登录
5[2025四川甘孜州中考]光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，∠1=40°，∠2=120°，则∠3+∠4=（
A.120°
B.140°
C.160°
D.170°
C
）A.120°
B.140°
C.160°
D.170°
答案
5.C 【解析】$\because$ 水中的光线互相平行,空气中的光线互相平行,且$∠ 1$与$∠ 3$为同位角,$∠ 2$与$∠ 4$为同位角,$\therefore ∠ 3 = ∠ 1$,$∠ 4 = ∠ 2$. $\because ∠ 1 = 40°$,$∠ 2 = 120°$,$\therefore ∠ 3 = 40°$,$∠ 4 = 120°$,$\therefore ∠ 3 + ∠ 4 = 40° + 120° = 160°$.故选C.
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的“水中光线平行、空气中光线也平行”的条件，利用平行线的性质找未知角和已知角的关系：首先观察角的位置，∠1和∠3是两条平行的空气光线被水面截得的同位角，∠2和∠4是两条平行的水中光线被水面截得的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可得到∠3和∠1相等、∠4和∠2相等，最后将两个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 水中的两条光线互相平行，空气中的两条光线也互相平行，
∠1与∠3是平行的空气光线被水面所截得到的同位角，∠2与∠4是平行的水中光线被水面所截得到的同位角，
∴ 根据“两直线平行，同位角相等”可得：$∠ 3=∠ 1$，$∠ 4=∠ 2$，
又$\because ∠ 1=40°$，$∠ 2=120°$，
$\therefore ∠ 3=40°$，$∠ 4=120°$，
$\therefore ∠ 3+∠ 4=40°+120°=160°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合光线折射的生活场景考查平行线性质的应用，解题核心是准确识别同位角，利用平行线的性质建立已知角和未知角的等量关系，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.75
解题时先结合题目给出的“水中光线平行、空气中光线也平行”的条件，利用平行线的性质找未知角和已知角的关系：首先观察角的位置，∠1和∠3是两条平行的空气光线被水面截得的同位角，∠2和∠4是两条平行的水中光线被水面截得的同位角，根据“两直线平行，同位角相等”可得到∠3和∠1相等、∠4和∠2相等，最后将两个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 水中的两条光线互相平行，空气中的两条光线也互相平行，
∠1与∠3是平行的空气光线被水面所截得到的同位角，∠2与∠4是平行的水中光线被水面所截得到的同位角，
∴ 根据“两直线平行，同位角相等”可得：$∠ 3=∠ 1$，$∠ 4=∠ 2$，
又$\because ∠ 1=40°$，$∠ 2=120°$，
$\therefore ∠ 3=40°$，$∠ 4=120°$，
$\therefore ∠ 3+∠ 4=40°+120°=160°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合光线折射的生活场景考查平行线性质的应用，解题核心是准确识别同位角，利用平行线的性质建立已知角和未知角的等量关系，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.75
6[2025陕西中考]研究表明,一定质量的气体,在压强不变的条件下,气体体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下,对一定质量的某种气体进行加热,测得的部分数据如下表:
(1)求y与x的函数关系式;
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度.
答案
6.【解】(1)设$y$关于$x$的函数关系式为$y=kx+b$.
将$(25,596),(30,606)$分别代入,得$\begin{cases} 25k+b=596, \\ 30k+b=606, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=2, \\ b=546, \end{cases}$ $\therefore y$关于$x$的函数关系式为$y=2x+546$.
(2)令$y=700$,则$2x+546=700$,解得$x=77$.
答:停止加热时的气体温度为$77\ °Celsius$.
将$(25,596),(30,606)$分别代入,得$\begin{cases} 25k+b=596, \\ 30k+b=606, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=2, \\ b=546, \end{cases}$ $\therefore y$关于$x$的函数关系式为$y=2x+546$.
(2)令$y=700$,则$2x+546=700$,解得$x=77$.
答:停止加热时的气体温度为$77\ °Celsius$.
