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1[2026江苏连云港期中]如图,把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积扩大了一倍,则小圆形场地的半径为 (
A.5 m
B.$(5+\sqrt{2})$m
C.$(5+3\sqrt{2})$m
D.$(5+5\sqrt{2})$m
(第1题图)
(第2题图)
D
)A.5 m
B.$(5+\sqrt{2})$m
C.$(5+3\sqrt{2})$m
D.$(5+5\sqrt{2})$m
(第1题图)
(第2题图)
答案
【解析】设小圆形场地的半径为 x m,则大圆形场地的半径为 (x+5) m. 根据题意可得 π(x+5)²=2πx²,解得 x=5+5√2 或 x=5-5√2 (不合题意,舍去),故选 D.
2[2026黑龙江佳木斯期中]锦绣家园小区在一块长方形空地上建一个停车场,其布局如图所示.已知停车场的长为52米,宽为34米,阴影部分设计为停车位,其余部分是宽度相同的通道,要使停车位占地面积为880平方米,则通道宽度应为
6
米.答案
【解析】设通道宽度为 x 米. 由题意,得(52-2x)(34-2x)= 880,解得 x=6 或 x=37 (不符合题意,舍去).故答案为 6.
3[2026福建泉州期中]某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场最北边的一面长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入。设矩形场地的宽EF为x米。
(1)FN的长为
(2)若围成的矩形场地的面积为384平方米，求矩形场地的宽EF.
(1)FN的长为
72-3x
米.(用含x的代数式表示)(2)若围成的矩形场地的面积为384平方米，求矩形场地的宽EF.
答案
【解】(1)
∵ 矩形场地的宽 EF 为 x 米,
∴ FN=68-3x+2×2=(72-3x)米,故答案为(72-3x).
(2)由题意得 x(72-3x)= 384,x²-24x+128=0,解得 x=8 或 x=16. 当 x=8 时,72-3x=72-3×8=48＞36,不符合题意,舍去;当 x = 16 时,72-3x=72-3×16=24＜36,符合题意.
答:矩形场地的宽 EF 为 16 米.
∵ 矩形场地的宽 EF 为 x 米,
∴ FN=68-3x+2×2=(72-3x)米,故答案为(72-3x).
(2)由题意得 x(72-3x)= 384,x²-24x+128=0,解得 x=8 或 x=16. 当 x=8 时,72-3x=72-3×8=48＞36,不符合题意,舍去;当 x = 16 时,72-3x=72-3×16=24＜36,符合题意.
答:矩形场地的宽 EF 为 16 米.
4[2026四川成都质检]对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列说法错误的是（
A.至少存在一个钝角三角形
B.至多存在一个直角三角形
C.至少存在一个锐角三角形
D.至多存在一个钝角三角形
A
）A.至少存在一个钝角三角形
B.至多存在一个直角三角形
C.至少存在一个锐角三角形
D.至多存在一个钝角三角形
答案
【解析】设三个连续正整数 n,n+1,n+2 为三角形的三边长,则 n+2＜n+n+1,
∴ n＞1. 若所构成的三角形是钝角三角形,则 n²+(n+1)²＜(n+2)²,即 n²-2n-3＜0,
∴ (n+1)(n-3)＜0.
∵ n+1＞0,
∴ n-3＜0,
∴ n＜3. 又
∵ n＞1,
∴ n=2,
∴ n+1=3,n+2=4,即至多存在一个钝角三角形,三边长为2,3,4,故选项 A 不符合题意,选项 D 符合题意. 若所构成的三角形是直角三角形,则 n²+(n+1)²=(n+2)²,即 n²-2n-3=0,解得 n₁=3,n₂=-1(不符合题意,舍去),
∴ n+1=4,n+2=5,即至多存在一个直角三角形,三边长为3,4,5,故选项 B 不符合题意. 若所构成的三角形是锐角三角形,则 n²+(n+1)²＞(n+2)²,即 n²-2n-3＞0,
∴ (n+1)(n-3)＞0.
∵ n+1＞0,
∴ n-3＞0,
∴ n＞3,
∴ 至少存在一个锐角三角形,故选项 C 不符合题意. 故选 A.
∴ n＞1. 若所构成的三角形是钝角三角形,则 n²+(n+1)²＜(n+2)²,即 n²-2n-3＜0,
∴ (n+1)(n-3)＜0.
∵ n+1＞0,
∴ n-3＜0,
∴ n＜3. 又
∵ n＞1,
∴ n=2,
∴ n+1=3,n+2=4,即至多存在一个钝角三角形,三边长为2,3,4,故选项 A 不符合题意,选项 D 符合题意. 若所构成的三角形是直角三角形,则 n²+(n+1)²=(n+2)²,即 n²-2n-3=0,解得 n₁=3,n₂=-1(不符合题意,舍去),
∴ n+1=4,n+2=5,即至多存在一个直角三角形,三边长为3,4,5,故选项 B 不符合题意. 若所构成的三角形是锐角三角形,则 n²+(n+1)²＞(n+2)²,即 n²-2n-3＞0,
∴ (n+1)(n-3)＞0.
∵ n+1＞0,
∴ n-3＞0,
∴ n＞3,
∴ 至少存在一个锐角三角形,故选项 C 不符合题意. 故选 A.
5[2026山东青岛质检]阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.
如图，矩形$A_1B_1C_1D_1$是
ABCD的“减半”矩形.
任务：
(1)当一个矩形的长为40，宽为4时，若存在它的“减半”矩形，则它的“减半”矩形的周长为
(2)当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由.
快来夸我鸭
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.
如图，矩形$A_1B_1C_1D_1$是
ABCD的“减半”矩形.任务：
(1)当一个矩形的长为40，宽为4时，若存在它的“减半”矩形，则它的“减半”矩形的周长为
44
，面积为80
.(2)当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，求出“减半”矩形的长和宽；如果不存在，请说明理由.
快来夸我鸭
答案
【解】(1)依题意可知,当一个矩形的长为40,宽为4时,若存在它的“减半”矩形,则它的“减半”矩形的周长为$\frac{1}{2}×2×(40+4)=44$,面积为$\frac{1}{2}×40×4=80$. 故答案为44,80.
(2)存在. 设“减半”矩形的长为 x,则宽为$\frac{9}{2}-x$.
依题意得 $x(\frac{9}{2}-x)=\frac{1}{2}×8×1$,整理得 $x^2-\frac{9}{2}x+4=0$,解得 $x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4}$,$x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$. 当 $x=\frac{9+\sqrt{17}}{4}$时,$\frac{9}{2}-x=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$,符合题意;当 $x=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$时,$\frac{9}{2}-x=\frac{9+\sqrt{17}}{4}＞\frac{9-\sqrt{17}}{4}$,不合题意,舍去.
∴ 长为8,宽为1的矩形存在“减半”矩形,且“减半”矩形的长为$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$,宽为$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$.
(2)存在. 设“减半”矩形的长为 x,则宽为$\frac{9}{2}-x$.
依题意得 $x(\frac{9}{2}-x)=\frac{1}{2}×8×1$,整理得 $x^2-\frac{9}{2}x+4=0$,解得 $x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4}$,$x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$. 当 $x=\frac{9+\sqrt{17}}{4}$时,$\frac{9}{2}-x=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$,符合题意;当 $x=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$时,$\frac{9}{2}-x=\frac{9+\sqrt{17}}{4}＞\frac{9-\sqrt{17}}{4}$,不合题意,舍去.
∴ 长为8,宽为1的矩形存在“减半”矩形,且“减半”矩形的长为$\frac{9+\sqrt{17}}{4}$,宽为$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$.
