1. 定义:若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ ($ a ≠ 0 $)的两个实数根分别为 $ x_1, x_2 (x_1 ＜ x_2) $，分别以 $ x_1, x_2 $ 为横坐标和纵坐标得到点 $ M(x_1, x_2) $，则称点 $ M $ 为该一元二次方程的衍生点.
(1)直接写出方程 $ x^2 + 2x = 0 $ 的衍生点 $ M $ 的坐标为 .
(2)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 2m = 0 $.
①求证:不论 $ m $ 为何值,该方程总有两个不相等的实数根;
②求该方程衍生点 $ M $ 的坐标;
③已知不论 $ k(k ≠ 0) $ 为何值,关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的衍生点 $ M $ 始终在直线 $ y = -kx + 2(4 + k) $ 上,求 $ b,c $ 的值.

(1) $(-2,0)$
(2)①
∵ 方程为 $x^2-2(m+1)x+m^2+2m=0$,
∴ $\Delta = [-2(m+1)]^2-4(m^2+2m)=4＞0$,
∴ 不论 $m$ 为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
②$x^2-2(m+1)x+m^2+2m=0$,$(x-m)(x-2-m)=0$,
∴ $x_1=m$, $x_2=m+2$,
∴ 该方程的衍生点 $M$ 的坐标为$(m,m+2)$.
③直线 $y=-kx+2(4+k)=k(2-x)+8$,过定点 $M(2,8)$,
∴ $x^2+bx+c=0$ 的两个根为 $x_1=2$,$x_2=8$,
∴ $2+8=-b$,$2×8=c$,
∴ $b=-10$,$c=16$.

2. (2026·兰州期中)阅读与思考.
定义:若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如$x^2=4$和$(x-2)(x+3)=0$有且只有一个相同的实数根$x=2$,所以这两个方程为“同伴方程”.
(1)根据所学定义,下列方程属于“同伴方程”的有.(填序号)
①$(x-1)^2=9$;②$x^2-4x+4=0$;③$(x+4)(x+2)=0$.
(2)关于$x$的一元二次方程$x^2-2x=0$与$x^2+3x+m-1=0$为“同伴方程”,求$m$的值.
(3)若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$同时满足$a+b+c=0$和$a-b+c=0$,且与$(x+3)(x+n)=0$互为“同伴方程”,求$n$的值.

(1) ①③ 解析:①解方程$(x-1)^2=9$,可得$x_1=4$,$x_2=-2$;②解方程$x^2-4x+4=0$,可得$x_1=x_2=2$;③解方程$(x+4)(x+2)=0$,可得$x_1=-4$,$x_2=-2$.其中方程①和方程③有且只有一个相同的实数根,
∴ 方程①③是“同伴方程”.
(2)解方程$x^2-2x=0$,可得$x_1=2$,$x_2=0$,当相同的根是$x=2$时,把$x=2$代入方程$x^2+3x+m-1=0$,可得$2^2+3×2+m-1=0$,解得$m=-9$;此时方程为$x^2+3x-10=0$,可得$x_1=2$,$x_2=-5$,符合题意;当相同的根是$x=0$时,把$x=0$代入方程$x^2+3x+m-1=0$,可得$0^2+3×0+m-1=0$,解得$m=1$,此时方程为$x^2+3x=0$,可得$x_1=0$,$x_2=-3$,符合题意.
∴ $m$的值是1或-9.
(3)
∵ 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$同时满足$a+b+c=0$和$a-b+c=0$,
∴ 方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解是$x_1=1$,$x_2=-1$.
∵ 方程$(x+3)(x+n)=0$的解为$x_1=-3$,$x_2=-n$.且方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$与方程$(x+3)(x+n)=0$是“同伴方程”,
∴ $-n=1$或$-n=-1$,
∴ $n=-1$或1.