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1 若$a,b$是一元二次方程$x^2 - 2018x +1=0$的两根，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值是（
A.2017
B.2018
C.$\frac{1}{2017}$
D.$\frac{1}{2018}$
B
）A.2017
B.2018
C.$\frac{1}{2017}$
D.$\frac{1}{2018}$
答案
1. B 【解析】
∵a,b是一元二次方程$x^2 - 2018x +1=0$的两根，
∴$a+b=2018$，$ab=1$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{2018}{1}=2018$. 故选B.
∵a,b是一元二次方程$x^2 - 2018x +1=0$的两根，
∴$a+b=2018$，$ab=1$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{2018}{1}=2018$. 故选B.
2 新考法[2026江苏南京质检]当$a=1,b=m$，$c=-15$时，代数式$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为3，则代数式$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为（
A.5
B.-5
C.1
D.-1
B
）A.5
B.-5
C.1
D.-1
答案
2. B 【解析】
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
∴$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-15}{1}=-15$.
∵代数式$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为3，
∴代数式$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为-5，故选B.
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
∴$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-15}{1}=-15$.
∵代数式$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为3，
∴代数式$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的值为-5，故选B.
3[2025 山西临汾质检]已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若$2a+b=0$，且方程的一个根大于2，则另一个根是（
A.正数
B.负数
C.0
D.无法确定
B
）A.正数
B.负数
C.0
D.无法确定
答案
3. B 【解析】
∵$2a+b=0$，
∴$-\frac{b}{a}=2$，即方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和为2.
∵该方程的一个根大于2，
∴另一个根必是负数. 故选B.
∵$2a+b=0$，
∴$-\frac{b}{a}=2$，即方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和为2.
∵该方程的一个根大于2，
∴另一个根必是负数. 故选B.
4 新考向开放性试题 [2025广东揭阳期中]请写出一个满足下列条件的一元二次方程:二次项系数为1,且两根之和为正数,两根之积为负数.你所写的一元二次方程是
$x^2-2x-8=0$(答案不唯一)
.答案
4. $x^2-2x-8=0$(答案不唯一) 【解析】
∵二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数，
∴这个方程可以为$x^2-2x-8=0$. 故答案为$x^2-2x-8=0$(答案不唯一).
∵二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数，
∴这个方程可以为$x^2-2x-8=0$. 故答案为$x^2-2x-8=0$(答案不唯一).
5[2025湖南怀化质检]已知$m,n$是不为0的实数，且$m≠n$，若$m+\frac{1}{m}=5$，$n+\frac{1}{n}=5$，则$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为
23
。答案
5. 23 【解析】
∵m,n是不为0的实数，
∴由$m+\frac{1}{m}=5$，$n+\frac{1}{n}=5$，得$m^2-5m+1=0$，$n^2-5n+1=0$. 又
∵$m≠n$，
∴m,n为一元二次方程$x^2-5x+1=0$的两个不相等的实数根，
∴$m+n=-\frac{-5}{1}=5$，$mn=1$，
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2+m^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\frac{25-2}{1}=23$.
∵m,n是不为0的实数，
∴由$m+\frac{1}{m}=5$，$n+\frac{1}{n}=5$，得$m^2-5m+1=0$，$n^2-5n+1=0$. 又
∵$m≠n$，
∴m,n为一元二次方程$x^2-5x+1=0$的两个不相等的实数根，
∴$m+n=-\frac{-5}{1}=5$，$mn=1$，
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{n^2+m^2}{mn}=\frac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\frac{25-2}{1}=23$.
6[2026福建厦门质检]已知实数$k,m,n(m+n≠0)$满足$m^2+4m-1=k$，$n^2-4n-k=1$。若$m,n$异号，则$k$的取值范围为
$-5＜k＜-1$
。答案
6. $-5＜k＜-1$ 【解析】
∵$m^2+4m-1=k$，$n^2-4n-k=1$，$m+n≠0$，
∴$m^2+4m-k-1=0$，$(-n)^2+4(-n)-k-1=0$，
∴m,-n可看作方程$x^2+4x-k-1=0$的两个不相等的实数根，
∴$\Delta=4^2-4(-k-1)＞0$，解得$k＞-5$. 根据根与系数的关系得$m·(-n)=-k-1$，即$mn=k+1$.