解析
【分析】
（1）题目明确气体体积y与温度x是一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到函数关系式，可代入第三组数据验证解析式正确性。
（2）要求气体体积为700L时的温度，本质是求函数值y=700对应的自变量x的值，将y=700代入第一问得到的解析式，解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设y与x的函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
将表格中的$(25,596)$、$(30,606)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases} 25k+b=596 \\ 30k+b=606 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$5k=10$，解得$k=2$。
把$k=2$代入$25k+b=596$，得$50+b=596$，解得$b=546$。
代入$x=35$验证：$y=2×35+546=616$，与表格数据一致，因此函数关系式成立。
(2) 令$y=700$，代入$y=2x+546$得：
$2x+546=700$
移项计算得$2x=154$，解得$x=77$。
【答案】
(1) $y=2x+546$；(2) $77℃$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题结合物理场景考查一次函数的实际应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，解题时注意代入数值计算的准确性，属于基础的函数应用题型。
【难度系数】
0.8
（1）题目明确气体体积y与温度x是一次函数关系，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b即可得到函数关系式，可代入第三组数据验证解析式正确性。
（2）要求气体体积为700L时的温度，本质是求函数值y=700对应的自变量x的值，将y=700代入第一问得到的解析式，解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设y与x的函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
将表格中的$(25,596)$、$(30,606)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases} 25k+b=596 \\ 30k+b=606 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$5k=10$，解得$k=2$。
把$k=2$代入$25k+b=596$，得$50+b=596$，解得$b=546$。
代入$x=35$验证：$y=2×35+546=616$，与表格数据一致，因此函数关系式成立。
(2) 令$y=700$，代入$y=2x+546$得：
$2x+546=700$
移项计算得$2x=154$，解得$x=77$。
【答案】
(1) $y=2x+546$；(2) $77℃$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题结合物理场景考查一次函数的实际应用，核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，解题时注意代入数值计算的准确性，属于基础的函数应用题型。
【难度系数】
0.8
7[2025陕西中考]满足$\sqrt{2} ＜ a ＜ 5$的整数$a$可以是
2(或3或4)
(写出一个符合题意的数即可)答案
7.2(或3或4) 【解析】$\because \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4},\therefore 1＜\sqrt{2}＜2$. $\because \sqrt{2}＜a＜5,\therefore$ 整数$a$可以是2或3或4,故答案为2(或3或4).
解析
【分析】
解题时首先需要估算无理数$\sqrt{2}$的取值范围，明确$\sqrt{2}$介于哪两个相邻整数之间，再结合$a＜5$且$a$为整数的限制条件，即可筛选出符合要求的整数$a$。
【解析】
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，
$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，
又$\because \sqrt{2}＜a＜5$，且$a$是整数，
$\therefore$ 整数$a$可以取2、3、4，任选其一即可。
【答案】
2（或3或4）
【知识点】
无理数的估算；不等式的整数解
【点评】
本题是基础类题型，核心考查无理数大小的估算能力，掌握通过相邻整数的平方判断无理数范围的方法，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先需要估算无理数$\sqrt{2}$的取值范围，明确$\sqrt{2}$介于哪两个相邻整数之间，再结合$a＜5$且$a$为整数的限制条件，即可筛选出符合要求的整数$a$。
【解析】
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，
$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，
又$\because \sqrt{2}＜a＜5$，且$a$是整数，
$\therefore$ 整数$a$可以取2、3、4，任选其一即可。
【答案】
2（或3或4）
【知识点】
无理数的估算；不等式的整数解
【点评】
本题是基础类题型，核心考查无理数大小的估算能力，掌握通过相邻整数的平方判断无理数范围的方法，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8[2025黑龙江大庆中考]写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式
y=x+1(答案不唯一)
.答案
8.$y=x+1$(答案不唯一) 【解析】设一次函数表达式为$y=kx+b(k\ne0)$. 当$x=0$时,$y=b$,$\therefore$ 图象与$y$轴交点为$(0,b)$.$\because$ 图象与$y$轴正半轴相交,且$y$的值随$x$值增大而增大,$\therefore k＞0,b＞0$,$\therefore$ 函数表达式可以为$y=x+1$,故答案为$y=x+1$(答案不唯一).
