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11. 不一定在三角形内部的线段是 （
A.三角形的角平分线
B.三角形的中线
C.三角形的高
D.以上答案均不正确
C
）A.三角形的角平分线
B.三角形的中线
C.三角形的高
D.以上答案均不正确
答案
11.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先逐个回忆三角形的角平分线、中线、高的定义，再分别分析三类线段在锐角、直角、钝角三类不同三角形中的位置，就能判断出哪类线段不一定在三角形内部。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三角形的角平分线：是三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段，无论三角形是锐角、直角还是钝角，所有角平分线都在三角形内部，不符合题意；
B. 三角形的中线：是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，所有三角形的中线都在三角形内部，不符合题意；
C. 三角形的高：是从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。其中锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形有两条高与直角边重合；钝角三角形有两条高在三角形外部，因此三角形的高不一定在内部，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题侧重考查三角形中三类重要线段的位置特征，解题核心是明确不同类型的三角形中高的位置存在差异，注意不要和角平分线、中线的共性性质混淆。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以先逐个回忆三角形的角平分线、中线、高的定义，再分别分析三类线段在锐角、直角、钝角三类不同三角形中的位置，就能判断出哪类线段不一定在三角形内部。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三角形的角平分线：是三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段，无论三角形是锐角、直角还是钝角，所有角平分线都在三角形内部，不符合题意；
B. 三角形的中线：是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，所有三角形的中线都在三角形内部，不符合题意；
C. 三角形的高：是从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。其中锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形有两条高与直角边重合；钝角三角形有两条高在三角形外部，因此三角形的高不一定在内部，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题侧重考查三角形中三类重要线段的位置特征，解题核心是明确不同类型的三角形中高的位置存在差异，注意不要和角平分线、中线的共性性质混淆。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$△ ABC$中,AE是高,BD是角平分线,CF是中线,则下列结论不正确的是 (
A.$∠ AEC=∠ AEB$
B.$∠ ABD=∠ CBD$
C.$∠ ACF=∠ BCF$
D.$AF=BF$
C
)A.$∠ AEC=∠ AEB$
B.$∠ ABD=∠ CBD$
C.$∠ ACF=∠ BCF$
D.$AF=BF$
答案
12.C
解析
【分析】
这道题考查三角形中高、角平分线、中线的定义与性质，解题时结合已知给出的三类线段的定义，逐一分析每个选项是否符合对应线段的性质即可判断正误。首先明确各线段的特征：高对应垂直、角平分线对应平分内角、中线对应平分边，依此特征比对选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：AE是△ABC的高，因此AE⊥BC，可得∠AEC=∠AEB=90°，结论正确，不符合题意；
2. 选项B：BD是△ABC的角平分线，根据角平分线定义，BD平分∠ABC，因此∠ABD=∠CBD，结论正确，不符合题意；
3. 选项C：CF是△ABC的中线，仅能说明F是AB的中点，没有条件证明CF是∠ACB的角平分线，因此∠ACF和∠BCF不一定相等，结论错误，符合题意；
4. 选项D：CF是△ABC的中线，根据中线定义，F是AB的中点，因此AF=BF，结论正确，不符合题意。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高，三角形的角平分线，三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是准确区分三角形三类重要线段的定义和性质，避免混淆不同线段的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形中高、角平分线、中线的定义与性质，解题时结合已知给出的三类线段的定义，逐一分析每个选项是否符合对应线段的性质即可判断正误。首先明确各线段的特征：高对应垂直、角平分线对应平分内角、中线对应平分边，依此特征比对选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：AE是△ABC的高，因此AE⊥BC，可得∠AEC=∠AEB=90°，结论正确，不符合题意；
2. 选项B：BD是△ABC的角平分线，根据角平分线定义，BD平分∠ABC，因此∠ABD=∠CBD，结论正确，不符合题意；
3. 选项C：CF是△ABC的中线，仅能说明F是AB的中点，没有条件证明CF是∠ACB的角平分线，因此∠ACF和∠BCF不一定相等，结论错误，符合题意；