∵m,n异号，
∴$k+1＜0$，解得$k＜-1$，
∴k的取值范围为$-5＜k＜-1$. 故答案为$-5＜k＜-1$.
∵$m^2+4m-1=k$，$n^2-4n-k=1$，$m+n≠0$，
∴$m^2+4m-k-1=0$，$(-n)^2+4(-n)-k-1=0$，
∴m,-n可看作方程$x^2+4x-k-1=0$的两个不相等的实数根，
∴$\Delta=4^2-4(-k-1)＞0$，解得$k＞-5$. 根据根与系数的关系得$m·(-n)=-k-1$，即$mn=k+1$.
∵m,n异号，
∴$k+1＜0$，解得$k＜-1$，
∴k的取值范围为$-5＜k＜-1$. 故答案为$-5＜k＜-1$.
7[2026贵州遵义期末]已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x +k=0$有两个实数根.
(1)求$k$的取值范围.
(2)是否存在实数$k$的值,使得一元二次方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且满足$2(x_1+x_2)=x_1x_2 -4$?若存在,请求出$k$的值;若不存在,请说明理由.
刷易错……小心有坑~
(1)求$k$的取值范围.
(2)是否存在实数$k$的值,使得一元二次方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且满足$2(x_1+x_2)=x_1x_2 -4$?若存在,请求出$k$的值;若不存在,请说明理由.
刷易错……小心有坑~
答案
7.【解】(1)
∵关于x的一元二次方程$x^2-4x+k=0$有两个实数根，
∴$\Delta\ge0$，
∴$(-4)^2-4×1× k\ge0$，
∴$k\le4$.
(2)不存在实数k的值，使得方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$2(x_1+x_2)=x_1x_2-4$.
理由如下：假设满足题意的k的值存在.
∵$x^2-4x+k=0$，
∴$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=k$.
∵$2(x_1+x_2)=x_1x_2-4$，
∴$2×4=k-4$，
∴$k=12$. 由(1)得$k\le4$，$k=12$不在$k\le4$的范围内，
∴不存在实数k的值，使得一元二次方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$2(x_1+x_2)=x_1x_2-4$.
∵关于x的一元二次方程$x^2-4x+k=0$有两个实数根，
∴$\Delta\ge0$，
∴$(-4)^2-4×1× k\ge0$，
∴$k\le4$.
(2)不存在实数k的值，使得方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$2(x_1+x_2)=x_1x_2-4$.
理由如下：假设满足题意的k的值存在.
∵$x^2-4x+k=0$，
∴$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=k$.
∵$2(x_1+x_2)=x_1x_2-4$，
∴$2×4=k-4$，
∴$k=12$. 由(1)得$k\le4$，$k=12$不在$k\le4$的范围内，
∴不存在实数k的值，使得一元二次方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$2(x_1+x_2)=x_1x_2-4$.
8 关于$x$的一元二次方程$x^2-(2m-1)x+m^2=0$的两根为$a,b$，且$a+b=ab-4$，求$m$的值.
嘉佳的解题过程如下：
解：∵$a+b=2m-1$，$ab=m^2$，
∴$2m-1=m^2-4$，
整理，得$m^2-2m-3=0$，
解得$m_1=-1$，$m_2=3$.
嘉佳的解题过程漏考虑了哪个条件？请写出正确的解题过程.
嘉佳的解题过程如下：
解：∵$a+b=2m-1$，$ab=m^2$，
∴$2m-1=m^2-4$，
整理，得$m^2-2m-3=0$，
解得$m_1=-1$，$m_2=3$.
嘉佳的解题过程漏考虑了哪个条件？请写出正确的解题过程.
答案
8.【解】嘉佳的解题过程漏考虑了$\Delta\ge0$这一条件.
正确的解题过程如下：根据题意得$\Delta=(2m-1)^2-4m^2\ge0$，解得$m\le\frac{1}{4}$.
∵$a+b=2m-1$，$ab=m^2$，
∴$2m-1=m^2-4$，整理得$m^2-2m-3=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=3$(舍去)，
∴m的值为-1.
正确的解题过程如下：根据题意得$\Delta=(2m-1)^2-4m^2\ge0$，解得$m\le\frac{1}{4}$.
∵$a+b=2m-1$，$ab=m^2$，
∴$2m-1=m^2-4$，整理得$m^2-2m-3=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=3$(舍去)，
∴m的值为-1.
