9. 跨学科·物理 [2026合肥蜀山区段考] 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度$h(\mathrm{cm})$是液体的密度$\rho(\mathrm{g/cm}^3)$的反比例函数,其图象如图所示$(\rho＞0)$.下列说法正确的是 ()

A.当$\rho≥1$时,$h≥20$
B.当$\rho=2$时,$h=40$
C.当$0＜h≤25$时,$\rho≥0.8$
D.当$0＜\rho≤1$时,$h≤20$

根据题意得,反比例函数的表达式为$h=\frac{20}{\rho}$.由函数图象可知,当$\rho \ge 1$时,$h \le 20$,故选项A不符合题意;当$\rho=2$时,$h=\frac{20}{2}=10$,故选项B不符合题意;当$h=25$时,$\rho=\frac{20}{25}=0.8$,$\because$ 当$\rho＞0$时,$h$随$\rho$的增大而减小,$\therefore$ 当$0＜h \le 25$时,$\rho \ge 0.8$,故选项C符合题意;同理可知,当$0＜\rho \le 1$时,$h \ge 20$,故选项D不符合题意.

10. 一题多解 [2025 安庆宜秀区二模] 已知在平面直角坐标系中,正比例函数$y = k_1x(k_1 ＞ 0)$的图象与反比例函数$y = \frac{k_2}{x}(k_2 ＞ 0)$的图象的两个交点中,有一个交点的横坐标为1,点$A(t,p)$和点$B(t+2,q)$在函数$y = k_1x$的图象上$(t ≠ 0$且$t ≠ -2)$,点$C(t,m)$和点$D(t+2,n)$在函数$y = \frac{k_2}{x}$的图象上. 当$p - m$与$q - n$的积为负数时,$t$的取值范围是（）

A.$-\frac{7}{2} ＜ t ＜ -3$ 或 $\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1$
B.$-\frac{7}{2} ＜ t ＜ -3$ 或 $1 ＜ t ＜ \frac{3}{2}$
C.$-3 ＜ t ＜ -2$ 或 $-1 ＜ t ＜ 0$
D.$-3 ＜ t ＜ -2$ 或 $0 ＜ t ＜ 1$

$\because$ 两函数图象的一个交点的横坐标为1,$\therefore k_1=k_2$.
通解 不妨令$k_1=k_2=k$,将点$A,B$的坐标分别代入$y=kx$,得$p=kt$,$q=k(t+2)$,将点$C,D$的坐标分别代入$y=\frac{k}{x}$,得$m=\frac{k}{t}$,$n=\frac{k}{t+2}$,则$(p-m)(q-n)=(kt-\frac{k}{t})[k(t+2)-\frac{k}{t+2}]=k^2(t-\frac{1}{t})(t+2-\frac{1}{t+2})=\frac{k^2(t+1)^2(t-1)(t+3)}{t(t+2)} ＜ 0$,$\because k^2(t+1)^2 \ge 0$,$\therefore \frac{(t-1)(t+3)}{t(t+2)} ＜ 0$,即$t(t-1)(t+2)(t+3) ＜ 0$.当$t ＜ -3$时,$t(t-1)(t+2)(t+3) ＞ 0$,不符合题意,舍去;当$-3 ＜ t ＜ -2$时,$t(t-1)(t+2)(t+3) ＜ 0$,符合题意;当$-2 ＜ t ＜ 0$时,$t(t-1)(t+2)(t+3) ＞ 0$,不符合题意,舍去;当$0 ＜ t ＜ 1$时,$t(t-1)(t+2)(t+3) ＜ 0$,符合题意;当$t ＞ 1$时,$t(t-1)(t+2)(t+3) ＞ 0$,不符合题意,舍去.综上,$t$的取值范围是$-3 ＜ t ＜ -2$或$0 ＜ t ＜ 1$.
另解 画出正比例函数$y = k_1x(k_1 ＞ 0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}(k_2 ＞ 0)$的图象如图所示.数形结合可知,当$0 ＜ t ＜ 1$时,$p-m ＜ 0$,$q-n ＞ 0$,$\therefore (p-m)(q-n) ＜ 0$;当$-3 ＜ t ＜ -2$时,$p-m ＜ 0$,$q-n ＞ 0$,$\therefore (p-m)(q-n) ＜ 0$.$\therefore$ 当$p-m$与$q-n$的积为负数时,$t$的取值范围是$-3 ＜ t ＜ -2$或$0 ＜ t ＜ 1$.

11. [2026合肥庐阳区期末]如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别是反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(k≠0)$与一次函数$y_2=x+b$的图象的交点，已知A(1,2)，在线段AB上取一点C，过C点作直线l平行x轴，交反比例函数$y_1$的图象于点D，连接OD,OC.
(1)$b=$；
(2)记$△ OCD$的面积为$S_{△ OCD}$，则$S_{△ OCD}$的最大值为.

