为180°，即可算出∠DOE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠BAC = 180° - ∠BCA - ∠ABC = 180° - 30° - 80° = 70°
∵AE是△ABC的角平分线
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°
∵BD是△ABC的高
∴BD⊥AC，即∠ADO = 90°
在Rt△AOD中，∠AOD = 180° - ∠ADO - ∠CAE = 180° - 90° - 35° = 55°
∵点A、O、E共线，∠AOD与∠DOE互为邻补角
∴∠DOE = 180° - ∠AOD = 180° - 55° = 125°
【答案】
125°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题时需要结合角平分线、高的性质，灵活运用三角形内角和与邻补角的关系求解，解题思路不唯一，也可通过四边形内角和或对顶角的性质推导结果。
【难度系数】
0.7

2.如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$于点$D$,$AE$平分$∠ BAC$.
(1)若$∠ B=70°$,$∠ C=34°$,则$∠ DAE$的度数为________;
(2)若$∠ B＞∠ C$,探究$∠ B$,$∠ C$,$∠ DAE$之间的数量关系,并说明理由.

解:(1)$18°$
(2)$∠DAE=\frac{1}{2}(∠B−∠C)$.理由:
$\because ∠BAC=180°−∠B−∠C$,AE平分$∠BAC$,
$\therefore ∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180°−∠B−∠C)=90°−\frac{1}{2}∠B−\frac{1}{2}∠C$.
$\because AD⊥BC,\therefore ∠ADC=90°.\therefore ∠CAD=90°−∠C$.
$\therefore ∠DAE=∠CAD−∠CAE=90°−∠C−(90°−\frac{1}{2}∠B−\frac{1}{2}∠C)=\frac{1}{2}(∠B−∠C)$.

【分析】
解决本题的思路如下：首先针对（1）问，先利用三角形内角和定理求出$∠ BAC$的度数，再根据角平分线的性质得到$∠ CAE$的度数，结合$AD⊥ BC$的条件，在$Rt△ ADC$中求出$∠ CAD$的度数，最后通过$∠ CAD$与$∠ CAE$的差即可算出$∠ DAE$的度数。（2）问的推导思路和（1）问完全一致，仅把具体的角度替换为$∠ B$、$∠ C$，通过代数化简就能得出三者的数量关系。
【解析】
(1) 先计算$∠ BAC$的度数：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-34°=76°$
$\because AE$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×76°=38°$
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADC=90°$，在$Rt△ ADC$中，$∠ CAD=90°-∠ C=90°-34°=56°$
$\therefore ∠ DAE=∠ CAD-∠ CAE=56°-38°=18°$
(2) 数量关系为$∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$，理由如下：
$\because ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$，$AE$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADC=90°$，$\therefore ∠ CAD=90°-∠ C$。
$\therefore ∠ DAE=∠ CAD-∠ CAE=90°-∠ C-(90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C)=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{18°}$；(2) $\boldsymbol{∠DAE=\frac{1}{2}(∠B−∠C)}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的经典题型，将角平分线、高的性质与三角形内角和结合考查，解题的核心是理清各个角之间的和差关系，掌握本题的推导结论可以快速解答同类型的角度计算问题。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$交BC于点D,点F在DA的延长线上,$FE⊥ BC$,垂足为点E,$∠ B=36°,∠ C=70°$.求$∠ DFE$的度数.

解:$\because ∠B=36°,∠C=70°$,
$\therefore ∠BAC=180°−∠B−∠C=74°$.
$\because AD$平分$∠BAC,\therefore ∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=37°$.
$\therefore ∠ADE=∠B+∠BAD=73°$.
$\because FE⊥BC,\therefore ∠FEB=90°$.
$\therefore ∠DFE=90°−∠ADE=17°$.