解析
【分析】
首先明确题目要求的是一次函数，先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b(k\ne 0)$，再对应题目给出的两个条件分析系数的取值范围：第一，y随x增大而增大，根据一次函数的增减性，可得斜率$k$需要大于0；第二，图象与y轴正半轴相交，y轴上的点横坐标为0，代入解析式得交点纵坐标为$b$，因此$b$需要大于0。最后任意选取一组满足$k＞0、b＞0$的数值代入一般式，即可得到符合要求的函数表达式。
【解析】
设一次函数表达式为$y=kx+b(k\ne 0)$。
当$x=0$时，$y=b$，因此该函数图象与y轴的交点为$(0,b)$。
根据题意可得：
1. 若y的值随x值增大而增大，则$k＞0$；
2. 若图象与y轴正半轴相交，则$b＞0$。
取$k=1$，$b=1$，即可得到符合条件的函数表达式$y=x+1$，选取其他满足$k＞0、b＞0$的$k、b$值也可。
【答案】
$y=x+1$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查一次函数系数与图象性质的对应关系，只要明确$k$决定函数增减性、$b$决定函数与y轴的交点位置，就能快速写出符合要求的解析式，不容易出错。
【难度系数】
0.9
首先明确题目要求的是一次函数，先回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b(k\ne 0)$，再对应题目给出的两个条件分析系数的取值范围：第一，y随x增大而增大，根据一次函数的增减性，可得斜率$k$需要大于0；第二，图象与y轴正半轴相交，y轴上的点横坐标为0，代入解析式得交点纵坐标为$b$，因此$b$需要大于0。最后任意选取一组满足$k＞0、b＞0$的数值代入一般式，即可得到符合要求的函数表达式。
【解析】
设一次函数表达式为$y=kx+b(k\ne 0)$。
当$x=0$时，$y=b$，因此该函数图象与y轴的交点为$(0,b)$。
根据题意可得：
1. 若y的值随x值增大而增大，则$k＞0$；
2. 若图象与y轴正半轴相交，则$b＞0$。
取$k=1$，$b=1$，即可得到符合条件的函数表达式$y=x+1$，选取其他满足$k＞0、b＞0$的$k、b$值也可。
【答案】
$y=x+1$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查一次函数系数与图象性质的对应关系，只要明确$k$决定函数增减性、$b$决定函数与y轴的交点位置，就能快速写出符合要求的解析式，不容易出错。
【难度系数】
0.9
9[2025江苏苏州中考]过A,B两点画一次函数$y=-x+2$的图象,已知点A的坐标为$(0,2)$,则点B的坐标可以为
(1,1)(答案不唯一)
.(填一个符合要求的点的坐标即可)答案
9.$(1,1)$(答案不唯一) 【解析】$\because y=-x+2$,$\therefore$ 当$x=1$时,$y=-1+2=1$,$\therefore$ 点$B$的坐标可以为$(1,1)$,故答案为$(1,1)$(答案不唯一).