4. 选项D：CF是△ABC的中线，根据中线定义，F是AB的中点，因此AF=BF，结论正确，不符合题意。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高，三角形的角平分线，三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是准确区分三角形三类重要线段的定义和性质，避免混淆不同线段的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
13.如图，AD,AE分别是△ABC和△ABD的角平分线，且∠BAC=60°,则∠EAC的度数为
45°
。答案
13.45°
解析
【分析】
解题时先结合角平分线的定义，先利用AD是△ABC的角平分线，求出∠BAD、∠DAC的度数；再利用AE是△ABD的角平分线，求出∠EAD的度数；最后观察∠EAC由∠EAD和∠DAC共同组成，将两个角的度数相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠DAC = ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
又
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠EAD = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×30° = 15°。
∴∠EAC = ∠EAD + ∠DAC = 15° + 30° = 45°。
【答案】
45°
【知识点】
角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握角平分线的定义，理清所求角与已知角之间的数量关系，通过分步计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先结合角平分线的定义，先利用AD是△ABC的角平分线，求出∠BAD、∠DAC的度数；再利用AE是△ABD的角平分线，求出∠EAD的度数；最后观察∠EAC由∠EAD和∠DAC共同组成，将两个角的度数相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠DAC = ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°。
又
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠EAD = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×30° = 15°。
∴∠EAC = ∠EAD + ∠DAC = 15° + 30° = 45°。
【答案】
45°
【知识点】
角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握角平分线的定义，理清所求角与已知角之间的数量关系，通过分步计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
14.如图,在$△ ABC$中,AD,AE分别是边BC上的中线和高,点D在点E的左侧.已知$AE=4,DE=1,S_{△ ABC}=16$,则CE的长为
3
.答案
14.3
解析
【分析】
解题时先从已知的三角形面积和高入手，首先利用三角形面积公式求出底边BC的长度；再根据AD是BC边上的中线，由中线平分对边的性质求出DC的长度；最后结合线段的和差关系，用DC的长度减去DE的长度即可得到CE的长。
【解析】
1. 求底边BC的长度：
已知AE是BC边上的高，$AE=4$，$S_{△ ABC}=16$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AE$
代入数值：$16=\frac{1}{2}× BC×4$
计算得：$2BC=16$，即$BC=8$。
2. 求DC的长度：
因为AD是BC边上的中线，所以点D是BC的中点，中线平分对边，因此：
$DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
3. 求CE的长度：
由图可知点E在D、C之间，因此$DC=DE+CE$，已知$DE=1$，代入得：
$CE=DC-DE=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形面积公式，三角形中线的性质，线段和差计算
【点评】
本题侧重考查三角形基本线段的性质应用，解题思路清晰，只要掌握三角形面积计算方法和中线的性质，结合线段的和差关系就能快速求解，是对基础知识点的典型考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的三角形面积和高入手，首先利用三角形面积公式求出底边BC的长度；再根据AD是BC边上的中线，由中线平分对边的性质求出DC的长度；最后结合线段的和差关系，用DC的长度减去DE的长度即可得到CE的长。
【解析】
1. 求底边BC的长度：
已知AE是BC边上的高，$AE=4$，$S_{△ ABC}=16$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AE$
代入数值：$16=\frac{1}{2}× BC×4$
计算得：$2BC=16$，即$BC=8$。
2. 求DC的长度：
因为AD是BC边上的中线，所以点D是BC的中点，中线平分对边，因此：
$DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
3. 求CE的长度：
由图可知点E在D、C之间，因此$DC=DE+CE$，已知$DE=1$，代入得：
$CE=DC-DE=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形面积公式，三角形中线的性质，线段和差计算
【点评】
本题侧重考查三角形基本线段的性质应用，解题思路清晰，只要掌握三角形面积计算方法和中线的性质，结合线段的和差关系就能快速求解，是对基础知识点的典型考查。
【难度系数】
0.8
15.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,AD⊥BC于点D,AE平分∠DAC,∠B=60°,求∠DAE的度数. 
