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9. 下列各式计算正确的是(
A.$a^2 + a^2 = a^4$
B.$(3x)^2 = 6x^2$
C.$(x^2)^3 = x^6$
D.$(x + y)^2 = x^2 + y^2$
C
)A.$a^2 + a^2 = a^4$
B.$(3x)^2 = 6x^2$
C.$(x^2)^3 = x^6$
D.$(x + y)^2 = x^2 + y^2$
答案
9. C
解析
【分析】
这是一道整式运算的正误判断题，解题思路是逐一对应每个选项涉及的运算法则，分别计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，因此$a^2 + a^2 = 2a^2 ≠ a^4$，A选项错误；
B. 积的乘方运算，需要把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(3x)^2 = 3^2 · x^2 = 9x^2 ≠ 6x^2$，B选项错误；
C. 幂的乘方运算，底数不变，指数相乘，因此$(x^2)^3 = x^{2×3} = x^6$，C选项正确；
D. 两数和的完全平方公式展开后包含交叉项，即$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 ≠ x^2 + y^2$，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对各类整式运算法则的掌握程度，做题时要注意区分不同运算法则的差异，避免因混淆公式出现错误。
【难度系数】
0.8
这是一道整式运算的正误判断题，解题思路是逐一对应每个选项涉及的运算法则，分别计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，因此$a^2 + a^2 = 2a^2 ≠ a^4$，A选项错误；
B. 积的乘方运算，需要把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(3x)^2 = 3^2 · x^2 = 9x^2 ≠ 6x^2$，B选项错误；
C. 幂的乘方运算，底数不变，指数相乘，因此$(x^2)^3 = x^{2×3} = x^6$，C选项正确；
D. 两数和的完全平方公式展开后包含交叉项，即$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 ≠ x^2 + y^2$，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对各类整式运算法则的掌握程度，做题时要注意区分不同运算法则的差异，避免因混淆公式出现错误。
【难度系数】
0.8
三、解答题
10. 计算：
(1) $(6x^3y^4z - 4x^2y^3z + 2xy^3) ÷ (2xy^3)$；
(2) $( \frac{1}{2}a - b )^2$。
10. 计算：
(1) $(6x^3y^4z - 4x^2y^3z + 2xy^3) ÷ (2xy^3)$；
(2) $( \frac{1}{2}a - b )^2$。
答案
10. 解:(1)原式=$6x^3 y^4 z ÷ 2xy^3 - 4x^2 y^3 z ÷ 2xy^3 + 2xy^3 ÷ 2xy^3 = 3x^2 yz - 2xz + 1$；
(2)原式=$(\frac{1}{2}a)^2 - 2 × \frac{1}{2}a · b + b^2 = \frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$。
(2)原式=$(\frac{1}{2}a)^2 - 2 × \frac{1}{2}a · b + b^2 = \frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$。
解析
【分析】
对于第(1)题，属于多项式除以单项式的运算，解题思路是运用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时要注意同底数幂的除法规则，不要漏算常数项的商。对于第(2)题，是两数差的平方运算，直接运用完全平方差公式展开计算即可，注意要准确计算系数的平方，不要漏算乘积的2倍项。
【解析】
(1) 根据多项式除以单项式的法则拆分各项分别计算：
原式=$6x^3 y^4 z ÷ 2xy^3 - 4x^2 y^3 z ÷ 2xy^3 + 2xy^3 ÷ 2xy^3$
分别计算每一项的商：$6x^3 y^4 z ÷ 2xy^3 = 3x^2yz$，$-4x^2 y^3 z ÷ 2xy^3 = -2xz$，$2xy^3 ÷ 2xy^3 = 1$，合并后得结果为$3x^2 yz - 2xz + 1$。
(2) 根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将$m=\frac{1}{2}a$、$n=b$代入公式：
原式=$(\frac{1}{2}a)^2 - 2 × \frac{1}{2}a · b + b^2$
计算各项：$(\frac{1}{2}a)^2=\frac{1}{4}a^2$，$2×\frac{1}{2}a·b=ab$，因此结果为$\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$。
【答案】
(1) $3x^2 yz - 2xz + 1$；(2) $\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$
【知识点】
多项式除以单项式，完全平方公式，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考察整式除法法则和乘法公式的应用，计算时需注意系数的运算、同底数幂的指数变化，同时要避免漏项、符号出错等常见问题。