解析
【分析】
首先明确一次函数图象的性质：一次函数的图象是一条直线，所有在该直线上的点的坐标都满足对应的一次函数解析式。要找符合要求的点B，只需任意选取一个不等于0的x值（避免和已知点A(0,2)重合），代入解析式计算出对应的y值，得到的数对就是点B的坐标。
【解析】
∵ 若点在一次函数图象上，则点的坐标满足该一次函数的解析式，
∴ 对于$y=-x+2$，取$x=1$（x可取任意不为0的实数），代入得：
$y=-1+2=1$，
∴ 点B的坐标可以为$(1,1)$，也可取其他x值计算对应坐标，答案不唯一。
【答案】
$(1,1)$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 函数图象与解析式的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数图象和解析式的对应关系，只要掌握“点在函数图象上，则坐标满足函数解析式”的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先明确一次函数图象的性质：一次函数的图象是一条直线，所有在该直线上的点的坐标都满足对应的一次函数解析式。要找符合要求的点B，只需任意选取一个不等于0的x值（避免和已知点A(0,2)重合），代入解析式计算出对应的y值，得到的数对就是点B的坐标。
【解析】
∵ 若点在一次函数图象上，则点的坐标满足该一次函数的解析式，
∴ 对于$y=-x+2$，取$x=1$（x可取任意不为0的实数），代入得：
$y=-1+2=1$，
∴ 点B的坐标可以为$(1,1)$，也可取其他x值计算对应坐标，答案不唯一。
【答案】
$(1,1)$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 函数图象与解析式的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数图象和解析式的对应关系，只要掌握“点在函数图象上，则坐标满足函数解析式”的规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10[2025 四川攀枝花中考]请你取一个$a$的值，说明命题“$|a - 1| = a - 1$”是假命题，那么$a=$
-1(答案不唯一)
.答案
10.$-1$(答案不唯一) 【解析】当$a=-1$时,$a-1＜0$,则$|a-1|=-(a-1)=1-a$,可以说明命题“$|a-1|=a-1$”是假命题,故答案为$-1$(答案不唯一).
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，只需举出一个不符合命题结论的反例即可。首先回忆绝对值的性质：非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数。命题“$|a - 1| = a - 1$”成立的前提是$a-1≥0$，也就是$a≥1$，因此只要取一个小于1的$a$值，就能让$|a-1|≠ a-1$，即可作为反例证明该命题是假命题。
【解析】
根据绝对值的性质，当$a-1＜0$即$a＜1$时，$|a-1|=-(a-1)=1-a≠ a-1$。例如取$a=-1$：
左边$|a-1|=|-1-1|=|-2|=2$，
右边$a-1=-1-1=-2$，
显然$2≠-2$，不满足$|a - 1| = a - 1$，因此$a=-1$可作为反例说明命题为假（答案不唯一，任意小于1的数均可）。
【答案】
$-1$（答案不唯一，$a＜1$即可）
【知识点】
绝对值的性质；假命题的判定
【点评】
本题考查绝对值性质的应用和假命题的判断方法，解题核心是明确证明假命题只需举出反例，同时要熟练掌握绝对值的化简规则，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要说明一个命题是假命题，只需举出一个不符合命题结论的反例即可。首先回忆绝对值的性质：非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数。命题“$|a - 1| = a - 1$”成立的前提是$a-1≥0$，也就是$a≥1$，因此只要取一个小于1的$a$值，就能让$|a-1|≠ a-1$，即可作为反例证明该命题是假命题。
【解析】
根据绝对值的性质，当$a-1＜0$即$a＜1$时，$|a-1|=-(a-1)=1-a≠ a-1$。例如取$a=-1$：
左边$|a-1|=|-1-1|=|-2|=2$，
右边$a-1=-1-1=-2$，
显然$2≠-2$，不满足$|a - 1| = a - 1$，因此$a=-1$可作为反例说明命题为假（答案不唯一，任意小于1的数均可）。
【答案】
$-1$（答案不唯一，$a＜1$即可）
【知识点】
绝对值的性质；假命题的判定
【点评】
本题考查绝对值性质的应用和假命题的判断方法，解题核心是明确证明假命题只需举出反例，同时要熟练掌握绝对值的化简规则，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
11[2024江苏盐城中考]已知:如图,点A,B,C,D在同一条直线上,$AE// BF$,$AE = BF$.若
请从①$CE// DF$;②$CE = DF$;③$∠ E = ∠ F$这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由.
①(答案不唯一，选择①或③均可)
,则$AB = CD$.请从①$CE// DF$;②$CE = DF$;③$∠ E = ∠ F$这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由.