答案
15.解:因为 $AD⊥ BC$,所以$∠ ADB=90°$. 在$△ ABD$中，$∠ BAD=180°-∠ ADB-∠ B=180°-90°-60°=30°$,所以$∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=80°-30°=50°$. 因为 $AE$ 平分$∠ DAC$,所以$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ DAC=25°$.
解析
【分析】
要计算∠DAE的度数，已知AE平分∠DAC，因此需先求出∠DAC的度数。已知∠BAC=80°，因此只要算出∠BAD的度数即可得到∠DAC。由AD⊥BC可知∠ADB=90°，在△ABD中，结合已知∠B=60°，利用三角形内角和就能求出∠BAD，之后逐步推导即可得到最终结果。
【解析】
解：因为$AD⊥BC$，所以$∠ADB=90°$。
在$△ABD$中，根据三角形内角和为$180°$，得
$∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-60°=30°$，
所以$∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-30°=50°$。
因为$AE$平分$∠DAC$，
所以$∠DAE=\frac{1}{2}∠DAC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题属于基础的角度计算题，解题关键是理清各角之间的数量关系，结合垂线、角平分线的性质和三角形内角和定理逐步推导即可求解，有助于巩固三角形相关重要线段的性质应用。
【难度系数】
0.8
要计算∠DAE的度数，已知AE平分∠DAC，因此需先求出∠DAC的度数。已知∠BAC=80°，因此只要算出∠BAD的度数即可得到∠DAC。由AD⊥BC可知∠ADB=90°，在△ABD中，结合已知∠B=60°，利用三角形内角和就能求出∠BAD，之后逐步推导即可得到最终结果。
【解析】
解：因为$AD⊥BC$，所以$∠ADB=90°$。
在$△ABD$中，根据三角形内角和为$180°$，得
$∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-60°=30°$，
所以$∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-30°=50°$。
因为$AE$平分$∠DAC$，
所以$∠DAE=\frac{1}{2}∠DAC=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题属于基础的角度计算题，解题关键是理清各角之间的数量关系，结合垂线、角平分线的性质和三角形内角和定理逐步推导即可求解，有助于巩固三角形相关重要线段的性质应用。
【难度系数】
0.8
16. 主题探究 新趋势（2024－2025·合肥期末）
在学习完三角形的边角关系后，某数学兴趣小组进行了有关内容的探究学习。
资料1 垂线段最短。
资料2 三角形三条中线交于一点，交点称为三角形的重心。
资料3 重心到顶点距离是其到对边中点的距离的2倍，如图，点F为△ABC的重心，则AF=2FD。
资料4 三角形一条中线能将这个三角形的面积平分。
探究 已知△ABC的中线AD=6，BE=3，求△ABC面积的最大值。
在学习完三角形的边角关系后，某数学兴趣小组进行了有关内容的探究学习。
资料1 垂线段最短。
资料2 三角形三条中线交于一点，交点称为三角形的重心。
资料3 重心到顶点距离是其到对边中点的距离的2倍，如图，点F为△ABC的重心，则AF=2FD。
资料4 三角形一条中线能将这个三角形的面积平分。
探究 已知△ABC的中线AD=6，BE=3，求△ABC面积的最大值。
答案
16.解:因为$△ ABC$的中线$AD=6,BE=3$,所以$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$,点$F$是$△ ABC$的重心，所以$AF=\frac{2}{3}AD=4,BF=\frac{2}{3}BE=2$,所以$DF=6-4=2$. 作$AH⊥ BE$于点$H$,则$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}BF· AH$,因为$AH≤ AF$,所以当$AH=AF=4$时,$S_{△ ABF}$取得最大值为$\frac{1}{2}×2×4=4$,所以$S_{△ BDF}$的最大值为$\frac{1}{2}×4=2$,所以$S_{△ ABD}$的最大值为$2+4=6$,所以$S_{△ ABC}$的最大值为$2×6=12$.