【难度系数】
0.8
对于第(1)题，属于多项式除以单项式的运算，解题思路是运用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时要注意同底数幂的除法规则，不要漏算常数项的商。对于第(2)题，是两数差的平方运算，直接运用完全平方差公式展开计算即可，注意要准确计算系数的平方，不要漏算乘积的2倍项。
【解析】
(1) 根据多项式除以单项式的法则拆分各项分别计算：
原式=$6x^3 y^4 z ÷ 2xy^3 - 4x^2 y^3 z ÷ 2xy^3 + 2xy^3 ÷ 2xy^3$
分别计算每一项的商：$6x^3 y^4 z ÷ 2xy^3 = 3x^2yz$，$-4x^2 y^3 z ÷ 2xy^3 = -2xz$，$2xy^3 ÷ 2xy^3 = 1$，合并后得结果为$3x^2 yz - 2xz + 1$。
(2) 根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将$m=\frac{1}{2}a$、$n=b$代入公式：
原式=$(\frac{1}{2}a)^2 - 2 × \frac{1}{2}a · b + b^2$
计算各项：$(\frac{1}{2}a)^2=\frac{1}{4}a^2$，$2×\frac{1}{2}a·b=ab$，因此结果为$\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$。
【答案】
(1) $3x^2 yz - 2xz + 1$；(2) $\frac{1}{4}a^2 - ab + b^2$
【知识点】
多项式除以单项式，完全平方公式，同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考察整式除法法则和乘法公式的应用，计算时需注意系数的运算、同底数幂的指数变化，同时要避免漏项、符号出错等常见问题。
【难度系数】
0.8
11. 已知$A=(a-b)^2$，$B=(a+b)^2$，如果$2A-3B+C=0$，求$C$的表达式。
答案
11. 解:$\because 2A - 3B + C = 0, \therefore C = 3B - 2A = 3(a+b)^2 - 2(a-b)^2 = 3(a^2 + 2ab + b^2) - 2(a^2 - 2ab + b^2) = 3a^2 + 6ab + 3b^2 - 2a^2 + 4ab - 2b^2 = a^2 + 10ab + b^2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先从已知等式2A-3B+C=0出发，通过移项将C用含A、B的式子表示，即C=3B-2A；再把题目给出的A、B的表达式代入，利用完全平方公式展开两个平方项，之后去括号、合并同类项就能得到C的最简表达式。解题时要注意去括号的符号变化，合并同类项时要准确识别同类项再计算。
【解析】
解：$\because 2A - 3B + C = 0$，
$\therefore$ 移项可得 $C = 3B - 2A$，
将$A=(a-b)^2$，$B=(a+b)^2$代入上式得：
$C = 3(a+b)^2 - 2(a-b)^2$
根据完全平方公式展开得：
$= 3(a^2 + 2ab + b^2) - 2(a^2 - 2ab + b^2)$
去括号得：
$= 3a^2 + 6ab + 3b^2 - 2a^2 + 4ab - 2b^2$
合并同类项得：
$= (3a^2 - 2a^2) + (6ab + 4ab) + (3b^2 - 2b^2)$
$= a^2 + 10ab + b^2$
【答案】
$C=a^2+10ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算；代数式代入
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心考查完全平方公式的应用以及整式加减的运算法则，解题时注意去括号的符号变化、合并同类项准确，熟练掌握基础运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先从已知等式2A-3B+C=0出发，通过移项将C用含A、B的式子表示，即C=3B-2A；再把题目给出的A、B的表达式代入，利用完全平方公式展开两个平方项，之后去括号、合并同类项就能得到C的最简表达式。解题时要注意去括号的符号变化，合并同类项时要准确识别同类项再计算。
【解析】
解：$\because 2A - 3B + C = 0$，
$\therefore$ 移项可得 $C = 3B - 2A$，
将$A=(a-b)^2$，$B=(a+b)^2$代入上式得：
$C = 3(a+b)^2 - 2(a-b)^2$
根据完全平方公式展开得：
$= 3(a^2 + 2ab + b^2) - 2(a^2 - 2ab + b^2)$
去括号得：
$= 3a^2 + 6ab + 3b^2 - 2a^2 + 4ab - 2b^2$
合并同类项得：
$= (3a^2 - 2a^2) + (6ab + 4ab) + (3b^2 - 2b^2)$
$= a^2 + 10ab + b^2$
【答案】
$C=a^2+10ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式；整式的加减运算；代数式代入
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心考查完全平方公式的应用以及整式加减的运算法则，解题时注意去括号的符号变化、合并同类项准确，熟练掌握基础运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
