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1 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=12$，$∠ BAC=120°$，D是边BC的中点，则AD的长是（
A.4
B.6
C.8
D.12
（第1题）
B
）A.4
B.6
C.8
D.12
（第1题）答案
1.B
解析
【分析】
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，即△ABD是直角三角形；再根据等腰三角形内角和求出底角∠B=30°，最后在Rt△ABD中，利用含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合已知AB的长度即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵AB=AC=12，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
∵D是BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°。
∵∠BAC=120°，三角形内角和为180°，
∴∠B=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AD=½AB=½×12=6。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础应用题，核心是通过等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，即△ABD是直角三角形；再根据等腰三角形内角和求出底角∠B=30°，最后在Rt△ABD中，利用含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合已知AB的长度即可求出AD的长。
【解析】
解：
∵AB=AC=12，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C。
∵D是BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°。
∵∠BAC=120°，三角形内角和为180°，
∴∠B=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AD=½AB=½×12=6。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础应用题，核心是通过等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2 新情境 生活实际 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面所夹锐角的度数为$30°$，这棵树在折断前的高度为（
A.3米
B.6米
C.9米
D.12米
C
）A.3米
B.6米
C.9米
D.12米
答案
2.C
解析
【分析】
首先结合题意明确几何模型：折断的树、地面和未折断的树干构成直角三角形，未折断的树干垂直地面，长度为3米，是30°角所对的直角边。解题时先利用含30°角的直角三角形的性质求出折断部分的长度，再将折断部分长度与未折断部分长度相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，未折断的树干、地面和折断的树干构成直角三角形，其中未折断的树干长度为3米，与地面垂直，是30°锐角所对的直角边。
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分的长度（即直角三角形的斜边）为 $2×3=6$ 米。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$3+6=9$ 米。
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的台风折树情境考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，牢记含30°角的直角三角形的边长关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先结合题意明确几何模型：折断的树、地面和未折断的树干构成直角三角形，未折断的树干垂直地面，长度为3米，是30°角所对的直角边。解题时先利用含30°角的直角三角形的性质求出折断部分的长度，再将折断部分长度与未折断部分长度相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，未折断的树干、地面和折断的树干构成直角三角形，其中未折断的树干长度为3米，与地面垂直，是30°锐角所对的直角边。
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分的长度（即直角三角形的斜边）为 $2×3=6$ 米。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$3+6=9$ 米。
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的台风折树情境考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，牢记含30°角的直角三角形的边长关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3 教材 P92 复习题 T7 变式 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC=90°$, $∠ C=30°$, $AD ⊥ BC$, 垂足为 D, 则 BD 与 BC 的数量关系是 (
A.$BD=\dfrac{1}{2}BC$
B.$BD=\dfrac{1}{3}BC$
C.$BD=\dfrac{1}{4}BC$
D.$BD=\dfrac{1}{5}BC$
C
)A.$BD=\dfrac{1}{2}BC$
B.$BD=\dfrac{1}{3}BC$
C.$BD=\dfrac{1}{4}BC$
D.$BD=\dfrac{1}{5}BC$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形和30°角入手，首先利用含30°角的直角三角形的性质，得出AB与BC的数量关系；再结合AD⊥BC得到的Rt△ABD，找到∠BAD的度数，再次利用含30°角的直角三角形的性质得到BD与AB的数量关系，最后通过等量代换即可推出BD与BC的关系。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ C=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ C=60°$，且$AB=\frac{1}{2}BC$（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB$（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
将$AB=\frac{1}{2}BC$代入得：$BD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余；等量代换
【点评】
