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3. (2026·永州期中)若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根均为整数,则称方程为“快乐方程”,通过计算发现,任何一个“快乐方程”的判别式$(b^2-4ac)$一定为完全平方数,现规定$F(a,b,c)=\frac{4ac-b^2}{4a}$为该“快乐方程”的“快乐数”,例如“快乐方程”$x^2-3x-4=0$的两根均为整数,其“快乐数”$F(1,-3,-4)=\frac{4×1×(-4)-(-3)^2}{4×1}=-\frac{25}{4}$.若有另一个“快乐方程”$px^2+qx+r=0(p≠0)$的“快乐数”$F(p,q,r)$,且满足$r·F(a,b,c)=c·F(p,q,r)$,则称$F(a,b,c)$与$F(p,q,r)$互为“开心数”.
(1)“快乐方程”$x^2-2x-3=0$的“快乐数”为
(2)若关于x的一元二次方程$x^2-(2m-1)x+m^2-2m-3=0(m为整数,且1＜m＜6)$是“快乐方程”,求m的值;
(3)已知关于x的一元二次方程$x^2-5x+6=0$与$x^2-(n+2)x+2n=0(n为整数)$都是“快乐方程”,它们的“快乐数”互为“开心数”,求n的值.
(1)“快乐方程”$x^2-2x-3=0$的“快乐数”为
-4
;(2)若关于x的一元二次方程$x^2-(2m-1)x+m^2-2m-3=0(m为整数,且1＜m＜6)$是“快乐方程”,求m的值;
(3)已知关于x的一元二次方程$x^2-5x+6=0$与$x^2-(n+2)x+2n=0(n为整数)$都是“快乐方程”,它们的“快乐数”互为“开心数”,求n的值.
答案
(1) -4 解析:方程$x^2-2x-3=0$的“快乐数”$F(1,-2,-3)=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$.
(2)关于$x$的一元二次方程$x^2-(2m-1)x+m^2-2m-3=0$,$\Delta = b^2-4ac=4m+13$.
∵ $m$为整数,且$1＜m＜6$,即$17＜4m+13＜37$,$4m+13=25$或$4m+13=36$,
∴ $m=3$,$m=\frac{23}{4}$(舍去).
(3)$x^2-5x+6=0$,$F(1,-5,6)=\frac{4×1×6-(-5)^2}{4×1}=-\frac{1}{4}$.$x^2-(n+2)x+2n=0$,$\Delta=(n-2)^2$,$F[1,-(n+2),2n]=-\frac{(n-2)^2}{4}$.依题意得,$6×[-\frac{(n-2)^2}{4}]=-\frac{1}{4}×2n$,即$2n×(-\frac{1}{4})-6×[-\frac{(n-2)^2}{4}]=0$,解得$n=3$或$n=\frac{4}{3}$(不合题意),
∴ $n$的值为3.
(2)关于$x$的一元二次方程$x^2-(2m-1)x+m^2-2m-3=0$,$\Delta = b^2-4ac=4m+13$.
∵ $m$为整数,且$1＜m＜6$,即$17＜4m+13＜37$,$4m+13=25$或$4m+13=36$,
∴ $m=3$,$m=\frac{23}{4}$(舍去).
(3)$x^2-5x+6=0$,$F(1,-5,6)=\frac{4×1×6-(-5)^2}{4×1}=-\frac{1}{4}$.$x^2-(n+2)x+2n=0$,$\Delta=(n-2)^2$,$F[1,-(n+2),2n]=-\frac{(n-2)^2}{4}$.依题意得,$6×[-\frac{(n-2)^2}{4}]=-\frac{1}{4}×2n$,即$2n×(-\frac{1}{4})-6×[-\frac{(n-2)^2}{4}]=0$,解得$n=3$或$n=\frac{4}{3}$(不合题意),
∴ $n$的值为3.
4. 规定:我们用$F(a,b,c)$表示一元二次方程$ax^2+bx+c=0$,用数组$(x_1,x_2)$表示一元二次方程的两个解(其中$x_1 ≤ x_2$),当$b^2-4ac ≥ 0$时,$F(a,b,c)$唯一对应一个数组$(x_1,x_2)$,可记作$F(a,b,c) ⊂ (x_1,x_2)$.如方程:$x^2+2x-3=0$的两个解分别为1,-3,则有$F(1,2,-3) ⊂ (-3,1)$,又如$F(2,0,-8) ⊂ (-2,2)$,$F(1,10,25) ⊂ (-5,-5)$,反之,当数组$(x_1,x_2)$确定时,却有无数个一元二次方程与之对应,如方程$F(1,0,-4)$和$F(2,0,-8)$的解都是$(-2,2)$,则称方程$F(1,0,-4)$和$F(2,0,-8)$为同解方程,记作方程$F(1,0,-4)=F(2,0,-8)$.研究发现:当$m ≠ 0$时,总有$F(a,b,c)=F(ma,mb,mc)$成立.
(1)若$F(1,-2,a) ⊂ (-2,4)$,则$a=$
(2)若$F(1,-2,t-1) ⊂ (m,n)$,且$|m|+|n|=6$,求$t$的值.
