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初中数学
八年级
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人教
10.「2026海南海口期中，★☆」如图，若用若干张正方形卡片A类(边长为$a$)，B类(边长为$b$)和长方形卡片C类(长为$a$，宽为$b$)拼成长为$(2a+b)$，宽为$(a+2b)$的长方形，则需要C类卡片的张数为 (
A.6
B.5
C.4
D.3
八年级
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人教
10.「2026海南海口期中，★☆」如图，若用若干张正方形卡片A类(边长为$a$)，B类(边长为$b$)和长方形卡片C类(长为$a$，宽为$b$)拼成长为$(2a+b)$，宽为$(a+2b)$的长方形，则需要C类卡片的张数为 (
B
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案
B $(2a+b)(a+2b)=2a^2+4ab+ab+2b^2=2a^2+5ab+2b^2.\therefore$ 需要C类卡片的张数为5.
11.「★☆」对于多项式$x-a,x-b,x-c,x-d(a,b,c,d$是常数),若$x-a$与$x-b$的积减去$x-c$与$x-d$的积,差为常数,则$a,b,c,d$应满足的关系是 (
A.$a+b=-c-d$
B.$a-b=c-d$
C.$a+b=c+d$
D.$ab=cd$
C
)A.$a+b=-c-d$
B.$a-b=c-d$
C.$a+b=c+d$
D.$ab=cd$
答案
C $(x-a)(x-b)-(x-c)(x-d)=x^2-bx-ax+ab-(x^2-dx-cx+cd)=x^2-bx-ax+ab-x^2+dx+cx-cd=dx+cx-ax-bx+ab-cd=(d+c-a-b)x+ab-cd,\because x-a$与$x-b$的积减去$x-c$与$x-d$的积,差为常数,$\therefore d+c-a-b=0,\therefore a+b=c+d,$故选C.
12.「2025湖南岳阳质检，★☆」4个数$a,b,c,d$排列成$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}$，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，若$\begin{vmatrix} 2(x-2)&x+3 \\ 2x-1&x+2 \end{vmatrix}=15$，则$x=$ ______ 。
答案
答案 -4
解析 $\because \begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc,\begin{vmatrix} 2(x-2)&x+3 \\ 2x-1&x+2 \end{vmatrix}=15,\therefore 2(x-2)(x+2)-(x+3)(2x-1)=15,$化简得$-5x-5=15,$解得$x=-4,$故答案为-4.
解析 $\because \begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc,\begin{vmatrix} 2(x-2)&x+3 \\ 2x-1&x+2 \end{vmatrix}=15,\therefore 2(x-2)(x+2)-(x+3)(2x-1)=15,$化简得$-5x-5=15,$解得$x=-4,$故答案为-4.
13.「2026福建泉州月考，★☆」若$(x+p)(x+q)=x^2+mx+36$，$p,q$为正整数，则$m$的最大值与最小值的差为________。
答案
答案 25
解析 $\because (x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq=x^2+mx+36,$
$\therefore p+q=m,pq=36,$
$\because p,q$为正整数,$\therefore pq=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6=9×4=12×3=18×2=36×1,$
当$pq=1×36$或$36×1$时,$m=1+36=37,$
当$pq=2×18$或$18×2$时,$m=2+18=30,$
当$pq=3×12$或$12×3$时,$m=3+12=15,$
当$pq=4×9$或$9×4$时,$m=4+9=13,$
当$pq=6×6$时,$m=6+6=12,$
$\therefore m$的最大值为37,最小值为12,$\therefore m$的最大值与最小值的差为$37-12=25.$
故答案为25.
解析 $\because (x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq=x^2+mx+36,$
$\therefore p+q=m,pq=36,$
$\because p,q$为正整数,$\therefore pq=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6=9×4=12×3=18×2=36×1,$
当$pq=1×36$或$36×1$时,$m=1+36=37,$
当$pq=2×18$或$18×2$时,$m=2+18=30,$
当$pq=3×12$或$12×3$时,$m=3+12=15,$
当$pq=4×9$或$9×4$时,$m=4+9=13,$
当$pq=6×6$时,$m=6+6=12,$
$\therefore m$的最大值为37,最小值为12,$\therefore m$的最大值与最小值的差为$37-12=25.$
故答案为25.
