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1.「2026甘肃兰州期中」化简$( \dfrac{a^2}{a-3} - \dfrac{9}{a-3} ) ÷ \dfrac{a+3}{a}$的结果是（
A.$-a$
B.$a$
C.$\dfrac{(a+3)^2}{a}$
D.$1$
B
）A.$-a$
B.$a$
C.$\dfrac{(a+3)^2}{a}$
D.$1$
答案
1.B 原式=$\frac{a^2-9}{a-3}·\frac{a}{a+3}=\frac{(a+3)(a-3)}{a-3}·\frac{a}{a+3}=a.$
2. 计算$(\dfrac{2x^2}{3y})^2 · \dfrac{3y}{4x} + \dfrac{x^2}{2y^2} ÷ \dfrac{3}{xy} =$
$\frac{x^3}{2y}$
.答案
2.答案 $\frac{x^3}{2y}$
解析 原式=$\frac{4x^4}{9y^2}·\frac{3y}{4x}+\frac{x^2}{2y^2}·\frac{xy}{3}=\frac{x^3}{3y}+\frac{x^3}{6y}=\frac{2x^3+x^3}{6y}=\frac{x^3}{2y}.$
故答案为$\frac{x^3}{2y}.$
解析 原式=$\frac{4x^4}{9y^2}·\frac{3y}{4x}+\frac{x^2}{2y^2}·\frac{xy}{3}=\frac{x^3}{3y}+\frac{x^3}{6y}=\frac{2x^3+x^3}{6y}=\frac{x^3}{2y}.$
故答案为$\frac{x^3}{2y}.$
3.「2026江苏连云港月考」若$m-n=2$，$m(m+n)≠0$，则$(m-\dfrac{n^2}{m})÷\dfrac{m+n}{2m}$的值为
4
。答案
3.答案 4
解析 $(m-\frac{n^2}{m})÷\frac{m+n}{2m}=(\frac{m^2}{m}-\frac{n^2}{m})×\frac{2m}{m+n}$
$=\frac{(m-n)(m+n)}{m}×\frac{2m}{m+n}=2(m-n),$
$\because m-n=2,\therefore (m-\frac{n^2}{m})÷\frac{m+n}{2m}=2(m-n)=2×2=4.$
解析 $(m-\frac{n^2}{m})÷\frac{m+n}{2m}=(\frac{m^2}{m}-\frac{n^2}{m})×\frac{2m}{m+n}$
$=\frac{(m-n)(m+n)}{m}×\frac{2m}{m+n}=2(m-n),$
$\because m-n=2,\therefore (m-\frac{n^2}{m})÷\frac{m+n}{2m}=2(m-n)=2×2=4.$
4. 学科特色易错题「2025 四川遂宁中考」先化简，再求值：
$(a+1+\frac{1}{a-1})÷\frac{a^3 - 2a^2}{a^2 -4a +4},其中a满足a^2 -4=0.$
$(a+1+\frac{1}{a-1})÷\frac{a^3 - 2a^2}{a^2 -4a +4},其中a满足a^2 -4=0.$
答案
4.解析 原式 = $(\frac{a^2-1}{a-1}+\frac{1}{a-1})÷\frac{a^2(a-2)}{(a-2)^2}=\frac{a^2}{a-1}·\frac{a-2}{a^2}$
$=\frac{a-2}{a-1},$
$\because a^2-4=0,\therefore a=±2,又\because 当a=2时,分式\frac{a^2(a-2)}{(a-2)^2}无意义,\therefore a=-2,当a=-2时,原式=\frac{-2-2}{-2-1}=\frac{4}{3}.$
易错警示 在分式的化简求值时,要注意每一个除数和分母都不能为0.
$=\frac{a-2}{a-1},$
$\because a^2-4=0,\therefore a=±2,又\because 当a=2时,分式\frac{a^2(a-2)}{(a-2)^2}无意义,\therefore a=-2,当a=-2时,原式=\frac{-2-2}{-2-1}=\frac{4}{3}.$
易错警示 在分式的化简求值时,要注意每一个除数和分母都不能为0.
5.「2026湖南湘潭期中」一项工程，甲单独干，完成需要$a$天，乙单独干，完成需要$b$天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（
A.$\dfrac{ab}{a+b}$
B.$a+b$
C.$\dfrac{a+b}{ab}$
D.$ab(a+b)$
A
）A.$\dfrac{ab}{a+b}$
B.$a+b$
C.$\dfrac{a+b}{ab}$
D.$ab(a+b)$
答案
5.A 设总工作量为1,则甲单独干的工作效率为$\frac{1}{a}$,乙单独干的工作效率为$\frac{1}{b}$,
∴ 甲、乙合作的工作效率为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$,
∴ 若甲、乙合作,完成这项工程所需的天数是$1÷\frac{a+b}{ab}=1×\frac{ab}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.$故选 A.
