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1 下列说法中，正确的有(
① 三角形的内心到三角形三条边的距离相等；
② 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；
③ 三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点；
④ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)个。① 三角形的内心到三角形三条边的距离相等；
② 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；
③ 三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点；
④ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆三角形内心、外心的定义和相关性质，再逐一判断4个说法的正误，最后统计正确说法的个数即可得到答案。首先明确：三角形的内心是内角平分线的交点，结合角平分线的性质可判断其到边的距离特点；三角形的外心是三边垂直平分线的交点，注意区分二者的性质不要混淆。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 说法①：三角形的内心是三个内角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此内心到三角形三条边的距离相等，该说法正确；
2. 说法②：到三角形三个顶点距离相等的是三角形的外心，不是内心，该说法错误；
3. 说法③：三角形的内心的定义就是三角形三个内角平分线的交点，该说法正确；
4. 说法④：三角形的外心的定义就是三角形三边垂直平分线的交点，该说法正确。
综上，正确的说法有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形外心的性质，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分三角形内心和外心的定义与性质，只要准确记忆二者的区别就能轻松解题，是对基础概念掌握程度的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要先回忆三角形内心、外心的定义和相关性质，再逐一判断4个说法的正误，最后统计正确说法的个数即可得到答案。首先明确：三角形的内心是内角平分线的交点，结合角平分线的性质可判断其到边的距离特点；三角形的外心是三边垂直平分线的交点，注意区分二者的性质不要混淆。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
1. 说法①：三角形的内心是三个内角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此内心到三角形三条边的距离相等，该说法正确；
2. 说法②：到三角形三个顶点距离相等的是三角形的外心，不是内心，该说法错误；
3. 说法③：三角形的内心的定义就是三角形三个内角平分线的交点，该说法正确；
4. 说法④：三角形的外心的定义就是三角形三边垂直平分线的交点，该说法正确。
综上，正确的说法有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质，三角形外心的性质，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分三角形内心和外心的定义与性质，只要准确记忆二者的区别就能轻松解题，是对基础概念掌握程度的考查。
【难度系数】
0.7
2 如图，在$△ ABC$中，点M、N为AC边上的两点，已知$AM = NM$，$BM ⊥ AC$，$ND ⊥ BC$于点D，且$NM = ND$，若$∠ A = α$，则$∠ C = (\ )$。
A.$\frac{3}{2}α$
B.$90° - \frac{1}{2}α$
C.$120° - α$
D.$2α - 90°$
A.$\frac{3}{2}α$
B.$90° - \frac{1}{2}α$
C.$120° - α$
D.$2α - 90°$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直和线段相等条件入手：①由$BM ⊥ AC$且$AM=NM$，可知$BM$是$AN$的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得$AB=BN$，进而得到$∠ ABM=∠ MBN$；②由$NM ⊥ BM$、$ND ⊥ BC$且$NM=ND$，根据角平分线的判定定理可得$BN$平分$∠ MBC$，即$∠ MBN=∠ NBC$，因此$∠ ABC$被分为三个相等的小角。再结合直角三角形两锐角互余得到小角和$∠ A$的关系，最后利用三角形外角的性质即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
1. 已知$BM ⊥ AC$，$AM=NM$，因此$BM$垂直平分线段$AN$，根据线段垂直平分线的性质，可得$AB=BN$。
在$Rt△ ABM$和$Rt△ NBM$中，$\begin{cases} AB=BN \\ BM=BM \end{cases}$，因此$Rt△ ABM ≌ Rt△ NBM$（HL），可得$∠ ABM=∠ MBN$，$∠ ANB=∠ A=α$。
2. 已知$NM ⊥ BM$，$ND ⊥ BC$，且$NM=ND$，根据角平分线的判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），可得$BN$平分$∠ MBC$，因此$∠ MBN=∠ NBC$。
3. 结合上述结论可知$∠ ABM=∠ MBN=∠ NBC$。在$Rt△ ABM$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ ABM=90° - ∠ A=90° - α$，即$∠ NBC=90° - α$。
4. $∠ ANB$是$△ BNC$的外角，根据三角形外角的性质：外角等于不相邻两个内角的和，可得$∠ ANB=∠ NBC + ∠ C$。