答案
11.【解】选择①. 理由:$\because AE// BF,CE// DF,\therefore ∠ A = ∠ FBD,∠ D = ∠ ECA$. 又$\because AE = BF$,$\therefore △ AEC ≌ △ BFD(\mathrm{AAS})$,$\therefore AC = BD$,$\therefore AC-BC = BD-BC$,即$AB = CD$. (答案不唯一,选择①或③均可使结论成立)
解析
【分析】
要证明$AB=CD$，观察点的位置可知$AC=AB+BC$，$BD=CD+BC$，因此只需先证明$AC=BD$，可进一步转化为证明$△ AEC≌△ BFD$。已知$AE// BF$，可得$∠ A=∠ FBD$，又已知$AE=BF$，此时只需补充一组角相等的条件，即可用AAS或ASA判定三角形全等。逐一分析选项：选①$CE// DF$可得$∠ ECA=∠ D$，满足AAS判定；选③$∠ E=∠ F$满足ASA判定；选②$CE=DF$属于SSA，无法判定三角形全等，因此选①或③均可使结论成立。
【解析】
以选择①为例，解答过程如下：
$\because AE// BF$，$\therefore ∠ A=∠ FBD$，
$\because CE// DF$，$\therefore ∠ ECA=∠ D$，
在$△ AEC$和$△ BFD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ECA=∠ D\\ ∠ A=∠ FBD\\ AE=BF\end{array} $
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AC=BD$，
$\because AC=AB+BC$，$BD=CD+BC$，
$\therefore AC-BC=BD-BC$，即$AB=CD$。
（若选择③，证明过程：$\because AE// BF$，$\therefore ∠ A=∠ FBD$，在$△ AEC$和$△ BFD$中$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ F\\ AE=BF\\ ∠ A=∠ FBD\end{array} $，$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{ASA})$，后续推导与上述一致。）
【答案】
选择①（答案不唯一，选择③也可），理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题是条件开放性试题，重点考查全等三角形的判定与性质的应用，解题时可从结论反向推导所需的判定条件，能锻炼逻辑推理能力，需注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免错选②。
【难度系数】
0.7
要证明$AB=CD$，观察点的位置可知$AC=AB+BC$，$BD=CD+BC$，因此只需先证明$AC=BD$，可进一步转化为证明$△ AEC≌△ BFD$。已知$AE// BF$，可得$∠ A=∠ FBD$，又已知$AE=BF$，此时只需补充一组角相等的条件，即可用AAS或ASA判定三角形全等。逐一分析选项：选①$CE// DF$可得$∠ ECA=∠ D$，满足AAS判定；选③$∠ E=∠ F$满足ASA判定；选②$CE=DF$属于SSA，无法判定三角形全等，因此选①或③均可使结论成立。
【解析】
以选择①为例，解答过程如下：
$\because AE// BF$，$\therefore ∠ A=∠ FBD$，
$\because CE// DF$，$\therefore ∠ ECA=∠ D$，
在$△ AEC$和$△ BFD$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ECA=∠ D\\ ∠ A=∠ FBD\\ AE=BF\end{array} $
$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AC=BD$，
$\because AC=AB+BC$，$BD=CD+BC$，