∴ 甲、乙合作的工作效率为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$,
∴ 若甲、乙合作,完成这项工程所需的天数是$1÷\frac{a+b}{ab}=1×\frac{ab}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.$故选 A.
6.「2026山东泰安期中」某种商品，原来每盒标价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元购买这种商品，现在比原来可多买
$\frac{1000}{p(p-2)}$
盒.答案
6.答案 $\frac{1000}{p(p-2)}$
解析 原来每盒标价为p元,则500元能买$\frac{500}{p}$盒,
现在每盒售价为$(p-2)$元,则500元能买$\frac{500}{p-2}$盒,
$\frac{500}{p-2}-\frac{500}{p}=\frac{500p-500(p-2)}{p(p-2)}=\frac{1000}{p(p-2)},∴$ 同样用500元购买这种商品,现在比原来可多买$\frac{1000}{p(p-2)}$盒.
解析 原来每盒标价为p元,则500元能买$\frac{500}{p}$盒,
现在每盒售价为$(p-2)$元,则500元能买$\frac{500}{p-2}$盒,
$\frac{500}{p-2}-\frac{500}{p}=\frac{500p-500(p-2)}{p(p-2)}=\frac{1000}{p(p-2)},∴$ 同样用500元购买这种商品,现在比原来可多买$\frac{1000}{p(p-2)}$盒.
7.某同学回家的路上经过一个山坡,已知上坡的速度为m米/秒,下坡的速度为n米/秒,这位同学先上坡,再下坡,且上坡与下坡所走的路程相等,那么在这个上下坡过程中这位同学的平均速度是
$\frac{2mn}{m+n}$
米/秒.答案
7.答案 $\frac{2mn}{m+n}$
解析 设上坡和下坡所走的路程都为s米,则上坡所需要的时间为$\frac{s}{m}$秒,下坡所需要的时间为$\frac{s}{n}$秒,
∴ 在这个上下坡过程中所需要的总时间为$\frac{s}{m}+\frac{s}{n}=\frac{s(m+n)}{mn}$秒,
∴ 在这个上下坡过程中这位同学的平均速度为$2s÷\frac{s(m+n)}{mn}=2s·\frac{mn}{s(m+n)}=\frac{2mn}{m+n}$(米/秒).
解析 设上坡和下坡所走的路程都为s米,则上坡所需要的时间为$\frac{s}{m}$秒,下坡所需要的时间为$\frac{s}{n}$秒,
∴ 在这个上下坡过程中所需要的总时间为$\frac{s}{m}+\frac{s}{n}=\frac{s(m+n)}{mn}$秒,
∴ 在这个上下坡过程中这位同学的平均速度为$2s÷\frac{s(m+n)}{mn}=2s·\frac{mn}{s(m+n)}=\frac{2mn}{m+n}$(米/秒).
8.「2026湖南益阳期中」小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“□”为（
A.$\dfrac{x+1}{x-1}$
B.$\dfrac{x+5}{x-1}$
C.$1$
D.$\dfrac{x}{x-2}$
C
）A.$\dfrac{x+1}{x-1}$
B.$\dfrac{x+5}{x-1}$
C.$1$
D.$\dfrac{x}{x-2}$
答案
8.C 由题意得撕坏的一角中“□”为$\frac{1}{x-2}·\frac{x^2-4}{x-1}+\frac{3}{1-x}=$
$\frac{1}{x-2}·\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}-\frac{3}{x-1}=\frac{x+2}{x-1}-\frac{3}{x-1}=\frac{x+2-3}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1.$
$\frac{1}{x-2}·\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}-\frac{3}{x-1}=\frac{x+2}{x-1}-\frac{3}{x-1}=\frac{x+2-3}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1.$
9.「2026河北石家庄月考，★☆」已知$a_1 = x + 1$（$x≠0$且$x≠-1$），$a_2 = \frac{1}{1 - a_1}$，$a_3 = \frac{1}{1 - a_2}$，……，$a_n = \frac{1}{1 - a_{n-1}}$，则$a_{2025}$等于（
A.$-x + 1$
B.$x + 1$
C.$\frac{x}{x + 1}$
D.$-\frac{1}{x}$
C
）A.$-x + 1$
B.$x + 1$
C.$\frac{x}{x + 1}$
D.$-\frac{1}{x}$
答案
9.C $\because a_1=x+1,\therefore a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(x+1)}=-\frac{1}{x},$
$\therefore a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{x})}=\frac{x}{x+1},$
$\therefore a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}=x+1=a_1,$
$\therefore a_5=\frac{1}{1-a_4}=\frac{1}{1-(x+1)}=-\frac{1}{x}=a_2,……$
$2025÷3=675,\therefore a_{2025}=a_3=\frac{x}{x+1}.$故选 C.