将$∠ ANB=α$、$∠ NBC=90° - α$代入得：$α=(90° - α) + ∠ C$，整理得$∠ C=2α - 90°$。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算综合题，解题核心是通过已知的垂直、等线段条件推导出角的等量关系，需要熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的相关定理，能灵活运用三角形外角或内角和定理进行角度推导。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的垂直和线段相等条件入手：①由$BM ⊥ AC$且$AM=NM$，可知$BM$是$AN$的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得$AB=BN$，进而得到$∠ ABM=∠ MBN$；②由$NM ⊥ BM$、$ND ⊥ BC$且$NM=ND$，根据角平分线的判定定理可得$BN$平分$∠ MBC$，即$∠ MBN=∠ NBC$，因此$∠ ABC$被分为三个相等的小角。再结合直角三角形两锐角互余得到小角和$∠ A$的关系，最后利用三角形外角的性质即可求出$∠ C$的度数。
【解析】
1. 已知$BM ⊥ AC$，$AM=NM$，因此$BM$垂直平分线段$AN$，根据线段垂直平分线的性质，可得$AB=BN$。
在$Rt△ ABM$和$Rt△ NBM$中，$\begin{cases} AB=BN \\ BM=BM \end{cases}$，因此$Rt△ ABM ≌ Rt△ NBM$（HL），可得$∠ ABM=∠ MBN$，$∠ ANB=∠ A=α$。
2. 已知$NM ⊥ BM$，$ND ⊥ BC$，且$NM=ND$，根据角平分线的判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），可得$BN$平分$∠ MBC$，因此$∠ MBN=∠ NBC$。
3. 结合上述结论可知$∠ ABM=∠ MBN=∠ NBC$。在$Rt△ ABM$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ ABM=90° - ∠ A=90° - α$，即$∠ NBC=90° - α$。
4. $∠ ANB$是$△ BNC$的外角，根据三角形外角的性质：外角等于不相邻两个内角的和，可得$∠ ANB=∠ NBC + ∠ C$。
将$∠ ANB=α$、$∠ NBC=90° - α$代入得：$α=(90° - α) + ∠ C$，整理得$∠ C=2α - 90°$。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算综合题，解题核心是通过已知的垂直、等线段条件推导出角的等量关系，需要熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的相关定理，能灵活运用三角形外角或内角和定理进行角度推导。
【难度系数】
0.6
3 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=50°$,$∠ ACB=60°$,点$E$在$BC$的延长线上,$∠ ABC$的平分线$BD$与$∠ ACE$的平分线$CD$相交于点$D$,连接$AD$,则$∠ CAD$度数为(
A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$
C
)。A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：①首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，确定∠BAC的外角度数；②结合已知BD、CD分别是两个角的平分线，想到利用角平分线的性质：过点D向AB、BC、AC三边作垂线，可得到三条垂线段的长度相等，再根据角平分线的判定，推出AD是∠BAC的外角平分线；③最后根据角平分线的定义计算∠CAD的度数。解题的核心是通过作辅助线，结合角平分线的性质和判定确定AD的属性。
【解析】
1. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-50°-60°=70°$，
则∠BAC的外角度数为$180°-70°=110°$。
2. 证明AD是∠BAC的外角平分线：
过点D分别作$DM⊥ AB$交BA的延长线于M，$DN⊥ BC$于N，$DP⊥ AC$于P。
∵BD平分∠ABC，$DM⊥ AB$，$DN⊥ BC$，
∴$DM=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CD平分∠ACE，$DP⊥ AC$，$DN⊥ BC$，
∴$DP=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$DM=DP$，又
∵$DM⊥ AB$，$DP⊥ AC$，
∴点D在∠BAC的外角平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），即AD平分∠BAC的外角。
3. 计算∠CAD：
$∠ CAD=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查角平分线性质和判定的综合运用，解题的突破口是通过作三条垂线段，利用相等关系推导AD的角平分线属性，能有效检验学生对定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：①首先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，确定∠BAC的外角度数；②结合已知BD、CD分别是两个角的平分线，想到利用角平分线的性质：过点D向AB、BC、AC三边作垂线，可得到三条垂线段的长度相等，再根据角平分线的判定，推出AD是∠BAC的外角平分线；③最后根据角平分线的定义计算∠CAD的度数。解题的核心是通过作辅助线，结合角平分线的性质和判定确定AD的属性。
【解析】
1. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-50°-60°=70°$，
则∠BAC的外角度数为$180°-70°=110°$。
2. 证明AD是∠BAC的外角平分线：
过点D分别作$DM⊥ AB$交BA的延长线于M，$DN⊥ BC$于N，$DP⊥ AC$于P。