解题思路:(1)将$A(1,2)$代入$y_2 = x + b$即可解答.(2)设$C(a,a+1)$,则$D(\frac{2}{a+1},a+1)$,由点$C$在线段$AB$上知$-2 \le a \le 1$,$CD=|\frac{2}{a+1}-a|$,点$O$到直线$CD$的距离为$|a+1|$,得到$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}|-a^2 -a +2|=-\frac{1}{2}(a+\frac{1}{2})^2 + \frac{9}{8}$,根据二次函数的性质即可解答.
(1)$\because$ 一次函数$y_2 = x + b$的图象过点$A(1,2)$,$\therefore 2=1+b$,解得$b=1$.(2)$\because$ 反比例函数的图象过点$A(1,2)$,$\therefore k=1 × 2=2$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$.解方程组$\begin{cases} y = \frac{2}{x}, \\ y = x + 1, \end{cases}$得$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-2, \\ y=-1, \end{cases}$$\therefore B(-2,-1)$.设$C(a,a+1)$,则$D(\frac{2}{a+1},a+1)$,$\because$ 点$C$是线段$AB$上的点,$\therefore -2 \le a \le 1$,$\therefore CD=|\frac{2}{a+1}-a|$,点$O$到直线$CD$的距离为$|a+1|$,$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{2}|\frac{2}{a+1}-a| · |a+1|=\frac{1}{2}|-a^2 -a +2|$.$\because -2 \le a \le 1$,$\therefore -a^2 -a +2 \ge 0$,$\therefore S_{△ OCD}=\frac{1}{2}|-a^2 -a +2|=-\frac{1}{2}(a+\frac{1}{2})^2 + \frac{9}{8}$.$\because -\frac{1}{2} ＜ 0$,$\therefore$ 当$a=-\frac{1}{2}$时,$S_{△ OCD}$取最大值$\frac{9}{8}$.

12. [2026合肥四十五中月考]某工业大学学生在研究一种新型材料时,需先将材料加热到800 ℃,再进行加工操作.如图,停止加热后,温度y(℃)与时间x(min)成反比例关系.
(1)求材料停止加热后y与x的函数表达式;
(2)根据工艺要求,停止加热后,当材料温度不低于480 ℃时,可以对材料进行加工,那么加工的时间有多长?

解:(1)设材料停止加热后$y$与$x$的函数表达式为$y = \frac{m}{x}$ ($m \ne 0$),
把$(8,600)$代入表达式,得$m=600 × 8=4800$,
故材料停止加热后$y$与$x$的函数表达式为$y = \frac{4800}{x}$.
(2)对于$y=\frac{4800}{x}$,当$y=800$时,$800=\frac{4800}{x}$,解得$x=6$;
当$y=480$时,$480=\frac{4800}{x}$,解得$x=10$.
所以加工的时间为$10-6=4(\min)$.

13. 运算能力 [2025成都中考] 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y = -x + b与反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象的一个交点为A(a,2),与x轴的交点为B(3,0).
(1)求k的值;
(2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点D在反比例函数的图象上,若∠ACD = 90°,求直线AD的函数表达式;
(3)P为x轴上一点,直线AP交反比例函数的图象于点E(异于点A),连接BE,若△BEP的面积为2,求点E的坐标.

备用图

解:(1)$\because$ 直线$y = -x + b$与$x$轴的交点为$B(3,0)$,
$\therefore 0 = -3 + b$,解得$b=3$.
$\therefore y = -x + 3$.
把$A(a,2)$代入$y = -x + 3$,
得$2 = -a + 3$,解得$a=1$,$\therefore A(1,2)$.
$\because$ 点$A(1,2)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上,
$\therefore k=1 × 2=2$.
(2)$\because$ 直线$AO$与反比例函数的图象在第三象限交于点$C$,点$A(1,2)$,
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(-1,-2)$(依据:反比例函数图象与正比例函数图象的两个交点关于原点对称),
$\therefore AC^2=(1+1)^2+(2+2)^2=20$.
设点$D$的坐标为$(m,\frac{2}{m})$,
$\therefore AD^2=(1-m)^2+(2-\frac{2}{m})^2$,$CD^2=(-1-m)^2+(-2-\frac{2}{m})^2$.
$\because ∠ ACD=90°$,$\therefore AD^2=CD^2+AC^2$,
$\therefore (1-m)^2+(2-\frac{2}{m})^2=(-1-m)^2+(-2-\frac{2}{m})^2+20$,
解得$m_1=-4$,$m_2=-1$(舍去).
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(-4,-\frac{1}{2})$.
设直线$AD$的函数表达式为$y=k_1x + b_1$,
把$D(-4,-\frac{1}{2})$,$A(1,2)$分别代入,得
$\begin{cases} -4k_1 + b_1 = -\frac{1}{2}, \\ k_1 + b_1 = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_1 = \frac{1}{2}, \\ b_1 = \frac{3}{2}. \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AD$的函数表达式为$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.
(3)设点$E$的坐标为$(t,\frac{2}{t})$.
设直线$AE$的函数表达式为$y=k_2x + b_2$,
把$E(t,\frac{2}{t})$,$A(1,2)$分别代入,得$\begin{cases} tk_2 + b_2 = \frac{2}{t}, \\ k_2 + b_2 = 2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k_2 = -\frac{2}{t}, \\ b_2 = \frac{2t + 2}{t}. \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AE$的函数表达式为$y = -\frac{2}{t}x + \frac{2t+2}{t}$.
当$y=0$时,$0 = -\frac{2}{t}x + \frac{2t+2}{t}$,解得$x = t+1$.
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(t+1,0)$,
$\therefore BP=|t+1-3|=|t-2|$,
$\therefore S_{△ BEP}=\frac{1}{2}|y_E| · BP = \frac{1}{2}|\frac{2}{t}| · |t-2|$.
$\because △ BEP$的面积为2,
$\therefore \frac{1}{2}|\frac{2}{t}| · |t-2| = 2$,
解得$t=\frac{2}{3}$或$t=-2$.
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(-2,-1)$或$(\frac{2}{3},3)$.