(3)如果实数$a,b,c,d$满足$a ≠ c$,$F(1,-3a,-4b) ⊂ (c,d)$,$F(1,-3c,-4d) ⊂ (a,b)$,探究$k=a+b+c+d$是否为定值?如果是,请求出$k$的值,如果不是,请说明理由.
(1)若$F(1,-2,a) ⊂ (-2,4)$,则$a=$
-8
;若$F(3,1,b)=F(15,c,5b)$,则$c=$5
.(2)若$F(1,-2,t-1) ⊂ (m,n)$,且$|m|+|n|=6$,求$t$的值.
(3)如果实数$a,b,c,d$满足$a ≠ c$,$F(1,-3a,-4b) ⊂ (c,d)$,$F(1,-3c,-4d) ⊂ (a,b)$,探究$k=a+b+c+d$是否为定值?如果是,请求出$k$的值,如果不是,请说明理由.
答案
(1) -8 5 解析:由题意,$x^2-2x+a=0$的解是$x_1=-2$,$x_2=4$,易得$a=-8$.$F(3,1,b)=F(5×3,5×1,5b)$,
∴ $c=5$.
(2)由 $F(1,-2,t-1) ⊂ (m,n)$知,$m,n$ 是一元二次方程$x^2-2x+t-1=0$的两个实数解,且$m≤n$,
∴ $m+n=2$,$mn=t-1$.
∵ $|m|+|n|=6$,当$m,n$全为正或全为负时,则$|m|+|n|=±(m+n)=±6$,这与 $m+n=2$ 矛盾,
∴ $m＜0＜n$,
∴ $|m|+|n|=-m+n=6$,则有$(-m+n)^2=36$,即$(m+n)^2-4mn=36$,
∴ $4-4(t-1)=36$,解得$t=-7$.
(3)$k$是定值.
∵ $F(1,-3a,-4b) ⊂ (c,d)$,$F(1,-3c,-4d) ⊂ (a,b)$,
∴ $c,d$是方程$x^2-3ax-4b=0$的两个实数解,$a,b$是方程$x^2-3cx-4d=0$的两个实数解,由根与系数的关系得$c+d=3a$,$cd=-4b$,$a+b=3c$,$ab=-4d$,
∴ $a+b+c+d=3a+3c$,$abcd=16bd$,
∴ $b+d=2(a+c)$,$ac=16$.
∵ $c$是$x^2-3ax-4b=0$的解,
∴ $c^2-3ac-4b=0$,即$c^2-4b=48$.
∵ $a$是方程$x^2-3cx-4d=0$的解,
∴ $a^2-3ac-4d=0$,即$a^2-4d=48$,
∴ $a^2+c^2-4(b+d)=96$,即$a^2+c^2-8(a+c)=96$,
∴ $(a+c)^2-2ac-8(a+c)=96$,整理得$(a+c)^2-8(a+c)-128=0$,解得$a+c=16$或$a+c=-8$.
∵ 当$ac=16$,$a+c=-8$时,$a,c$是方程$m^2+8m+16=0$的两个实数解,解此方程得$m_1=m_2=-4$,即$a=c$,这与题设$a≠c$矛盾,
∴ $a+c=16$,
∴ $k=a+b+c+d=3(a+c)=48$,
∴ $k$为定值48.
∴ $c=5$.
(2)由 $F(1,-2,t-1) ⊂ (m,n)$知,$m,n$ 是一元二次方程$x^2-2x+t-1=0$的两个实数解,且$m≤n$,
∴ $m+n=2$,$mn=t-1$.
∵ $|m|+|n|=6$,当$m,n$全为正或全为负时,则$|m|+|n|=±(m+n)=±6$,这与 $m+n=2$ 矛盾,
∴ $m＜0＜n$,
∴ $|m|+|n|=-m+n=6$,则有$(-m+n)^2=36$,即$(m+n)^2-4mn=36$,
∴ $4-4(t-1)=36$,解得$t=-7$.
(3)$k$是定值.
∵ $F(1,-3a,-4b) ⊂ (c,d)$,$F(1,-3c,-4d) ⊂ (a,b)$,
∴ $c,d$是方程$x^2-3ax-4b=0$的两个实数解,$a,b$是方程$x^2-3cx-4d=0$的两个实数解,由根与系数的关系得$c+d=3a$,$cd=-4b$,$a+b=3c$,$ab=-4d$,
∴ $a+b+c+d=3a+3c$,$abcd=16bd$,
∴ $b+d=2(a+c)$,$ac=16$.
∵ $c$是$x^2-3ax-4b=0$的解,
∴ $c^2-3ac-4b=0$,即$c^2-4b=48$.
∵ $a$是方程$x^2-3cx-4d=0$的解,
∴ $a^2-3ac-4d=0$,即$a^2-4d=48$,
∴ $a^2+c^2-4(b+d)=96$,即$a^2+c^2-8(a+c)=96$,
∴ $(a+c)^2-2ac-8(a+c)=96$,整理得$(a+c)^2-8(a+c)-128=0$,解得$a+c=16$或$a+c=-8$.
∵ 当$ac=16$,$a+c=-8$时,$a,c$是方程$m^2+8m+16=0$的两个实数解,解此方程得$m_1=m_2=-4$,即$a=c$,这与题设$a≠c$矛盾,
∴ $a+c=16$,
∴ $k=a+b+c+d=3(a+c)=48$,
∴ $k$为定值48.