本题是含30°角直角三角形性质的基础应用题型，解题的核心是两次运用30°角对应的直角边与斜边的倍数关系，再通过等量代换得到所求线段的比例，是三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的直角三角形和30°角入手，首先利用含30°角的直角三角形的性质，得出AB与BC的数量关系；再结合AD⊥BC得到的Rt△ABD，找到∠BAD的度数，再次利用含30°角的直角三角形的性质得到BD与AB的数量关系，最后通过等量代换即可推出BD与BC的关系。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ C=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ C=60°$，且$AB=\frac{1}{2}BC$（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB$（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
将$AB=\frac{1}{2}BC$代入得：$BD=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}BC$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余；等量代换
【点评】
本题是含30°角直角三角形性质的基础应用题型，解题的核心是两次运用30°角对应的直角边与斜边的倍数关系，再通过等量代换得到所求线段的比例，是三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
4 如图，$△ ABC$是等边三角形，D为AB的中点，$DE⊥ AC$，垂足为E。若$AE=2$，则$△ ABC$的周长为
24
。答案
4. 24
解析
【分析】
解题时首先根据等边三角形的性质得到∠A=60°，结合DE⊥AC可知△ADE是含30°角的直角三角形，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AD的长度；再根据D是AB中点求出AB的长度，最后结合等边三角形三边相等的性质计算周长即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=60°，AB=BC=AC
∵DE⊥AC
∴∠AED=90°，则∠ADE=90°-∠A=30°
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
AD=2AE
已知AE=2，
∴AD=2×2=4
∵D为AB的中点
∴AB=2AD=2×4=8
∴△ABC的周长为：3×AB=3×8=24
【答案】
24
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础应用题，解题核心是找准直角三角形中30°角对应的边与斜边的数量关系，再结合等边三角形的性质推导边长，掌握相关性质后很容易得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据等边三角形的性质得到∠A=60°，结合DE⊥AC可知△ADE是含30°角的直角三角形，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AD的长度；再根据D是AB中点求出AB的长度，最后结合等边三角形三边相等的性质计算周长即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=60°，AB=BC=AC
∵DE⊥AC
∴∠AED=90°，则∠ADE=90°-∠A=30°
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
AD=2AE
已知AE=2，
∴AD=2×2=4
∵D为AB的中点
∴AB=2AD=2×4=8
∴△ABC的周长为：3×AB=3×8=24
【答案】
24
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础应用题，解题核心是找准直角三角形中30°角对应的边与斜边的数量关系，再结合等边三角形的性质推导边长，掌握相关性质后很容易得分。
【难度系数】
0.7
5 如图，$∠ AOE = ∠ BOE = 15°$，$EF // OB$，$EC ⊥ OB$.若$EC=1$，则$EF=$
2
.答案
5. 2
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：OE是∠AOB的角平分线，且EC⊥OB，可首先联想到角平分线的性质，过E作OA的垂线，得到与EC等长的垂线段；再结合EF//OB的条件，利用平行线的内错角相等求出相关角度，进而得到含30°角的直角三角形，最后利用30°角直角三角形的性质求解EF的长度。
【解析】
过点E作EG⊥OA，垂足为G。
∵ OE平分∠AOB，EC⊥OB，EG⊥OA，
∴ 根据角平分线的性质，EG=EC=1。
∵ EF//OB，
∴ ∠OEF=∠BOE=15°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EFG=∠AOE + ∠OEF =15°+15°=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
在Rt△EGF中，∠EGF=90°，∠EFG=30°，
∴ 根据含30°角的直角三角形的性质，EF=2EG=2×1=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是合理作辅助线构造特殊直角三角形，将已知条件和相关几何性质结合起来推导，能较好地考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：OE是∠AOB的角平分线，且EC⊥OB，可首先联想到角平分线的性质，过E作OA的垂线，得到与EC等长的垂线段；再结合EF//OB的条件，利用平行线的内错角相等求出相关角度，进而得到含30°角的直角三角形，最后利用30°角直角三角形的性质求解EF的长度。
【解析】
过点E作EG⊥OA，垂足为G。
∵ OE平分∠AOB，EC⊥OB，EG⊥OA，
∴ 根据角平分线的性质，EG=EC=1。
∵ EF//OB，
∴ ∠OEF=∠BOE=15°（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠EFG=∠AOE + ∠OEF =15°+15°=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
在Rt△EGF中，∠EGF=90°，∠EFG=30°，
∴ 根据含30°角的直角三角形的性质，EF=2EG=2×1=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是合理作辅助线构造特殊直角三角形，将已知条件和相关几何性质结合起来推导，能较好地考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
6 如图，$△ ABC$是等边三角形，BD是中线，过点D作$DE⊥ AB$于点E，DE的反向延长线交BC的延长线于点F，$AE=1$.求BF的长.
答案
6.
∵ △ABC 是等边三角形,BD 是中线,
∴ ∠A = ∠ACB = 60°,AC = BC,AD = CD = $\dfrac{1}{2}$AC.
∵ DE ⊥ AB,
∴ ∠AED= 90°.
∴ ∠ADE = 90° - ∠A = 30°.
∴ CD = AD = 2AE = 2.
∵ ∠CDF=∠ADE=30°,
∴ ∠F=∠ACB - ∠CDF = 30°.
∴ ∠CDF = ∠F.
∴ DC = CF.