14.「2026浙江金华期中，★★」在计算$(2x+a)·(x+b)$时，甲错把$b$看成了6，得到的结果是$2x^2+8x-24$；乙错把$a$看成了4，得到的结果是$2x^2+14x+20$。
(1)求$a,b$的值。
(2)计算$(2x+a)(x+b)$的正确结果。
(1)求$a,b$的值。
(2)计算$(2x+a)(x+b)$的正确结果。
答案
(1)$\because$ 甲错把$b$看成了6,得到的结果是$2x^2+8x-24,\therefore (2x+a)(x+6)=2x^2+12x+ax+6a=2x^2+(12+a)x+6a=2x^2+8x-24,$
$\therefore 12+a=8,\therefore a=-4,$
$\because$ 乙错把$a$看成了4,得到的结果是$2x^2+14x+20,$
$\therefore (2x+4)(x+b)=2x^2+2bx+4x+4b=2x^2+(2b+4)x+4b=2x^2+14x+20,\therefore 2b+4=14,\therefore b=5.$
(2)$\because a=-4,b=5,$
$\therefore (2x+a)(x+b)=(2x-4)(x+5)=2x^2+10x-4x-20=2x^2+6x-20.$
$\therefore 12+a=8,\therefore a=-4,$
$\because$ 乙错把$a$看成了4,得到的结果是$2x^2+14x+20,$
$\therefore (2x+4)(x+b)=2x^2+2bx+4x+4b=2x^2+(2b+4)x+4b=2x^2+14x+20,\therefore 2b+4=14,\therefore b=5.$
(2)$\because a=-4,b=5,$
$\therefore (2x+a)(x+b)=(2x-4)(x+5)=2x^2+10x-4x-20=2x^2+6x-20.$
15. 核心 素养 推理能力 「2026北京东城期中改编」图1是2025年5月的月历.
(1)现用如图2所示的“Z”字型框出2025年5月的月历中的5个数(图1中阴影部分).将中间数字的上、下两数相乘,左上、右下两数相乘,再相减,通过计算后你能发现什么规律?并用整式的运算对你发现的规律加以证明.
(2)若在2025年5月的月历中用方框圈住的4个数为$\begin{array}{|c|c|}\hline m&n\\\hline p&q\\\hline\end{array}$,请利用月历中的规律写出$mq$与$np$之间的数量关系,并说明理由.
(1)现用如图2所示的“Z”字型框出2025年5月的月历中的5个数(图1中阴影部分).将中间数字的上、下两数相乘,左上、右下两数相乘,再相减,通过计算后你能发现什么规律?并用整式的运算对你发现的规律加以证明.
(2)若在2025年5月的月历中用方框圈住的4个数为$\begin{array}{|c|c|}\hline m&n\\\hline p&q\\\hline\end{array}$,请利用月历中的规律写出$mq$与$np$之间的数量关系,并说明理由.
答案
(1)$5×19-4×20=95-80=15;$
$2×16-1×17=32-17=15.$
发现规律:将中间数字的上、下两数相乘,左上、右下两数相乘,再相减,结果都等于15.
证明:设题图2中的$c=x$,
则$b=x-7,d=x+7,a=x-8,e=x+8,$
$\therefore b· d=(x-7)(x+7)=x^2-49,a· e=(x-8)(x+8)=x^2-64,$
$\therefore b· d-a· e=x^2-49-x^2+64=15.$
(2)$mq-np=-7.$
理由:由月历中的规律可知$n=m+1,p=m+7,q=m+8,\therefore mq-np=m(m+8)-(m+1)(m+7)=m^2+8m-(m^2+8m+7)=m^2+8m-m^2-8m-7=-7.$
$2×16-1×17=32-17=15.$
发现规律:将中间数字的上、下两数相乘,左上、右下两数相乘,再相减,结果都等于15.
证明:设题图2中的$c=x$,
则$b=x-7,d=x+7,a=x-8,e=x+8,$
$\therefore b· d=(x-7)(x+7)=x^2-49,a· e=(x-8)(x+8)=x^2-64,$
$\therefore b· d-a· e=x^2-49-x^2+64=15.$
(2)$mq-np=-7.$
理由:由月历中的规律可知$n=m+1,p=m+7,q=m+8,\therefore mq-np=m(m+8)-(m+1)(m+7)=m^2+8m-(m^2+8m+7)=m^2+8m-m^2-8m-7=-7.$