$\therefore AC-BC=BD-BC$，即$AB=CD$。
（若选择③，证明过程：$\because AE// BF$，$\therefore ∠ A=∠ FBD$，在$△ AEC$和$△ BFD$中$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ F\\ AE=BF\\ ∠ A=∠ FBD\end{array} $，$\therefore △ AEC≌△ BFD(\mathrm{ASA})$，后续推导与上述一致。）
【答案】
选择①（答案不唯一，选择③也可），理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题是条件开放性试题，重点考查全等三角形的判定与性质的应用，解题时可从结论反向推导所需的判定条件，能锻炼逻辑推理能力，需注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免错选②。
【难度系数】
0.7
12[2024重庆中考A卷]我们规定:若一个正整数A能写成$m^2-n$,其中m与n都是两位数,且m与n的十位数字相同,个位数字之和为8,则称A为“方减数”,并把A分解成$m^2-n$的过程,称为“方减分解”.例如:因为$602=25^2-23$,25与23的十位数字相同,个位数字5与3的和为8,所以602是“方减数”,602分解成$602=25^2-23$的过程就是“方减分解”.按照这个规定,最小的“方减数”是
82
.把一个“方减数”A进行“方减分解”,即$A=m^2-n$,将m放在n的左边组成一个新的四位数B,若B除以19余数为1,且$2m+n=k^2$(k为整数),则满足条件的正整数A为4 564
.答案
12.82 4 564 【解析】设$m=10a+b$,则$n=10a+8-b$($1\le a\le9,0\le b\le8$,且$a,b$均为整数). $\because 1\le a\le9$,且要使“方减数”最小,$\therefore a=1$,$\therefore m=10+b$,$n=18-b$,$\therefore m^2-n=(10+b)^2-(18-b)=100+20b+b^2-18+b=82+b^2+21b$,$\therefore$ 当$b=0$时,$m^2-n$的值最小,为82. 由题意得$B=1\ 000a+100b+10a+8-b=1\ 010a+99b+8$. $\because B$除以19余数为1,$\therefore 1\ 010a+99b+7$能被19整除,$\therefore \frac{B-1}{19}=53a+5b+\frac{3a+4b+7}{19}$为整数,$\therefore \frac{3a+4b+7}{19}$为整数. 又$\because 2m+n=k^2$($k$为整数),$\therefore 2(10a+b)+10a+8-b=30a+b+8$是完全平方数. $\because 1\le a\le9,0\le b\le8$,$\therefore 30a+b+8$的值最小为49,最大为256,即$7\le k\le16$. 设$3a+4b+7=19t$,$t$为正整数,则$1\le t\le3$. ① 当$t=1$时,$3a+4b=12$,则$b=3-\frac{3}{4}a$,$30a+b+8=30a+3-\frac{3}{4}a+8$是完全平方数,此时无整数解; ② 当$t=2$时,$3a+4b=31$,则$b=\frac{31-3a}{4}$,$30a+b+8=30a+\frac{31-3a}{4}+8$是完全平方数,此时无整数解; ③当$t=3$时,$3a+4b=50$,则$b=\frac{50-3a}{4}$,$30a+b+8=30a+\frac{50-3a}{4}+8$是完全平方数. 当$a=6,b=8$时,$3a+4b+7=57=19×3$,$30a+b+8=30×6+8+8=196=14^2$,满足条件,$\therefore t=3,k=14$,此时$m=10a+b=68$,$n=10a+8-b=60$,$\therefore A=68^2-60=4\ 564$. 故答案为82,4 564.