【分析】
要求∠DFE的度数，首先观察到FE⊥BC，可知△FED为直角三角形，∠DFE与∠ADE互余，因此只需先求出∠ADE的度数即可。∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角性质，∠ADE=∠B+∠BAD，已知∠B的度数，因此需先求∠BAD的度数。已知AD平分∠BAC，因此∠BAD=½∠BAC，而∠BAC可通过三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数求出，按此思路逐步推导即可得到结果。
【解析】
解：$\because ∠B=36°,∠C=70°$，
$\therefore ∠BAC=180°−∠B−∠C=180°-36°-70°=74°$。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×74°=37°$。
根据三角形外角的性质，$∠ADE=∠B+∠BAD=36°+37°=73°$。
$\because FE⊥BC$，
$\therefore ∠FEB=90°$，即$△ FDE$为直角三角形，$∠DFE$与$∠ADE$互余。
$\therefore ∠DFE=90°−∠ADE=90°-73°=17°$。
【答案】
$17°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，综合考查了三角形相关的角度性质，解题的关键是理清角度之间的转化关系，结合相关性质逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7

4. [2026·桐城期中]在$△ ABC$中，$∠ C＞∠ B$，AE平分$∠ BAC$，F为射线AE上一点(不与点E重合)，且$FD⊥ BC$于点D.
(1)如果点F在线段AE上(不与点A重合)，如图①，$∠ EFD$与$∠ C-∠ B$有怎样的数量关系？说明理由.
(2)如果点F在$△ ABC$外部，如图②，此时$∠ EFD$与$∠ C-∠ B$的数量关系是.

解:(1)$∠EFD=\frac{1}{2}(∠C−∠B)$.
理由:$\because AE$平分$∠BAC$,
$\therefore ∠BAE=\frac{1}{2}(180°−∠B−∠C)=90°−\frac{1}{2}(∠C+∠B)$.
$\because ∠AEC$为$△ABE$的外角，
$\therefore ∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+90°−\frac{1}{2}(∠C+∠B)=90°+\frac{1}{2}(∠B−∠C)$.
$\because FD⊥BC,\therefore ∠FDE=90°$,
$\therefore ∠EFD=90°−∠AEC=90°−[90°+\frac{1}{2}(∠B−∠C)]=\frac{1}{2}(∠C−∠B)$.
(2)$∠EFD=\frac{1}{2}(∠C−∠B)$

【分析】
要探究∠EFD与∠C-∠B的数量关系，可按以下思路推导：
1. 先利用角平分线的定义，结合三角形内角和，将∠BAE用∠B和∠C表示；
2. 再利用三角形外角的性质，将∠AEC（即∠FED）用∠B和∠C表示；
3. 最后结合FD⊥BC得到的直角三角形两锐角互余的性质，代入化简即可得到两者的数量关系。第(2)问F在△ABC外时，推导逻辑和第(1)问一致，仅角度的位置略有不同，核心转化关系不变。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠EFD=\frac{1}{2}(∠C−∠B)}$，理由如下：
∵ AE平分$∠BAC$，
∴ $∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180°−∠B−∠C)=90°−\frac{1}{2}(∠C+∠B)$。
∵ $∠AEC$为$△ABE$的外角，
∴ $∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+90°−\frac{1}{2}(∠C+∠B)=90°+\frac{1}{2}(∠B−∠C)$。
∵ $FD⊥BC$，
∴ $∠FDE=90°$，
在$Rt△EFD$中，$∠EFD=90°−∠AEC$，
代入得：$∠EFD=90°−[90°+\frac{1}{2}(∠B−∠C)]=\frac{1}{2}(∠C−∠B)$。
(2) 推导思路同(1)，利用角平分线性质、三角形外角性质和直角三角形两锐角互余，可得$∠EFD=\frac{1}{2}(∠C−∠B)$。
【答案】
(1) $∠EFD=\frac{1}{2}(∠C−∠B)$，理由见解析；
(2) $∠EFD=\frac{1}{2}(∠C−∠B)$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形外角的性质
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，核心是通过角平分线、外角性质实现角度的转化，建立所求角和已知角的关联，解题时注意角度的运算符号，避免化简时出错。
【难度系数】
0.6