∴ BF = BC + CF = 2CD + CD=6
∵ △ABC 是等边三角形,BD 是中线,
∴ ∠A = ∠ACB = 60°,AC = BC,AD = CD = $\dfrac{1}{2}$AC.
∵ DE ⊥ AB,
∴ ∠AED= 90°.
∴ ∠ADE = 90° - ∠A = 30°.
∴ CD = AD = 2AE = 2.
∵ ∠CDF=∠ADE=30°,
∴ ∠F=∠ACB - ∠CDF = 30°.
∴ ∠CDF = ∠F.
∴ DC = CF.
∴ BF = BC + CF = 2CD + CD=6
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形和BD是中线的条件入手，首先利用等边三角形的性质得到内角为60°，且AD=CD=$\frac{1}{2}$AC；再结合DE⊥AB的条件，可知△ADE是含30°角的直角三角形，利用“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质，可由AE=1求出AD的长度，进而得到CD和AC（即BC）的长度；接下来通过对顶角相等得到∠CDF的度数，再结合三角形外角的性质求出∠F的度数，可推出∠CDF=∠F，即可得到CD=CF；最后根据BF=BC+CF，代入对应边长计算即可得到结果。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，BD是中线，
∴ ∠A = ∠ACB = 60°，AC = BC，AD = CD = $\dfrac{1}{2}$AC。
∵ DE⊥AB，
∴ ∠AED= 90°，
∴ ∠ADE = 90° - ∠A = 30°，
∴ CD = AD = 2AE = 2×1=2。
∵ ∠CDF与∠ADE是对顶角，
∴ ∠CDF=∠ADE=30°，
∴ ∠F=∠ACB - ∠CDF = 60°-30°=30°，
∴ ∠CDF = ∠F，
∴ DC = CF=2，BC=AC=2AD=4，
∴ BF = BC + CF = 4 + 2 = 6。
【答案】
BF的长为6
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于特殊三角形的综合应用题，解题的核心是通过角度推导得到边的等量关系，能有效考查学生对特殊三角形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形和BD是中线的条件入手，首先利用等边三角形的性质得到内角为60°，且AD=CD=$\frac{1}{2}$AC；再结合DE⊥AB的条件，可知△ADE是含30°角的直角三角形，利用“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质，可由AE=1求出AD的长度，进而得到CD和AC（即BC）的长度；接下来通过对顶角相等得到∠CDF的度数，再结合三角形外角的性质求出∠F的度数，可推出∠CDF=∠F，即可得到CD=CF；最后根据BF=BC+CF，代入对应边长计算即可得到结果。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，BD是中线，
∴ ∠A = ∠ACB = 60°，AC = BC，AD = CD = $\dfrac{1}{2}$AC。
∵ DE⊥AB，
∴ ∠AED= 90°，
∴ ∠ADE = 90° - ∠A = 30°，
∴ CD = AD = 2AE = 2×1=2。
∵ ∠CDF与∠ADE是对顶角，
∴ ∠CDF=∠ADE=30°，
∴ ∠F=∠ACB - ∠CDF = 60°-30°=30°，
∴ ∠CDF = ∠F，
∴ DC = CF=2，BC=AC=2AD=4，
∴ BF = BC + CF = 4 + 2 = 6。
【答案】
BF的长为6
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于特殊三角形的综合应用题，解题的核心是通过角度推导得到边的等量关系，能有效考查学生对特殊三角形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7 如图,在$Rt△ ABE$中,$∠ A=90°$,$∠ B=60°$,$BE=10$,D是边AE上的一个动点,以D为顶点作$∠ EDC=30°$,点C在边BE上,则CD的长可以是（
A.4
B.6
C.8
D.10
A
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
7. A
解析
【分析】
首先从已知的Rt△ABE的角度条件入手，先算出∠E=30°，结合题目给出的∠EDC=30°，可判定△EDC为等腰三角形，得到CD=EC。再通过作辅助线CF⊥AE，利用含30°角的直角三角形的性质表示出相关线段的长度，结合D在AE上的限制，推导得出CD的取值范围，最后匹配选项得到答案。
【解析】
1. 在$Rt△ABE$中，$∠A=90°$，$∠B=60°$，由三角形内角和为$180°$，得$∠E=180°-90°-60°=30°$。
2. 已知$BE=10$，在含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边等于斜边的一半，因此$AB=\frac{1}{2}BE=5$，由勾股定理得$AE=\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
3. 在$△EDC$中，$∠E=30°$，$∠EDC=30°$，所以$∠E=∠EDC$，由等角对等边得$CD=EC$，设$CD=x$，则$EC=x$。
4. 过点C作$CF⊥AE$于点F：
在$Rt△EFC$中，$∠E=30°$，所以$CF=\frac{1}{2}EC=\frac{x}{2}$，由勾股定理得$EF=\sqrt{EC^2-CF^2}=\frac{\sqrt{3}x}{2}$；
在$Rt△DFC$中，$∠FDC=30°$，$∠DFC=90°$，所以$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{x}{2}$，由勾股定理得$FD=\sqrt{CD^2-CF^2}=\frac{\sqrt{3}x}{2}$。