解析
【分析】
第一问求最小“方减数”：先根据定义设m的十位为a、个位为b，则n的十位为a、个位为8-b，将m、n转化为含a、b的代数式代入$A=m^2-n$，要使A最小，先取最小的十位数字a=1，再取最小的个位数字b=0即可算出最小值。第二问求满足条件的A：先将四位数B用a、b表示，结合B除以19余1的条件得到$3a+4b+7$是19的倍数；再由$2m+n$是完全平方数确定该平方数的范围，分类讨论$3a+4b+7$对应19的不同倍数的情况，筛选出符合条件的整数a、b，最终计算得到A。
【解析】
设$m=10a+b$，由题意得$n=10a+(8-b)$，其中$1\le a\le9,0\le b\le8$，且a、b均为整数。
求最小的“方减数”
要使A最小，先取a的最小值1，此时$m=10+b$，$n=18-b$，代入得：
$\begin{aligned}A&=(10+b)^2-(18-b)\\&=100+20b+b^2-18+b\\&=b^2+21b+82\end{aligned}$
当$b=0$时，A取得最小值为$0+0+82=82$。
求满足条件的A
四位数B是将m放在n的左边得到的，因此：
$\begin{aligned}B&=100m+n\\&=100(10a+b)+10a+8-b\\&=1010a+99b+8\end{aligned}$
因为B除以19余数为1，所以$B-1=1010a+99b+7$能被19整除，经计算得$3a+4b+7$能被19整除，设$3a+4b+7=19t$（t为正整数）。
由$2m+n=k^2$代入得：
$2(10a+b)+10a+8-b=30a+b+8=k^2$
结合a、b的取值范围，得$38\le 30a+b+8\le286$，区间内的完全平方数为$7^2=49$到$16^2=256$，即$7\le k\le16$。
又$3a+4b+7\le 3×9+4×8+7=66$，因此t可取1、2、3：
1. 当t=1时，$3a+4b=12$，代入$30a+b+8$验证，无符合条件的整数解；
2. 当t=2时，$3a+4b=31$，代入$30a+b+8$验证，无符合条件的整数解；
3. 当t=3时，$3a+4b=50$，试值得$a=6,b=8$时，$30×6+8+8=196=14^2$，符合条件。
此时$m=68,n=60$，$A=68^2-60=4624-60=4564$。
【答案】
82；4564
【知识点】
新定义问题，完全平方数，整除的性质
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查了代数式运算、完全平方数特征、整数整除性质以及分类讨论思想，要求学生准确理解新定义规则，结合参数范围筛选符合条件的解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
第一问求最小“方减数”：先根据定义设m的十位为a、个位为b，则n的十位为a、个位为8-b，将m、n转化为含a、b的代数式代入$A=m^2-n$，要使A最小，先取最小的十位数字a=1，再取最小的个位数字b=0即可算出最小值。第二问求满足条件的A：先将四位数B用a、b表示，结合B除以19余1的条件得到$3a+4b+7$是19的倍数；再由$2m+n$是完全平方数确定该平方数的范围，分类讨论$3a+4b+7$对应19的不同倍数的情况，筛选出符合条件的整数a、b，最终计算得到A。
【解析】
设$m=10a+b$，由题意得$n=10a+(8-b)$，其中$1\le a\le9,0\le b\le8$，且a、b均为整数。
求最小的“方减数”
要使A最小，先取a的最小值1，此时$m=10+b$，$n=18-b$，代入得：
$\begin{aligned}A&=(10+b)^2-(18-b)\\&=100+20b+b^2-18+b\\&=b^2+21b+82\end{aligned}$
当$b=0$时，A取得最小值为$0+0+82=82$。
求满足条件的A
四位数B是将m放在n的左边得到的，因此：
$\begin{aligned}B&=100m+n\\&=100(10a+b)+10a+8-b\\&=1010a+99b+8\end{aligned}$
因为B除以19余数为1，所以$B-1=1010a+99b+7$能被19整除，经计算得$3a+4b+7$能被19整除，设$3a+4b+7=19t$（t为正整数）。
由$2m+n=k^2$代入得：
$2(10a+b)+10a+8-b=30a+b+8=k^2$
结合a、b的取值范围，得$38\le 30a+b+8\le286$，区间内的完全平方数为$7^2=49$到$16^2=256$，即$7\le k\le16$。
又$3a+4b+7\le 3×9+4×8+7=66$，因此t可取1、2、3：
1. 当t=1时，$3a+4b=12$，代入$30a+b+8$验证，无符合条件的整数解；
2. 当t=2时，$3a+4b=31$，代入$30a+b+8$验证，无符合条件的整数解；
3. 当t=3时，$3a+4b=50$，试值得$a=6,b=8$时，$30×6+8+8=196=14^2$，符合条件。
此时$m=68,n=60$，$A=68^2-60=4624-60=4564$。
【答案】
82；4564
【知识点】
新定义问题，完全平方数，整除的性质
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查了代数式运算、完全平方数特征、整数整除性质以及分类讨论思想，要求学生准确理解新定义规则，结合参数范围筛选符合条件的解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