∵BD平分∠ABC，$DM⊥ AB$，$DN⊥ BC$，
∴$DM=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CD平分∠ACE，$DP⊥ AC$，$DN⊥ BC$，
∴$DP=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$DM=DP$，又
∵$DM⊥ AB$，$DP⊥ AC$，
∴点D在∠BAC的外角平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），即AD平分∠BAC的外角。
3. 计算∠CAD：
$∠ CAD=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查角平分线性质和判定的综合运用，解题的突破口是通过作三条垂线段，利用相等关系推导AD的角平分线属性，能有效检验学生对定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
4 如图，AP平分∠DAB，且PE=PF，PE、PF分别垂直AD、BC于点E、F，如果AE=1 cm，BF=3 cm，EP=2 cm，那么$S_{△ APB}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$。
答案
4
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过点P作AB的垂线，得到该垂线段长度等于PE；再通过直角三角形全等的判定（HL）分别证明两组直角三角形全等，得到AB的长度等于AE与BF的和；最后代入三角形面积公式即可求出△APB的面积。
【解析】
解：过点P作$PG⊥ AB$于点G。
1. 由角平分线的性质：
∵AP平分$∠ DAB$，$PE⊥ AD$，$PG⊥ AB$，
∴$PG=PE=2\mathrm{cm}$。
2. 证明$\mathrm{Rt}△ APE≌\mathrm{Rt}△ APG$：
在$\mathrm{Rt}△ APE$和$\mathrm{Rt}△ APG$中，
$\begin{cases}AP=AP\\PE=PG\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ APE≌\mathrm{Rt}△ APG(\mathrm{HL})$，得$AG=AE=1\mathrm{cm}$。
3. 证明$\mathrm{Rt}△ PBG≌\mathrm{Rt}△ PBF$：
∵$PE=PF$，
∴$PG=PF$，
在$\mathrm{Rt}△ PBG$和$\mathrm{Rt}△ PBF$中，
$\begin{cases}PB=PB\\PG=PF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ PBG≌\mathrm{Rt}△ PBF(\mathrm{HL})$，得$BG=BF=3\mathrm{cm}$。
4. 计算面积：
$AB=AG+BG=1+3=4\mathrm{cm}$，
$S_{△ APB}=\frac{1}{2}× AB× PG=\frac{1}{2}×4×2=4\mathrm{cm}^2$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，通过全等转化边长求出三角形的底，结合面积公式求解，是角平分线性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过点P作AB的垂线，得到该垂线段长度等于PE；再通过直角三角形全等的判定（HL）分别证明两组直角三角形全等，得到AB的长度等于AE与BF的和；最后代入三角形面积公式即可求出△APB的面积。
【解析】
解：过点P作$PG⊥ AB$于点G。
1. 由角平分线的性质：
∵AP平分$∠ DAB$，$PE⊥ AD$，$PG⊥ AB$，
∴$PG=PE=2\mathrm{cm}$。
2. 证明$\mathrm{Rt}△ APE≌\mathrm{Rt}△ APG$：
在$\mathrm{Rt}△ APE$和$\mathrm{Rt}△ APG$中，
$\begin{cases}AP=AP\\PE=PG\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ APE≌\mathrm{Rt}△ APG(\mathrm{HL})$，得$AG=AE=1\mathrm{cm}$。
3. 证明$\mathrm{Rt}△ PBG≌\mathrm{Rt}△ PBF$：
∵$PE=PF$，
∴$PG=PF$，
在$\mathrm{Rt}△ PBG$和$\mathrm{Rt}△ PBF$中，
$\begin{cases}PB=PB\\PG=PF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ PBG≌\mathrm{Rt}△ PBF(\mathrm{HL})$，得$BG=BF=3\mathrm{cm}$。
4. 计算面积：
$AB=AG+BG=1+3=4\mathrm{cm}$，
$S_{△ APB}=\frac{1}{2}× AB× PG=\frac{1}{2}×4×2=4\mathrm{cm}^2$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，通过全等转化边长求出三角形的底，结合面积公式求解，是角平分线性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.6
5 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在$∠ AOB$上，两把直尺的接触点为点$P$，边$OA$与其中一把直尺边缘的交点为$C$，点$C$、$P$在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则$OC$的长度是
3 cm
。答案
3 cm
解析
【分析】
首先结合长方形直尺的特点分析：两把完全相同的直尺宽度相等，因此点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，可判断OP是∠AOB的角平分线，得到∠COP=∠BOP；再根据直尺对边平行的性质，可得∠CPO=∠BOP，等量代换后可推出△COP为等腰三角形，即OC=CP，最后计算CP的刻度差即可得到OC的长度。
