【典例1】如图，$AC=AB=BD$，$AB⊥ BD$，$BC=8$，则$△ BCD$的面积为（）

A.8
B.12
C.14
D.16

解:过点 A 作 $AM⊥BC$ 于点 M,过点 D 作 $DN⊥CB$ 交CB 的延长线于点 N，
$\therefore △ABM≌ △BDN$，
$DN=BM=CM=4$，
$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×8×4=16.$

变式.如图,在$△ ABD$中,点C在BD边上,$∠ CAD=90°$,$AC=AD$,$CA=CB$,$AB=5$,则$△ ABD$的面积为.

解:过点 C 作$CN⊥AB$ 交AB 于点N，
过点 D 作 $DM⊥AB$ 与 BA 的延长线交于点 M，
$\therefore △BCN≌ △DAM,\therefore DM=BN=2.5$，
$\therefore S_{△ABD}=\frac{1}{2}×5×\frac{5}{2}=\frac{25}{4}.$

【典例2】在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，点$O$为$AB$的中点.如图，点$E$，$F$分别在边$AC$和$BC$上时，$OE⊥ OF$，求证：$OE=OF$.

证明:连接 OC，
$\because AC=BC,OA=OB$，
$\therefore ∠ACO=∠BCO=45°$，
$CO⊥AB$，
在$△ CEO$ 和$△ BFO$ 中,$\begin{cases} ∠ECO=∠B=45°, \\ CO=OB, \\ ∠COE=∠BOF, \end{cases}$
$\therefore △ CEO≌ △ BFO(\mathrm{ASA}),\therefore OE=OF.$

变式.如图,$Rt△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,点$O$为$AB$的中点,点$E$,$F$分别在$AC$,$BC$上,$∠ EOF=45°$,求证:$CE+EF=BF$.

证明:连 CO,在 BF 上取点 M,使 BM=CE,连接 OM，
在$△ COE$ 和$△ BOM$ 中,$\begin{cases} CE=BM, \\ ∠ECO=∠B=45°, \\ CO=OB, \end{cases}$
$\therefore △ COE≌ △ BOM(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠COE=∠BOM,OE=OM$，
$\therefore OE⊥OM$，
$\therefore ∠MOF=45°$，
在$△ OEF$ 和$△ OMF$ 中，
$\begin{cases} OE=OM, \\ ∠EOF=∠MOF=45°, \\ OF=OF, \end{cases}$
$\therefore △ OEF≌ △ OMF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EF=FM=BF-CE$，
即 $CE+EF=BF.$