5. 由于D在AE上，因此$ED=EF+FD=\sqrt{3}x≤AE=5\sqrt{3}$，解得$x≤5$，即$CD≤5$。
6. 对比四个选项，只有4满足$CD≤5$的要求。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题需要结合特殊三角形的性质推导线段的取值范围，解题的关键是合理构造辅助线，将未知线段用已知条件表示出来，再结合线段的取值限制求解。
【难度系数】
0.3
首先从已知的Rt△ABE的角度条件入手，先算出∠E=30°，结合题目给出的∠EDC=30°，可判定△EDC为等腰三角形，得到CD=EC。再通过作辅助线CF⊥AE，利用含30°角的直角三角形的性质表示出相关线段的长度，结合D在AE上的限制，推导得出CD的取值范围，最后匹配选项得到答案。
【解析】
1. 在$Rt△ABE$中，$∠A=90°$，$∠B=60°$，由三角形内角和为$180°$，得$∠E=180°-90°-60°=30°$。
2. 已知$BE=10$，在含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边等于斜边的一半，因此$AB=\frac{1}{2}BE=5$，由勾股定理得$AE=\sqrt{BE^2-AB^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
3. 在$△EDC$中，$∠E=30°$，$∠EDC=30°$，所以$∠E=∠EDC$，由等角对等边得$CD=EC$，设$CD=x$，则$EC=x$。
4. 过点C作$CF⊥AE$于点F：
在$Rt△EFC$中，$∠E=30°$，所以$CF=\frac{1}{2}EC=\frac{x}{2}$，由勾股定理得$EF=\sqrt{EC^2-CF^2}=\frac{\sqrt{3}x}{2}$；
在$Rt△DFC$中，$∠FDC=30°$，$∠DFC=90°$，所以$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{x}{2}$，由勾股定理得$FD=\sqrt{CD^2-CF^2}=\frac{\sqrt{3}x}{2}$。
5. 由于D在AE上，因此$ED=EF+FD=\sqrt{3}x≤AE=5\sqrt{3}$，解得$x≤5$，即$CD≤5$。
6. 对比四个选项，只有4满足$CD≤5$的要求。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题需要结合特殊三角形的性质推导线段的取值范围，解题的关键是合理构造辅助线，将未知线段用已知条件表示出来，再结合线段的取值限制求解。
【难度系数】
0.3
8 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D.若BD=1,则BC的长为
3
.答案
8. 3
解析
【分析】
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知顶角∠BAC=120°算出两个底角∠B、∠C的度数；再根据AD⊥AC推出∠BAD的度数，发现∠BAD=∠B，利用“等角对等边”得到AD的长度；最后在Rt△ADC中利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半”算出DC的长，相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°，
∴∠BAD=∠B，
∴AD=BD=1。
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴DC=2AD=2×1=2，
∴BC=BD+DC=1+2=3。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质；等角对等边；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是通过角度推导得到线段的等量关系，再结合特殊直角三角形的性质求解，是对三角形基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知顶角∠BAC=120°算出两个底角∠B、∠C的度数；再根据AD⊥AC推出∠BAD的度数，发现∠BAD=∠B，利用“等角对等边”得到AD的长度；最后在Rt△ADC中利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半”算出DC的长，相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°，
∴∠BAD=∠B，
∴AD=BD=1。
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴DC=2AD=2×1=2，
∴BC=BD+DC=1+2=3。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质；等角对等边；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是通过角度推导得到线段的等量关系，再结合特殊直角三角形的性质求解，是对三角形基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.7
9 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=120°$，E是边AC上一点，连接BE并延长到点D，连接CD。若$∠ BCD=120°$，$AB=2CD$，$AE=7$，则线段CE的长为
$\dfrac{7}{3}$
。答案
9. $\dfrac{7}{3}$
【解析】过点 B 作 $BM⊥AC$ 于点 M,则$∠BMC=90°$.
∵ $AB=BC,∠ABC=120°,∴ ∠A=∠ACB=30°,AM=CM$.