【解析】
过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N。
∵ 两把长方形直尺完全相同，
∴ PM=PN，
根据角平分线的判定定理，可得OP平分∠AOB，即∠COP=∠BOP。
又
∵ 直尺的对边互相平行，CP所在的直尺边缘与OB平行，
∴ ∠CPO=∠BOP，
∴ ∠COP=∠CPO，
∴ △COP是等腰三角形，OC=CP。
已知点C、P的刻度读数分别为2、5，
∴ CP=5-2=3(cm)，
∴ OC=3cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题以生活中常见的直尺为背景考查几何性质的应用，需要将实物特点转化为几何条件，结合角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质求解，注重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先结合长方形直尺的特点分析：两把完全相同的直尺宽度相等，因此点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等，可判断OP是∠AOB的角平分线，得到∠COP=∠BOP；再根据直尺对边平行的性质，可得∠CPO=∠BOP，等量代换后可推出△COP为等腰三角形，即OC=CP，最后计算CP的刻度差即可得到OC的长度。
【解析】
过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N。
∵ 两把长方形直尺完全相同，
∴ PM=PN，
根据角平分线的判定定理，可得OP平分∠AOB，即∠COP=∠BOP。
又
∵ 直尺的对边互相平行，CP所在的直尺边缘与OB平行，
∴ ∠CPO=∠BOP，
∴ ∠COP=∠CPO，
∴ △COP是等腰三角形，OC=CP。
已知点C、P的刻度读数分别为2、5，
∴ CP=5-2=3(cm)，
∴ OC=3cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题以生活中常见的直尺为背景考查几何性质的应用，需要将实物特点转化为几何条件，结合角平分线、平行线、等腰三角形的相关性质求解，注重考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
⑥ 从一个角的顶点出发的两条射线，如果把这个角分成三个相等的角，则这两条射线就叫这个角的三等分线。如图，在$△ ABC$中，点$M$、$N$是$∠ ABC$与$∠ ACB$三等分线的交点。若$∠ A=60°$，则$∠ BMN$的度数是
50°
。答案
50°
解析
【分析】
首先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和；再结合三等分线的定义，计算出△BMC中∠MBC和∠MCB的度数和，进而求出∠BMC的度数；接着判断点N是△BMC的内角平分线交点，根据三角形三条角平分线交于一点的性质，可得MN平分∠BMC，最后计算∠BMN的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=60°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$
∵BM、BN是∠ABC的三等分线，CM、CN是∠ACB的三等分线
∴$∠ MBC = \frac{2}{3}∠ ABC$，$∠ MCB = \frac{2}{3}∠ ACB$，且BN平分∠MBC，CN平分∠MCB
则$∠ MBC + ∠ MCB = \frac{2}{3}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{2}{3}×120° = 80°$
在△MBC中，$∠ BMC = 180° - (∠ MBC + ∠ MCB) = 180° - 80° = 100°$
∵BN、CN是△BMC的内角平分线，三角形三条角平分线交于一点
∴MN平分∠BMC
∴$∠ BMN = \frac{1}{2}∠ BMC = \frac{1}{2}×100° = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，三等分线定义
【点评】
本题结合三等分线的定义考查三角形内角和与角平分线的性质，解题的关键是识别出N是△BMC的角平分线交点，进而得到MN平分∠BMC，运用整体代入的思路计算角度可以简化运算。
【难度系数】
0.6
首先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和；再结合三等分线的定义，计算出△BMC中∠MBC和∠MCB的度数和，进而求出∠BMC的度数；接着判断点N是△BMC的内角平分线交点，根据三角形三条角平分线交于一点的性质，可得MN平分∠BMC，最后计算∠BMN的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠A=60°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$
∵BM、BN是∠ABC的三等分线，CM、CN是∠ACB的三等分线
∴$∠ MBC = \frac{2}{3}∠ ABC$，$∠ MCB = \frac{2}{3}∠ ACB$，且BN平分∠MBC，CN平分∠MCB
则$∠ MBC + ∠ MCB = \frac{2}{3}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{2}{3}×120° = 80°$
在△MBC中，$∠ BMC = 180° - (∠ MBC + ∠ MCB) = 180° - 80° = 100°$
∵BN、CN是△BMC的内角平分线，三角形三条角平分线交于一点
∴MN平分∠BMC
∴$∠ BMN = \frac{1}{2}∠ BMC = \frac{1}{2}×100° = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，三等分线定义
【点评】
本题结合三等分线的定义考查三角形内角和与角平分线的性质，解题的关键是识别出N是△BMC的角平分线交点，进而得到MN平分∠BMC，运用整体代入的思路计算角度可以简化运算。
【难度系数】
0.6