$\therefore a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{x})}=\frac{x}{x+1},$
$\therefore a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-\frac{x}{x+1}}=x+1=a_1,$
$\therefore a_5=\frac{1}{1-a_4}=\frac{1}{1-(x+1)}=-\frac{1}{x}=a_2,……$
$2025÷3=675,\therefore a_{2025}=a_3=\frac{x}{x+1}.$故选 C.
10.「2026山东泰安期中，★☆」有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为m元/千克和n元/千克，且m≠n，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克.则甲、乙的购货方式中，
甲
合算.(填“甲”“乙”或“一样”)答案
10.答案 甲
解析 由题意可知,甲采购两次共用去$800×2=1600$(元),总购买数量为$\frac{800}{m}+\frac{800}{n}=\frac{800(m+n)}{mn}$(千克),
∴ 甲购货方式的平均价格为$1600÷\frac{800(m+n)}{mn}=1600×\frac{mn}{800(m+n)}=\frac{2mn}{m+n}$(元/千克).
乙采购两次共用去$100(m+n)$元,总购买数量为200千克,
∴ 乙购货方式的平均价格为$\frac{100(m+n)}{200}=\frac{m+n}{2}$(元/千克).
$\frac{2mn}{m+n}-\frac{m+n}{2}=\frac{4mn-(m+n)^2}{2(m+n)}=\frac{-(m-n)^2}{2(m+n)},$
$\because m≠n,m＞0,n＞0,\therefore (m-n)^2＞0,m+n＞0,$
$\therefore \frac{-(m-n)^2}{2(m+n)}＜0,\therefore \frac{2mn}{m+n}＜\frac{m+n}{2},∴$ 甲的平均价格较低,购货方式更合算.
解析 由题意可知,甲采购两次共用去$800×2=1600$(元),总购买数量为$\frac{800}{m}+\frac{800}{n}=\frac{800(m+n)}{mn}$(千克),
∴ 甲购货方式的平均价格为$1600÷\frac{800(m+n)}{mn}=1600×\frac{mn}{800(m+n)}=\frac{2mn}{m+n}$(元/千克).
乙采购两次共用去$100(m+n)$元,总购买数量为200千克,
∴ 乙购货方式的平均价格为$\frac{100(m+n)}{200}=\frac{m+n}{2}$(元/千克).
$\frac{2mn}{m+n}-\frac{m+n}{2}=\frac{4mn-(m+n)^2}{2(m+n)}=\frac{-(m-n)^2}{2(m+n)},$
$\because m≠n,m＞0,n＞0,\therefore (m-n)^2＞0,m+n＞0,$
$\therefore \frac{-(m-n)^2}{2(m+n)}＜0,\therefore \frac{2mn}{m+n}＜\frac{m+n}{2},∴$ 甲的平均价格较低,购货方式更合算.
11.「2025山东滨州中考，★☆」已知$A=x+y$，$B=x^2-y^2$，$C=\dfrac{x-y}{x}÷(x-\dfrac{2xy-y^2}{x})$。
(1)若$\dfrac{A}{B}=\dfrac{1}{5}$，求$C$的值。
(2)当$y=1$，且$3C$为整数时，求$x$的整数值。
(1)若$\dfrac{A}{B}=\dfrac{1}{5}$，求$C$的值。
(2)当$y=1$，且$3C$为整数时，求$x$的整数值。
答案
11.解析 (1)$\because \frac{A}{B}=\frac{1}{5},\therefore \frac{x+y}{x^2-y^2}=\frac{1}{5},\therefore \frac{1}{x-y}=\frac{1}{5},$
$\therefore C=\frac{x-y}{x}÷\frac{x^2-2xy+y^2}{x}=\frac{x-y}{x}·\frac{x}{(x-y)^2}=\frac{1}{x-y}=\frac{1}{5}.$
(2)由(1)得$C=\frac{1}{x-y}.$当$y=1$时,$3C=\frac{3}{x-1}.$
$\because 3C$为整数,$x$为整数,$\therefore x-1=±1$或$±3,$
$\therefore x$的值为0或2或-2或4.
$\because x≠0$且$x≠1,\therefore x$的整数值为2或-2或4.
$\therefore C=\frac{x-y}{x}÷\frac{x^2-2xy+y^2}{x}=\frac{x-y}{x}·\frac{x}{(x-y)^2}=\frac{1}{x-y}=\frac{1}{5}.$
(2)由(1)得$C=\frac{1}{x-y}.$当$y=1$时,$3C=\frac{3}{x-1}.$
$\because 3C$为整数,$x$为整数,$\therefore x-1=±1$或$±3,$
$\therefore x$的值为0或2或-2或4.
$\because x≠0$且$x≠1,\therefore x$的整数值为2或-2或4.