∴ $BM=\dfrac{1}{2}AB. ∵ AB=2CD,∴ BM=CD. ∵ ∠BCD=120°,$
∴ $∠DCE=∠BCD-∠ACB=90°. ∴ ∠BME=∠DCE=90°.$
易证$△MEB≌△CED,∴ ME=CE$. 设 $CE=x$,则 $ME=x$,
$AM=AE-ME=7-x. ∴ 7-x=2x. ∴ x=\dfrac{7}{3}. ∴$ 线段 CE 的长为$\dfrac{7}{3}$.
【解析】过点 B 作 $BM⊥AC$ 于点 M,则$∠BMC=90°$.
∵ $AB=BC,∠ABC=120°,∴ ∠A=∠ACB=30°,AM=CM$.
∴ $BM=\dfrac{1}{2}AB. ∵ AB=2CD,∴ BM=CD. ∵ ∠BCD=120°,$
∴ $∠DCE=∠BCD-∠ACB=90°. ∴ ∠BME=∠DCE=90°.$
易证$△MEB≌△CED,∴ ME=CE$. 设 $CE=x$,则 $ME=x$,
$AM=AE-ME=7-x. ∴ 7-x=2x. ∴ x=\dfrac{7}{3}. ∴$ 线段 CE 的长为$\dfrac{7}{3}$.
解析
【分析】
遇到等腰三角形且已知顶角角度时，优先考虑用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线。本题首先过点B作AC的垂线BM，既能得到含30°角的直角三角形，又能得到AM=CM的线段等量关系。结合已知AB=2CD，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，可推出BM=CD；再通过角度计算得到∠DCE=90°，与∠BME相等，结合对顶角相等即可证明△MEB和△CED全等，得到ME=CE。最后利用AM=CM的关系设未知数列方程，即可求出CE的长度。
【解析】
过点B作$BM⊥AC$于点M，则$∠BMC=90°$。
∵ $AB=BC$，$∠ABC=120°$，
∴ $∠A=∠ACB=30°$，$AM=CM$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ABM$中，$BM=\dfrac{1}{2}AB$（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵ $AB=2CD$，
∴ $BM=CD$。
∵ $∠BCD=120°$，
∴ $∠DCE=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°$，
∴ $∠BME=∠DCE=90°$。
在$△MEB$和$△CED$中：
$\begin{cases}∠BME=∠DCE \\∠BEM=∠DEC（对顶角相等） \\BM=CD\end{cases}$
∴ $△MEB≌△CED（AAS）$，
∴ $ME=CE$。
设$CE=x$，则$ME=x$，$CM=ME+CE=2x$。
又
∵ $AM=CM$，且$AM=AE-ME=7-x$，
∴ $7-x=2x$，解得$x=\dfrac{7}{3}$。
【答案】
$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形综合应用的典型题型，解题核心是通过作等腰三角形的高构造特殊直角三角形和全等三角形，结合方程思想求解线段长度，能较好地考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到等腰三角形且已知顶角角度时，优先考虑用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线。本题首先过点B作AC的垂线BM，既能得到含30°角的直角三角形，又能得到AM=CM的线段等量关系。结合已知AB=2CD，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，可推出BM=CD；再通过角度计算得到∠DCE=90°，与∠BME相等，结合对顶角相等即可证明△MEB和△CED全等，得到ME=CE。最后利用AM=CM的关系设未知数列方程，即可求出CE的长度。
【解析】
过点B作$BM⊥AC$于点M，则$∠BMC=90°$。
∵ $AB=BC$，$∠ABC=120°$，
∴ $∠A=∠ACB=30°$，$AM=CM$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ABM$中，$BM=\dfrac{1}{2}AB$（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵ $AB=2CD$，
∴ $BM=CD$。
∵ $∠BCD=120°$，
∴ $∠DCE=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°$，
∴ $∠BME=∠DCE=90°$。
在$△MEB$和$△CED$中：
$\begin{cases}∠BME=∠DCE \\∠BEM=∠DEC（对顶角相等） \\BM=CD\end{cases}$
∴ $△MEB≌△CED（AAS）$，
∴ $ME=CE$。
设$CE=x$，则$ME=x$，$CM=ME+CE=2x$。
又
∵ $AM=CM$，且$AM=AE-ME=7-x$，
∴ $7-x=2x$，解得$x=\dfrac{7}{3}$。
【答案】
$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形综合应用的典型题型，解题核心是通过作等腰三角形的高构造特殊直角三角形和全等三角形，结合方程思想求解线段长度，能较好地考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