解析
【分析】
要求△ABC的最大面积，我们可以逐步转化问题：首先根据中线平分面积的性质，可知S△ABC=2S△ABD，因此只需要先求出△ABD的最大面积。再结合重心的性质，先算出AF、BF、FD的长度，△ABD的面积可拆分为△ABF和△BDF的面积和。△ABF的面积可表示为$\frac{1}{2}×BF×AH$（AH为点A到BE的垂线段），根据垂线段最短，AH最大等于AF的长度，此时△ABF面积最大。又因为△ABF和△BDF同高，底的比为AF:FD=2:1，可得△BDF的最大面积，相加得到△ABD的最大面积后乘2即可得到△ABC的最大面积。
【解析】
解：
∵△ABC的中线AD=6，BE=3，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，且点F是△ABC的重心，
∴$AF=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×6=4$，$BF=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}×3=2$，
∴$DF=AD-AF=6-4=2$。
作$AH⊥BE$于点H，则$S_{△ABF}=\frac{1}{2}BF·AH$，
根据垂线段最短可知$AH≤AF$，
∴当$AH=AF=4$（即$AF⊥BE$）时，$S_{△ABF}$取得最大值，最大值为$\frac{1}{2}×2×4=4$。
∵△ABF和△BDF以AF、FD为底时高相同，$AF:FD=2:1$，
∴$S_{△BDF}$的最大值为$\frac{1}{2}×4=2$，
∴$S_{△ABD}$的最大值为$4+2=6$，
又
∵AD是△ABC的中线，$S_{△ABC}=2S_{△ABD}$，
∴$S_{△ABC}$的最大值为$2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
三角形重心性质，垂线段最短，三角形中线的性质
【点评】
本题需要结合给出的资料信息解题，将大三角形的面积最值问题转化为小三角形的面积最值问题，考查了信息提取应用能力和转化思想，需要灵活运用几何性质确定面积最大的情况。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的最大面积，我们可以逐步转化问题：首先根据中线平分面积的性质，可知S△ABC=2S△ABD，因此只需要先求出△ABD的最大面积。再结合重心的性质，先算出AF、BF、FD的长度，△ABD的面积可拆分为△ABF和△BDF的面积和。△ABF的面积可表示为$\frac{1}{2}×BF×AH$（AH为点A到BE的垂线段），根据垂线段最短，AH最大等于AF的长度，此时△ABF面积最大。又因为△ABF和△BDF同高，底的比为AF:FD=2:1，可得△BDF的最大面积，相加得到△ABD的最大面积后乘2即可得到△ABC的最大面积。
【解析】
解：
∵△ABC的中线AD=6，BE=3，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，且点F是△ABC的重心，
∴$AF=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×6=4$，$BF=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}×3=2$，
∴$DF=AD-AF=6-4=2$。
作$AH⊥BE$于点H，则$S_{△ABF}=\frac{1}{2}BF·AH$，
根据垂线段最短可知$AH≤AF$，
∴当$AH=AF=4$（即$AF⊥BE$）时，$S_{△ABF}$取得最大值，最大值为$\frac{1}{2}×2×4=4$。
∵△ABF和△BDF以AF、FD为底时高相同，$AF:FD=2:1$，
∴$S_{△BDF}$的最大值为$\frac{1}{2}×4=2$，
∴$S_{△ABD}$的最大值为$4+2=6$，
又
∵AD是△ABC的中线，$S_{△ABC}=2S_{△ABD}$，
∴$S_{△ABC}$的最大值为$2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
三角形重心性质，垂线段最短，三角形中线的性质
【点评】
本题需要结合给出的资料信息解题，将大三角形的面积最值问题转化为小三角形的面积最值问题，考查了信息提取应用能力和转化思想，需要灵活运用几何性质确定面积最大的情况。
【难度系数】
0.6
